常微分方程課程中應(yīng)用能力的培養(yǎng)

劉漢武 侯文斌

【摘要】常微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的一門基礎(chǔ)課程，有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的一個重要橋梁?，F(xiàn)行教學(xué)模式沿用了傳統(tǒng)的聽講教學(xué)方法，忽略了教學(xué)過程中師生的交流，限制了學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)，已不能適應(yīng)社會發(fā)展對應(yīng)用型人才的需要。研究常微分課程中應(yīng)用能力的培養(yǎng)問題迫在眉睫。本文通過對常微分方程課程教育現(xiàn)狀和應(yīng)用能力進行分析，提出了結(jié)合實際應(yīng)用；利用計算機輔助學(xué)習(xí)；整合課本內(nèi)容，讓學(xué)生對知識有整體掌握；利用現(xiàn)代教學(xué)手段，提高教學(xué)效果；授課過程中注意引導(dǎo)學(xué)生進行思考；改革考核方法，加強對學(xué)生學(xué)習(xí)效果檢測等解決途徑。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 應(yīng)用能力 改革方法

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10 -0182-02

1 常微分方程課程教學(xué)現(xiàn)狀

常微分方程是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)理論聯(lián)系實際的一個重要組成部分。它是眾多精確社會科學(xué)、自然科學(xué)中表述基本定律和各種問題的基本工具之一；從誕生之日起，它日益成為人類認識自然、改造自然的有力工具；自動控制、電子技術(shù)、力學(xué)、生物學(xué)、海洋學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等各個學(xué)科的科研人員都把它作為必需的研究工具。常微分方程為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，它是學(xué)習(xí)偏微分方程、微分幾何等相關(guān)課程的基礎(chǔ)；它所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)分析思想、邏輯推理方法以及處理問題的技巧，在整個大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都起著奠基作用；常微分方程模型是數(shù)學(xué)建模的重要內(nèi)容之一，也是部分碩士研究生入學(xué)復(fù)試的筆試內(nèi)容。因此，伴隨著數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會中的作用和地位的不斷提高，常微分方程課程也越來越受到重視。

現(xiàn)實中，常微分方程課程教學(xué)略顯枯燥，部分學(xué)生不愿意學(xué)，即便掌握了充足的理論，也缺少解決問題的能力。隨著教學(xué)改革的不斷深入，專業(yè)課程的課時相對減少，內(nèi)容卻相對增加，這對常微分方程教學(xué)有不小的負面影響。由于高校擴招，使得學(xué)生整體素質(zhì)下降，部分學(xué)生接受新知識的能力下降，再加上受一些不正確思想的誤導(dǎo)，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性不足、積極性不高、知識融會貫通的能力較差。教師對教學(xué)內(nèi)容的處理不夠得當，忽視了相關(guān)課程知識間的聯(lián)系，教學(xué)方式和教學(xué)手段的使用不夠恰當，不能調(diào)動學(xué)生主動探究知識、獲取知識、分析問題、解決問題的積極性，同時也忽略了學(xué)生能力、素質(zhì)的培養(yǎng)。教學(xué)中缺乏數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不利于學(xué)生創(chuàng)新意識及應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高。

應(yīng)用人才培養(yǎng)已成為國家人才培養(yǎng)戰(zhàn)略的重點之一。數(shù)學(xué)系在課程教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力是一個緊迫而必須回答好的問題。數(shù)學(xué)系，具有自己的課程特點和培養(yǎng)目標，學(xué)生應(yīng)該具有獨特的應(yīng)用能力。

1. 通過數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力。數(shù)學(xué)是一門工具學(xué)科，除了使這一工具更加有力之外，重要的是使用這一工具去解決實際問題。數(shù)學(xué)在物理、生物、經(jīng)濟、環(huán)境等方面已經(jīng)有了很多的應(yīng)用分支。學(xué)生應(yīng)該具有數(shù)學(xué)建模的能力，對相關(guān)其他專業(yè)知識了解之后，可以迅速建立數(shù)學(xué)模型，運用數(shù)學(xué)理論進行分析或數(shù)值模擬，給出解決方案。

2. 運用數(shù)學(xué)軟件解決實際問題的能力。隨著計算機的發(fā)展，很多問題都可以借助計算機加以解決，對較復(fù)雜的問題需要使用專業(yè)軟件，并需要進行適當?shù)某绦蛟O(shè)計。數(shù)學(xué)系的學(xué)生要掌握較專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，熟悉程序設(shè)計，對一些實際問題可以編寫適當?shù)某绦蚶脭?shù)學(xué)軟件迅速解決。

