基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以“直線的傾斜角與斜率”的概念教學(xué)為例

角碧波 張湘君

（云南省昆明市第八中學(xué)，昆明650222 湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)，長(zhǎng)沙 410006）

一、問(wèn)題的提出

概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中舉足重輕.傳統(tǒng)的概念教學(xué)中典型的做法是：教師帶領(lǐng)學(xué)生勾畫(huà)概念，強(qiáng)調(diào)若干注意點(diǎn)，隨即開(kāi)始大量做題，試圖通過(guò)讓學(xué)生不斷地解題來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解.而這種做法的結(jié)果往往適得其反，學(xué)生變成了解題機(jī)器，只知其然而不知其所以然.尋求新的有效的概念教學(xué)法是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的迫切需要，也是廣大高中數(shù)學(xué)教師的不懈追求.APOS理論是美國(guó)學(xué)者杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論［1］，它的主張概念建構(gòu)要具有層次性的觀點(diǎn)為數(shù)學(xué)概念教學(xué)的逐層漸進(jìn)提供了理論基礎(chǔ).本文試圖基于APOS理論，以平面解析幾何的開(kāi)篇和基礎(chǔ)——“直線的傾斜角與斜率”為例，嘗試對(duì)高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)行探索，以期獲得一些啟發(fā).

二、APOS理論

APOS由“Action（操作）”“Process（過(guò)程）”“Object（對(duì)象）”和“Schema（圖式）”四個(gè)英文單詞的首字母組合而成［1］，杜賓斯基認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要經(jīng)歷這四個(gè)活動(dòng)階段.APOS 理論是源于杜賓斯基試圖對(duì)皮亞杰（Piaget）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象（Reflective Abstraction）”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試［2］.

1.“操作（A）階段”——學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的起點(diǎn)

教師基于學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)，為學(xué)生提供概念的直觀背景、相關(guān)概念或是一些感性素材，學(xué)生對(duì)這些外部刺激進(jìn)行感知和轉(zhuǎn)換.在數(shù)學(xué)概念中學(xué)生的“操作（A）”是廣義上的活動(dòng)，可以是具體的動(dòng)作操作，也可以是抽象的思維操作［3］.

2.“過(guò)程（P）階段”——學(xué)生概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵階段

在“操作（A）階段”學(xué)生獲得了直觀感知，在隨后的這一階段，就要對(duì)其進(jìn)行組織和處理，經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、歸納和概括等過(guò)程，才有思考和頓悟，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化和壓縮.在這一階段需要充分暴露思維的過(guò)程，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，其短暫或缺失，都會(huì)影響學(xué)生的參與度和學(xué)習(xí)效果，并直接影響“對(duì)象（O）階段”概念的概括和生成.

3.“對(duì)象（O）階段”——學(xué)生概念學(xué)習(xí)的概括階段

“操作（A）”和“過(guò)程（P）”兩個(gè)階段的達(dá)成度將直接影響此階段的時(shí)間、效率和質(zhì)量.經(jīng)歷一次或數(shù)次“操作（A）”和“過(guò)程（P）”后，學(xué)生在大腦中對(duì)活動(dòng)不斷進(jìn)行描述和反思，抽象概括出概念所特有的性質(zhì)，從而在頭腦中生成對(duì)概念的認(rèn)知和初步把握.

4.“圖式（S）階段”——學(xué)生習(xí)得概念的升華階段

教師提供反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義和符號(hào)等情境給學(xué)生探究，學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深入學(xué)習(xí).對(duì)前面幾個(gè)階段的經(jīng)歷及大腦中原有相關(guān)方面的問(wèn)題圖式進(jìn)行不斷的整合、精致，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)，形成綜合的心理圖式.概念一旦建構(gòu)起來(lái)，就將成為后續(xù)的概念建構(gòu)的材料.

值得指出的是，有的數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，一兩次的“APOS”是不能形成完整的“圖式（S）”的［3］，如函數(shù)概念的學(xué)習(xí)是一個(gè)復(fù)雜而困難的過(guò)程［4］，學(xué)生在初中、高中和大學(xué)都需要經(jīng)歷不同程度的概念建構(gòu).

三、基于APOS理論的“直線的傾斜角與斜率”的概念教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

“直線的傾斜角與斜率”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)人教A 版必修2 第三章第一節(jié)的第一小節(jié)內(nèi)容［5］，本小節(jié)內(nèi)容涉及兩個(gè)核心概念的教學(xué)——輔概念“傾斜角”和主概念“斜率”1在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常常會(huì)遇到這樣的情況：在學(xué)習(xí)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)之前需進(jìn)行一些必要的預(yù)備知識(shí)的學(xué)習(xí).我們稱最終要學(xué)習(xí)的概念為“主概念”，為此需要進(jìn)行預(yù)備學(xué)習(xí)的概念為“輔概念”.，現(xiàn)基于APOS理論對(duì)兩個(gè)概念的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)2本文主要處理“傾斜角”和“斜率”兩個(gè)核心概念的教學(xué)設(shè)計(jì)，其他教學(xué)內(nèi)容和環(huán)節(jié)在此不予涉及..

