基于聯(lián)合定價(jià)模型的獎(jiǎng)懲因子的擴(kuò)展與比較

謝遠(yuǎn)濤，李政宵

（1．對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 保險(xiǎn)學(xué)院，北京100029；2．中國(guó)人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京100872）

一、引 言

在非壽險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)過程中，保險(xiǎn)公司通常需要考慮兩類風(fēng)險(xiǎn)信息：一類是已知的風(fēng)險(xiǎn)特征信息，如保單持有人的性別、職業(yè)以及居住地等。對(duì)該類風(fēng)險(xiǎn)信息的定價(jià)通常使用分類費(fèi)率厘定技術(shù)。由于分類信息中并沒有保單潛在的風(fēng)險(xiǎn)信息，會(huì)導(dǎo)致同一風(fēng)險(xiǎn)類別下個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)并不完全同質(zhì)，分類費(fèi)率厘定就會(huì)出現(xiàn)偏差，這就需要第二類風(fēng)險(xiǎn)信息，即潛在的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)信息對(duì)保費(fèi)進(jìn)行調(diào)整。個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)信息通常包含在保單經(jīng)驗(yàn)索賠數(shù)據(jù)中，保險(xiǎn)公司不僅需要根據(jù)費(fèi)率因子厘定分類費(fèi)率，還需考慮保單經(jīng)驗(yàn)索賠數(shù)據(jù)，這樣保費(fèi)具有合理性。

信度理論源于20世紀(jì)初，主要用于解決保單分類時(shí)出現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)異質(zhì)性問題。信度理論認(rèn)為預(yù)期保費(fèi)是個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)與整體風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均值，權(quán)重表示為信度因子［1］。信度理論的發(fā)展主要分為兩個(gè)方向：Bühlmann信度和貝葉斯信度。僅當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)服從自然共軛分布時(shí)貝葉斯信度預(yù)測(cè)值才表現(xiàn)為線性形式，因此貝葉斯信度被稱為最大精度信度［2］；Bühlmann信度模型利用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的思想，在均方誤差最小的約束條件下推導(dǎo)出線性信度估計(jì)量，該線性信度估計(jì)值可以作為貝葉斯信度的漸進(jìn)估計(jì)值，因此也被稱為最大精度信度［3］。

作為經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率厘定的重要方法，信度理論只考慮了個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)信息，卻忽略了費(fèi)率因子對(duì)保費(fèi)的影響。因此，保險(xiǎn)公司通常使用廣義線性模型進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分類，計(jì)算出分類費(fèi)率，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)索賠信息進(jìn)行費(fèi)率調(diào)整。廣義線性模型與信度模型分別利用保單已知的風(fēng)險(xiǎn)特征信息和經(jīng)驗(yàn)信息進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)劃分，但這兩類風(fēng)險(xiǎn)特征信息通常呈現(xiàn)出高度相關(guān)性。運(yùn)用廣義線性模型劃分的高風(fēng)險(xiǎn)保單，經(jīng)驗(yàn)索賠次數(shù)通常較高；劃分的低風(fēng)險(xiǎn)保單，經(jīng)驗(yàn)索賠次數(shù)通常較低，因此會(huì)造成風(fēng)險(xiǎn)信息的重復(fù)利用，使保險(xiǎn)公司對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)的保單收取過低的保費(fèi)，而對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)保單收取了過高的保費(fèi)，從而產(chǎn)生了“重復(fù)獎(jiǎng)懲”的問題［4］。

為了能夠更好地制定公平費(fèi)率，F(xiàn)rees將線性混合模型用作聯(lián)合定價(jià)模型。Frees認(rèn)為信度模型是線性混合模型的特例，在正態(tài)分布假設(shè)下它們的預(yù)測(cè)結(jié)果是等價(jià)的［5］。線性混合模型的固定效應(yīng)用于描述保單已知的風(fēng)險(xiǎn)，信息隨機(jī)效應(yīng)用于描述保單個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)信息。線性混合模型以正態(tài)分布為基礎(chǔ)，但保險(xiǎn)數(shù)據(jù)通常服從厚尾分布或離散型分布，其聯(lián)合定價(jià)方法往往缺乏穩(wěn)健性。國(guó)外聯(lián)合定價(jià)領(lǐng)域的主流研究是以線性混合模型或者廣義線性混合模型為基礎(chǔ)［6］。國(guó)內(nèi)相關(guān)研究較少，王明高、孟生旺擴(kuò)展了線性混合模型的殘差正態(tài)分布假設(shè)，改善了聯(lián)合定價(jià)的預(yù)測(cè)結(jié)果［7］。考慮到信度模型與廣義線性混合模型的隱含關(guān)系，可以將信度模型與廣義線性混合模型結(jié)合，但目前學(xué)術(shù)界還沒有相關(guān)文獻(xiàn)證明結(jié)合后的聯(lián)合定價(jià)模型的優(yōu)越性，也沒有相關(guān)理論支持預(yù)測(cè)值具有信度模型的特性［8］。因此，聯(lián)合定價(jià)方法在非壽險(xiǎn)定價(jià)的運(yùn)用仍未取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。

