托勒密定理的多種證明及其應(yīng)用例談

陶布

托勒密定理是初等幾何的一個(gè)經(jīng)典命題，它以具有十分廣泛的應(yīng)用而著稱，托勒密定理描述的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用它可以解決與圓有關(guān)的幾何命題，也可以通過(guò)構(gòu)造圓解決代數(shù)問(wèn)題，本文主要通過(guò)對(duì)托勒密定理的研究，從不同的角度給出了七種證法，并著重研究了托勒密定理的應(yīng)用，以凸顯托勒密定理在解決有關(guān)幾何命題的作用。

一、托勒密定理及其證明

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和。

1.預(yù)備知識(shí)

引理一（西姆松定理）：三角形外接圓上任意一點(diǎn)在三邊所在直線上的射影點(diǎn)共線。

引理二（西姆松定理的逆定理）：若一個(gè)點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影點(diǎn)共線，則該點(diǎn)在此

三角形的外接圓上。