1.直線的傾斜角

（1）操作（A）階段

問(wèn)題1：在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)，知道其圖象是直線，圖1是在同一直角坐標(biāo)系中給出了某三個(gè)一次函數(shù)的圖象，它們有什么區(qū)別與聯(lián)系？

師生活動(dòng)：（1）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三條直線圖象的聯(lián)系是過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（1，0），區(qū)別是傾斜程度不同；（2）用幾何畫(huà)板演示過(guò)定點(diǎn)（1，0）的直線系（如圖2），幫助學(xué)生思考“區(qū)別”；（3）得出結(jié)論：兩點(diǎn)確定一條直線，過(guò)一點(diǎn)不能確定一條直線.

圖1

圖2

【設(shè)計(jì)意圖】“一次函數(shù)及其圖象”和“兩點(diǎn)確定一條直線”是初中就已學(xué)過(guò)的內(nèi)容，以此作為“生長(zhǎng)點(diǎn)”，基于已有認(rèn)知而又高于已有認(rèn)知，形成認(rèn)知沖突，啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

（2）過(guò)程（P）階段

問(wèn)題2：上述問(wèn)題中我們所謂的直線的傾斜程度應(yīng)該是相對(duì)的，分別以x軸、y軸為參照，同一條直線的傾斜程度是不一樣的，我們不妨以x軸為參照進(jìn)行研究.在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線與x軸都有一個(gè)相對(duì)傾斜程度.請(qǐng)同學(xué)們思考可以用什么樣的一個(gè)幾何量來(lái)反映一條直線與x軸的相對(duì)傾斜程度.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生把重點(diǎn)放在“如何描述直線傾斜程度”的問(wèn)題上，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用直線與x軸形成的夾角（當(dāng)直線與x軸相交時(shí)）來(lái)描述直線的傾斜程度.當(dāng)然，直線與x軸相交會(huì)形成四個(gè)角，教師還需引導(dǎo)學(xué)生思考到底選哪個(gè)角作為刻畫(huà)直線傾斜程度的幾何量比較合適.在這一系列引導(dǎo)學(xué)生的思考中促成概念的形成.

【設(shè)計(jì)意圖】充分暴露思維的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生做數(shù)學(xué)，自然而然探索得到描述直線傾斜程度的幾何要素，此即概念生成的過(guò)程.

（3）對(duì)象（O）階段

問(wèn)題3：我們探究得到的描述直線傾斜程度的角簡(jiǎn)稱直線的傾斜角，請(qǐng)同學(xué)們用自己的語(yǔ)言嘗試著給傾斜角下一個(gè)定義.

師生活動(dòng)：鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，交流意見(jiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在碰撞中歸納總結(jié)出直線傾斜角的概念.

【設(shè)計(jì)意圖】想清楚了還需說(shuō)清楚，說(shuō)清楚了才能寫(xiě)清楚，基于前面問(wèn)題2的充分探究，可以把舞臺(tái)讓給學(xué)生，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)言語(yǔ)表達(dá)和歸納能力.

（4）圖式（S）階段

練習(xí)1 判斷正誤：（1）存在傾斜角是210°的直線；（2）存在傾斜角是180°的直線；（3）直線確定，則傾斜角確定；（4）傾斜角確定，則直線確定.

師生活動(dòng)：先給學(xué)生時(shí)間做，必要時(shí)進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)，而后再借助幾何畫(huà)板進(jìn)行講評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】（1）（2）幫助學(xué)生再次理解直線傾斜角的含義，并得出直線傾斜角取值范圍的規(guī)定；（3）（4）旨在引導(dǎo)學(xué)生理解直線與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，明確確定一條直線位置的幾何要素.

2.直線的斜率

（1）操作（A）階段

問(wèn)題4：我們?cè)谏钪?，騎車或步行都爬過(guò)山、爬過(guò)坡，陡的坡感覺(jué)比較難爬，如何描述坡的陡緩程度呢？（幾何畫(huà)板演示：將實(shí)際生活中的斜坡抽象成如圖3所示，動(dòng)態(tài)演示升高量、前進(jìn)量改變時(shí)坡的陡緩程度的變化.）

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)與演示，啟發(fā)學(xué)生積極思考（可提示學(xué)生用書(shū)本模擬），再現(xiàn)初中就已經(jīng)接觸過(guò)的“坡度”概念（坡度＝升高量／前進(jìn)量＝tanα）.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】基于學(xué)生客觀認(rèn)知水平，結(jié)合已有生活經(jīng)驗(yàn)尋找?guī)缀我卮鷶?shù)化的方法.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，坡的陡緩程度與前進(jìn)量和升高量有關(guān)，幫助學(xué)生再現(xiàn)“坡度”概念.