3. 傳授數(shù)學(xué)知識的能力。除了口語、板書、課件設(shè)計與制作、課堂組織等教師的基本能力之外，還要熟悉專業(yè)知識的脈絡(luò)，了解學(xué)習(xí)中的思維過程，據(jù)此設(shè)計出合理的教學(xué)方案并實施。

常微分方程作為數(shù)學(xué)系的基礎(chǔ)課程，具有很強的應(yīng)用性，所以責(zé)無旁貸的要在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。高校課程改革正風(fēng)起云涌，人們正改變傳統(tǒng)的授課方式，積極探索科學(xué)、高效、目的明確的授課方式。四川大學(xué)的張偉年把教學(xué)內(nèi)容和重點同當今微分方程發(fā)展主流及非線性科學(xué)飛速發(fā)展實際相結(jié)合，同時實行雙語教學(xué)，多媒體教學(xué)等，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和能力[1]。張紅雷從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和加強學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)等方面，探索常微分方程課程的教學(xué)改革[2]。儲亞偉等從教學(xué)觀念、內(nèi)容、方法、手段等方面探討了常微分方程課程的改革[3]。鐘秀蓉在分析常微分方程課程對自動化專業(yè)學(xué)生的重要性的基礎(chǔ)上，結(jié)合目前常微分方程的教學(xué)改革現(xiàn)狀，提出“兩重”和“四原則”的思想[4]。藍師義提出了教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的一些設(shè)想和建議，以促進大學(xué)生獨立思考能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，提高課堂教學(xué)質(zhì)量[5]。方輝平以建模的思想作為切入點，在常微分方程的教學(xué)內(nèi)容、方法和手段上進行了探索和改革[6]。程國華把常微分方程分成若干模塊，將數(shù)學(xué)實驗、建模思想和方法融入常微分方程教學(xué)[7]。

如何學(xué)習(xí)常微分方程這門課程，如何提高課堂教學(xué)質(zhì)量，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，如何提高學(xué)生的應(yīng)用能力，如何促進學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和提高是每位任課教師都應(yīng)思考的問題。

2 常微分課程中應(yīng)用能力的培養(yǎng)

2.1 結(jié)合實際應(yīng)用

在講授常微分方程的過程中，教師應(yīng)引入一些實際問題，多介紹一些微分方程的來源與應(yīng)用背景，讓學(xué)生認識到微分方程的重要性及其廣泛的應(yīng)用性，感受到常微分方程的魅力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣和信心。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了理論講解的枯燥性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又增強了學(xué)生的應(yīng)用能力。

在常微分方程課程中可以引入傳染病模型，分析其變化規(guī)律。設(shè)時刻t的健康人數(shù)為y（t），染病人數(shù)為x（t）。假設(shè)傳染病傳播期間總?cè)藬?shù)不變，設(shè)為n，則有x（t）+y（t）=n。在單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，設(shè)比例常數(shù)為k，稱為傳染系數(shù)。于是

=ky（t）xt

或

=kx（n-x）

這個模型稱為SI模型，是伯努利方程，可以解出這個方程并通過它的解分析疾病的流行規(guī)律。這樣不僅開闊了學(xué)生的視野，還讓學(xué)生經(jīng)歷了用所學(xué)知識解決實際問題的過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

類似的，針對我國2011年進行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型預(yù)測人口的發(fā)展趨勢；針對2008年SARS的傳播可以引入適當?shù)哪Ｐ?，并結(jié)合實際數(shù)據(jù)，分析疾病的流行動態(tài)。

2.2 利用計算機輔助學(xué)習(xí)

隨著計算機的發(fā)展，產(chǎn)生了很多數(shù)學(xué)軟件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用這些軟件輔助常微分方程的學(xué)習(xí)。一方面通過數(shù)值計算和繪圖迅速了解或探討某些常微分方程的性態(tài)；另一方面應(yīng)用軟件中符號計算功能可直接求解某些常微分方程。

Mathematica語言中，符號運算、數(shù)值計算及圖形繪制均有特色，特別是輸入顯示界面可以直接輸入及顯示人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)符號，非常直觀。

如可按下面的過程求方程組 基解矩陣：

A={{2，1} {0，2}} 建立矩陣A；

Eigensystem[A] 求矩陣的特征值、特征向量；

Exp[A*t] 得到基解矩陣。

再如，常微分方程 可如下求解：

DSolve 。

此外，Mathematica語言在向量場、等高線、微分方程數(shù)值解及作圖、拉普拉斯變換等問題上都可以很方便應(yīng)用。

2.3 整合課本內(nèi)容，讓學(xué)生對知識有整體掌握

不要拘泥于教材的內(nèi)容，可以從課外找出相應(yīng)問題作為例題，這樣會擴大學(xué)生的知識范圍，吸引學(xué)生的注意力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力。

