中心極限定理在統(tǒng)計(jì)推斷中的應(yīng)用

丁 健，李紅菊

(安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，安徽合肥230088)

在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的實(shí)際問題中，隨機(jī)變量到處可見，許多隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即使有些隨機(jī)變量不服從正態(tài)分布，但它們的和也近似服從正態(tài)分布，這是由中心極限定理決定的.在概率論中凡是在一定條件下判定隨機(jī)變量之和的分布是正態(tài)分布的定理統(tǒng)稱為中心極限定理.中心極限定理解釋了正態(tài)分布廣泛存在的原因，并為解決實(shí)際問題時(shí)利用正態(tài)分布提出了理論依據(jù).目前教科書上僅對中心極限定理做了理論上的闡述，對它的實(shí)用價(jià)值涉及較少，本文通過統(tǒng)計(jì)推斷中的實(shí)際問題來說明中心極限定理的廣泛應(yīng)用.通過對實(shí)際問題的探討和學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠較深刻地理解和掌握中心極限定理，這對教學(xué)有實(shí)際意義.

1 中心極限定理

獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理是我們所熟悉的兩大類中心極限定理，具體內(nèi)容如下:

獨(dú)立同分布的中心極限定理［1］設(shè)隨機(jī)變量 X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，且服從同一分布，E(Xi)=u，D(Xi)= σ2，i=1，2，…，n，則當(dāng) n 很大時(shí)，隨機(jī)變量，即

棣莫弗 －拉普拉斯中心極限定理［1］在n重伯努力試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，ηn為事件A發(fā)生的次數(shù)，則當(dāng)n充分大時(shí)，有或

2 中心極限定理的實(shí)際應(yīng)用

2.1 中心極限定理在統(tǒng)計(jì)估計(jì)中的應(yīng)用

數(shù)理統(tǒng)計(jì)一般研究正態(tài)總體均值和方差的統(tǒng)計(jì)估計(jì)，而由簡單隨機(jī)抽樣得到的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立且服從同一分布的，所以在實(shí)際問題中，不論總體服從什么樣的分布，只要樣本的容量充分大，我們就可以根據(jù)中心極限定理把隨機(jī)變量的和近似看成服從正態(tài)分布，直接利用中心極限定理進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，對總體中未知參數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì).

不論總體服從什么分布，只要選擇的樣本容量足夠大，根據(jù)中心極限定理，樣本均值為選取樞軸量關(guān)于總體均值的置信水平為1－α的置信區(qū)間為在許多實(shí)際問題中，我們還經(jīng)常碰到總體分布和總體方差均未知的情況，此時(shí)可以用樣本方差s2作為總體方差D(X)的無偏估計(jì)量，用s2代替D(X)，根據(jù)中心極限定理，仍可以求出μ的置信水平為1－α的置信區(qū)間

例1 以X表示某一工廠生產(chǎn)的某種器材的壽命(以小時(shí)計(jì))，經(jīng)驗(yàn)表明D(X)=1156，現(xiàn)從總體中取得一容量為49的樣本，得到各個觀察值，并計(jì)算出樣本均值珋x=1589，樣本方差s2=1122.25.求總體均值μ在置信水平為0.95時(shí)的置信區(qū)間.

解 由題意可知，從總體中抽取了一個大樣本(n=49)，不論總體服從什么樣的分布，根據(jù)中心極限定理，樣本均值

1－α=0.95，總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為查正態(tài)分布表得.代入觀察值得到這家工廠制造的器件平均壽命的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(1579.48，1598.52)，這說明這家工廠制造的器件平均壽命在(1579.48，1598.52)的概率不小于0.95.

注 如果在例1中不知總體的方差，仍可以計(jì)算出總體均值μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間

如果試驗(yàn)是伯努力試驗(yàn)，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率p未知，可以從總體中抽取一個容量(n)很大的樣本，fn表示事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)樣本容量很大時(shí)，二項(xiàng)式分布近似于正態(tài)分布，即)，對 p進(jìn)行統(tǒng)計(jì)估計(jì)，則關(guān)于p的置信水平為1－α的置信區(qū)間為

例2 糧站有一大批糧種，欲了解糧種的發(fā)芽率p，在其中任選了6400粒進(jìn)行試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果5000粒發(fā)芽，求糧種發(fā)芽率p的置信水平為0.99的置信區(qū)間.

1－α=0.99，得到發(fā)芽率p在置信水平為0.99時(shí)的置信區(qū)間為

2.2 中心極限定理在假設(shè)檢驗(yàn)中的應(yīng)用

假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一個重要內(nèi)容.對總體分布函數(shù)的形式或關(guān)于總體參數(shù)值的陳述叫做統(tǒng)計(jì)假設(shè)［1］.總體的分布或參數(shù)未知的情況下，通過一些預(yù)知的知識對總體提出兩個假設(shè)H0和H1，然后根據(jù)樣本去判斷是接受H0還是拒絕H0的過程是假設(shè)檢驗(yàn)［1］.

在許多實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，研究的幾乎都是大樣本．根據(jù)中心極限定理，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，對總體的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，提出原假設(shè) H0:E(X)=μ0，可以選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量或，當(dāng)原假設(shè)H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z近～似N(0，1)，選擇顯著性水平為α，此時(shí)H0的拒絕域?yàn)?/p>

例3 某農(nóng)業(yè)大學(xué)研究在改善栽培條件下黃豆的重量是否有明顯改變，已知改善條件前黃豆的平均重量μ0=350(單位:mg)，σ未知，現(xiàn)隨機(jī)地抽取100粒，測得這100粒黃豆的平均重量x珋=352.5mg，s2=25，問在顯著性水平α=0.05條件下改善栽培條件后黃豆的重量是否較之前重量有明顯差異?

解 由題意H0:E(X)= μ0;H1:E(X)≠μ0，其中μ0=350.

在顯著性水平 α=0.05的條件下，H0的拒絕域?yàn)閨Z|≤zα=Z0.025.

查正態(tài)分布表z0.025=1.96，故|Z|=，所以接受原假設(shè)，即認(rèn)為在顯著性水平α=0.05的條件下改善栽培條件后黃豆的重量較之前重量有明顯差異.

3 結(jié)語

由于實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題均通過大樣本來估計(jì)總體，總體的分布已知不是必要的解題條件，只要當(dāng)樣本容量很大，隨機(jī)變量的和總是近似服從正態(tài)分布，正是這個結(jié)論使得中心極限定理可以解決很多實(shí)際問題.本文僅探討了中心極限定理在統(tǒng)計(jì)推斷中關(guān)于總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的一些實(shí)際應(yīng)用，其實(shí)在商業(yè)管理決策、函數(shù)極限求法、保險(xiǎn)業(yè)、抽樣推斷中的概率預(yù)測和樣本容量的確定等實(shí)際問題中都會用到中心極限定理，所以對于中心極限定理的研究具有一定的理論意義和實(shí)際價(jià)值.

［1］盛驟，謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［2］劉家琨.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.