（2）過(guò)程（P）階段

問(wèn)題5：在圖3中，∠BAC是斜坡構(gòu)成的二面角的平面角.在平面ABC中，將斜坡對(duì)應(yīng)直線AC，坡角對(duì)應(yīng)直線AC的傾斜角α，那么坡度對(duì)應(yīng)直線AC的什么量呢？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生把“坡度”這個(gè)刻畫(huà)傾斜程度的量與直線傾斜角聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)行類比，從而發(fā)現(xiàn)tanα可以作為直線傾斜程度的一個(gè)代數(shù)表示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)類比，探索描述直線的傾斜程度的代數(shù)表示，由此引出直線斜率的概念.

（3）對(duì)象（O）階段

問(wèn)題6：請(qǐng)同學(xué)們類比傾斜角概念的給出，給直線傾斜程度的代數(shù)表示起個(gè)名字，并下一個(gè)定義.（注：師生活動(dòng)與設(shè)計(jì)意圖同問(wèn)題3.）

（4）圖式（S）階段

練習(xí)2 填表

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立去做，而后與學(xué)生一起訂正.（正切是學(xué)生在三角函數(shù)中理解的一個(gè)難點(diǎn)，需留給學(xué)生充分的時(shí)間去回顧必修4里的正切相關(guān)知識(shí).）

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生學(xué)會(huì)傾斜角與斜率的互換，學(xué)會(huì)求傾斜角是鈍角時(shí)的直線斜率，明確“傾斜角為90°的直線斜率不存在”，深化斜率概念的理解，與此同時(shí)為后續(xù)問(wèn)題7做鋪墊.

問(wèn)題7：請(qǐng)同學(xué)們借助正切函數(shù)的圖象，思考傾斜角α與斜率k有何關(guān)系？

師生活動(dòng)：如圖4，引導(dǎo)學(xué)生回憶y＝tanx的圖象，結(jié)合y＝tanx在區(qū)間上的圖象總結(jié)出斜率與傾斜角之間的關(guān)系.

圖4

【設(shè)計(jì)意圖】溝通數(shù)形關(guān)系，加深概念理解，讓學(xué)生明確傾斜角與斜率的關(guān)系，體會(huì)傾斜角與斜率的內(nèi)在聯(lián)系.

練習(xí)3（1）判斷正誤：①與x軸平行或重合的直線沒(méi)有斜率；②直線的傾斜角為α，則它的斜率為tanα；③直線斜率為tanα，則它的傾斜角為α；④直線的傾斜角越大，則它的斜率也越大.

（2）如圖5 所示，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，試比較它們斜率的大小.

圖5

師生活動(dòng)：讓學(xué)生先自己做，再小組討論，組織小組間博弈，教師充當(dāng)組織者、引導(dǎo)者的角色.

【設(shè)計(jì)意圖】（1）是針對(duì)斜率概念的理解而設(shè)計(jì)；（2）是綜合傾斜角和斜率兩個(gè)概念的理解與應(yīng)用而設(shè)計(jì).

四、基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)

在實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程中，大多數(shù)都能達(dá)到“操作（A）階段”和“過(guò)程（P）階段”，到“對(duì)象（O）階段”的學(xué)生就少了許多，能達(dá)到“圖式（S）階段”的則更少一些.我們知道，“對(duì)象（O）階段”的達(dá)成取決于“操作（A）階段”“過(guò)程（P）階段”的充分鋪墊，有文獻(xiàn)［6］總結(jié)了對(duì)“操作（A）階段”“過(guò)程（P）階段”的教學(xué)建議：（1）用新奇的操作，燃起思考的火花；（2）以遞進(jìn)的問(wèn)題導(dǎo)引思維的縱深.因此，“操作（A）階段”中的引導(dǎo)和“過(guò)程（P）階段”中對(duì)數(shù)學(xué)思維過(guò)程的暴露尤為重要，需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)精心設(shè)計(jì)情境引入和問(wèn)題串，在教學(xué)過(guò)程中留給學(xué)生足夠的思考和探究的時(shí)間，避免“短、平、快”的現(xiàn)象發(fā)生.

學(xué)生對(duì)知識(shí)真正意義的理解與建構(gòu)是建立在親歷操作的基礎(chǔ)上的，APOS理論為概念教學(xué)提供了一個(gè)操作層面的指導(dǎo)［6］，讓學(xué)生在“操作（A）階段”中體驗(yàn)、在“過(guò)程（P）階段”中感悟、在“對(duì)象（O）階段”中歸納、在“圖式（S）階段”中升華.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行以APOS理論為指導(dǎo)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)，可以大大改善高中數(shù)學(xué)概念教學(xué).

［1］Dubinsky E.APOS：A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research［C］.1993.

［2］喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論［J］.全球教育展望，2001（03）：16－18.

［3］程華.APOS理論的內(nèi)涵及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示［J］.教學(xué)與管理，2010（24）：65－66.

［4］孟世才.基于APOS理論的中學(xué)函數(shù)概念的教學(xué)研究［J］.教學(xué)與管理，2011（21）：95－96.

［5］課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修2（A 版）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

［6］程華.在操作中體驗(yàn)，從過(guò)程中感悟，在感悟中建構(gòu)——對(duì)APOS理論操作、過(guò)程階段的思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2007（5）：2－5.