本文放寬了隨機(jī)效應(yīng)的正態(tài)分布假設(shè)，對(duì)索賠次數(shù)的廣義線性混合模型基本假設(shè)進(jìn)行修正，將信度模型與廣義線性混合模型相結(jié)合，提出了一種擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型。擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的預(yù)測(cè)值不僅具備信度模型的“收縮估計(jì)”，還可以表示成獎(jiǎng)懲系統(tǒng)因子的形式。實(shí)證研究表明，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型能夠更好地解決“重復(fù)獎(jiǎng)懲”的問題。

二、模型設(shè)定

（一）基本假設(shè)

本文將信度模型嵌套入廣義線性混合模型的框架，建立聯(lián)合定價(jià)模型。首先考慮具有n份保單的風(fēng)險(xiǎn)組合，每份保單之間相互獨(dú)立，每份保單都包含T年的索賠次數(shù)的觀測(cè)值。第i份保單在第t年的索賠次數(shù)用隨機(jī)變量［Yit：i＝1，2，…，n；t＝1，2，…，T］來表示。保險(xiǎn)公司在制定保費(fèi)時(shí)通常使用廣義線性模型，假設(shè)索賠次數(shù)在風(fēng)險(xiǎn)參數(shù) （Θi＝θi）給定條件下服從指數(shù)分布族，其密度函數(shù)表示為：

其中τ為離散參數(shù)，ηit為自然參數(shù)。

索賠次數(shù)的均值和方差可以表示為：

其中v（·）為方差函數(shù)。

通過連接函數(shù)可以建立均值與費(fèi)率因子之間的關(guān)系，通常使用對(duì)數(shù)連接函數(shù)，故有：

其中expβT（x）表示第i份保單在觀察期t的平均索賠頻率的預(yù)測(cè)值。如果兩份保單具有相同的費(fèi)率結(jié)構(gòu)，索賠頻率具有相同的預(yù)測(cè)值，但實(shí)際上保費(fèi)會(huì)因保單個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的差異而略微不同。對(duì)于費(fèi)率結(jié)構(gòu)相同的保單制定相同的費(fèi)率將不再合理。

為了使模型（3）的預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確，需要引入隨機(jī)效應(yīng)ui描述不同保單的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)差異。第i份保單的均值表示為：

本文將模型（4）稱之為聯(lián)合定價(jià)模型。如果隨機(jī)效應(yīng)ui服從均值為0的正態(tài)分布，即ui～，則聯(lián)合定價(jià)模型本質(zhì)上就是廣義線性混合模型，但廣義線性混合模型作為聯(lián)合定價(jià)的方法存在較大的缺陷，即保單組合的總平均索賠頻率的預(yù)測(cè)值μ仍然是隨機(jī)效應(yīng)ui的函數(shù)，總平均索賠頻率仍然會(huì)受到保單個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的影響。

為了消除個(gè)體對(duì)總平均索賠頻率的影響，本文對(duì)模型（4）進(jìn)行修正，對(duì)隨機(jī)效應(yīng)施加約束條件：，得到擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型。在約束條件下，模型（4）中的隨機(jī)效應(yīng)將服從非中心的正態(tài)分布，即）。這種特殊假設(shè)可以使模型對(duì)總平均損失的預(yù)測(cè)值為，對(duì)個(gè)體保單的損失預(yù)測(cè)值為，即個(gè)體保單的損失預(yù)測(cè)值可以表示為對(duì)總平均損失預(yù)測(cè)值的比例調(diào)整，調(diào)整因子為eui。該假設(shè)保證總平均損失不隨個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)改變，使保險(xiǎn)人對(duì)相同費(fèi)率結(jié)構(gòu)的人收取恒定的先驗(yàn)保費(fèi)，以確保先驗(yàn)定價(jià)的合理性和公平性。

（二）擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的構(gòu)建

下面將模型（4）與信度模型結(jié)合，對(duì)下一期的索賠次數(shù)Yi，T＋1進(jìn)行預(yù)測(cè)。在廣義線性混合模型框架下，用固定效應(yīng)表示費(fèi)率因子，隨機(jī)效應(yīng)表示個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)之間的差異，索賠次數(shù)的期望與方差有下述形式：