對教材中的一些內(nèi)容進行歸納總結(jié)，例如，由于高階微分方程與線性微分方程組在可解的意義下是等價的，可以把高階線性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應(yīng)內(nèi)容放到一起，它們解的結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)也基本相同。經(jīng)過對比講解可以指出它們的異同，站在更高處審視所學(xué)的知識，這樣這部分內(nèi)容能較容易地被學(xué)生掌握，同時還能解決學(xué)時少，課堂效率低的問題。

可以以解決實際問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生建立學(xué)習(xí)團隊，通過自身或團隊開展發(fā)掘、調(diào)查、訪問、資料收集、操作等多樣的學(xué)習(xí)活動，分析、解決問題，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力。

2.4 利用現(xiàn)代教學(xué)手段，提高教學(xué)效果

隨著科技的發(fā)展，各種現(xiàn)代教育技術(shù)異彩紛呈。作為現(xiàn)代教育技術(shù)典型代表的多媒體輔助教學(xué)，有利于提高課堂的教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。但多媒體教學(xué)也有操作速度快、學(xué)生反映跟不上等弊端。對于常微分方程教學(xué)，在傳授知識的同時，不可缺少的是嚴謹?shù)耐评磉^程，推理的每一步都是對學(xué)生思維的訓(xùn)練過程，如果把內(nèi)容一股腦地全顯示出來，這很難給人留下深刻印象，簡化了學(xué)生對知識的思維過程，抑制了學(xué)生的思維能力，效果較差。因此，為了提高教學(xué)效果，教師可將板書和多媒體結(jié)合使用，在需要推導(dǎo)的時候使用板書，對只需要展示的內(nèi)容可事先做好課件。

通過建設(shè)課程網(wǎng)站，建立個人主頁、建立課程郵箱、設(shè)立網(wǎng)上討論區(qū)等方式，打破傳統(tǒng)的師生之間教與學(xué)的關(guān)系，增加學(xué)生主動學(xué)習(xí)的機會，建立平等討論、互相促進的關(guān)系，開拓出新的教學(xué)空間。

2.5 授課過程中注意引導(dǎo)學(xué)生進行思考

教師應(yīng)該授之以漁而非授之以魚。在常微分方程的教學(xué)過程中，教學(xué)工作是教會“如何把未知問題歸結(jié)為已知問題求解”的思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生如何由已知探求未知知識，培養(yǎng)他們認識問題、理解問題、解決問題的能力，同時他們也會領(lǐng)會知識的整體體系，達到融會貫通的目的。

2.6 改革考核方法，加強對學(xué)生學(xué)習(xí)效果檢測

考試是教學(xué)過程中的重要環(huán)節(jié)，是檢驗學(xué)生學(xué)習(xí)情況，評價教學(xué)質(zhì)量的手段?，F(xiàn)行的閉卷考察方式更多考察的是記憶能力、知識本身、理論基礎(chǔ)而忽略了理解能力、智力因素、實踐能力，存在著弊端。選擇什么樣的考核方式對教學(xué)具有重要影響。常微分方程課程的考核可采取N+1的考核方式，可將常微分方程的考核分為平時到課率、期中考試成績、上機考試（如實驗設(shè)計能力的考核、計算機數(shù)學(xué)軟件使用等的考核），再加上期末理論考試成績。分別設(shè)置不同的權(quán)重，取綜合成績。這種考核方式，除了讓學(xué)生掌握課本的理論知識外，還注重學(xué)生平時各方面的表現(xiàn)以及各種能力的訓(xùn)練，有利于應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。

參考文獻：

[1] 張偉年.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實踐.高等理科教育.2003（1）

[2] 張紅雷.信息與計算科學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革初探.徐州教育學(xué)院學(xué)報.2008（1）

[3] 儲亞偉，朱茱.高師本科常微分方程教學(xué)改革的探究.阜陽師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2008（3）

[4] 鐘秀蓉.本科自動化專業(yè)常微分方程教學(xué)之改革與實踐.內(nèi)江科技.2009（4）

[5] 藍師義.常微分方程教學(xué)改革的探索.廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2009（3）

[6] 方輝平.常微分方程教學(xué)改革與實踐.滁州學(xué)院學(xué)報.2010（2）

[7] 程國華.數(shù)學(xué)建模融入常微分方程教學(xué)的研究.科教文匯.2010 （12下旬）

基金項目：運城學(xué)院教學(xué)綜合改革項目，項目名稱："常微分方程教學(xué)中學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)"（課題編號：JG201203），主持人：劉漢武。