并在下式最小化的條件下求解未知參數(shù)：

在Bühlmann信度模型中，只需給出隨機(jī)變量的一階矩和二階矩，在非參數(shù)估計(jì)的思想下就能得到信度預(yù)測(cè)值和相應(yīng)的信度因子。本文將信度模型與廣義線性混合模型相結(jié)合，求解相應(yīng)的信度預(yù)測(cè)值與信度因子的顯式解。

對(duì)損失函數(shù)L關(guān)于cit求導(dǎo)并令其等于零，可得式（8）和式（9）所示的方程：

將式（5）的期望與方差形式帶入式（8）和式（9），整理得到：

在ci1＝ci2＝…＝ciT：＝ci的假設(shè)下，結(jié)合式（5）和式（10）即得：

其中信度因子為：

（三）獎(jiǎng)懲因子形式

為了進(jìn)一步驗(yàn)證擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的優(yōu)勢(shì)，本文將引入獎(jiǎng)懲系統(tǒng)因子。在泊松分布的假設(shè)下，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的預(yù)測(cè)值可以簡(jiǎn)化為獎(jiǎng)懲系統(tǒng)因子的一般形式。

假設(shè)索賠次數(shù)服從泊松分布，即Yit～Possion（），密度函數(shù)表示為：

索賠次數(shù)的期望和方差可以簡(jiǎn)化為：

將式（15）代入式（13），預(yù)測(cè)值可以改寫為更簡(jiǎn)潔的形式：

上式兩邊同時(shí)除以λi，T＋1，得到獎(jiǎng)懲因子的一般表達(dá)式：

獎(jiǎng)懲因子同時(shí)考慮了保單的費(fèi)率因子結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)損失信息，并具備如下性質(zhì)：其一，當(dāng)保險(xiǎn)事故發(fā)生次數(shù)超過總預(yù)測(cè)值時(shí)，獎(jiǎng)懲因子大于1，保單持有人將受到懲罰，下期繳納相對(duì)較多的保費(fèi)；當(dāng)個(gè)體保險(xiǎn)事故發(fā)生次數(shù)少于總預(yù)測(cè)值時(shí)，獎(jiǎng)懲因子小于1，保單持有人享受保費(fèi)折扣優(yōu)惠，下期繳納相對(duì)較少的保費(fèi)。其二，獎(jiǎng)懲因子受到隨機(jī)效應(yīng)波動(dòng)性的影響。在聯(lián)合定價(jià)模型中，隨機(jī)效應(yīng)用于描述個(gè)體保單的風(fēng)險(xiǎn)差異，個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)之間差異越小，獎(jiǎng)懲因子值越小，保單持有人獲得保費(fèi)折扣的概率越大。其三，獎(jiǎng)懲因子還受到費(fèi)率因子的影響。相比于Bühlmann－Straub信度模型的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)因子，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型同時(shí)考慮了費(fèi)率因子和個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)特征的影響。

三、擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型參數(shù)估計(jì)

（一）泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)

當(dāng)隨機(jī)效應(yīng)服從正態(tài)分布時(shí)，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型退化為泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)聯(lián)合定價(jià)模型。此時(shí)，為了得到獎(jiǎng)懲因子的預(yù)測(cè)值式，需要估計(jì)＾δ和＾λit。＾δ的估計(jì)值與隨機(jī)效應(yīng)ui的指數(shù)化后的方差有關(guān)，＾λit的估計(jì)值與固定效應(yīng)的估計(jì)值有關(guān)。對(duì)固定效應(yīng)與隨機(jī)效應(yīng)的估計(jì)沿用了廣義線性混合模型的參數(shù)估計(jì)方法。基于聯(lián)合密度函數(shù)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，可以表示為：

考慮到上式包含積分項(xiàng)，實(shí)際計(jì)算比較困難，需要采用近似算法或數(shù)值積分算法獲得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值，通常使用的一種方法是Adaptive Gaussian Quadrature 法［9］。 例 如，SAS 軟 件 的NLMIXED模塊，該方法求得的似然函數(shù)值還可以用于似然比檢驗(yàn)。

（二）泊松－伽馬模型的參數(shù)估計(jì)

若隨機(jī)效應(yīng)經(jīng)過指數(shù)變換后服從伽馬分布，即exp（ui）～Gamma（α，α），擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型退化為泊松－伽馬聯(lián)合定價(jià)模型。隨機(jī)效應(yīng)呈非正態(tài)分布時(shí)既有軟件無法處理，考慮泊松－伽馬模型的后驗(yàn)分布服從負(fù)二項(xiàng)分布的特殊性質(zhì)，本文先用SAS軟件中的GLIMMIX模塊擬合負(fù)二項(xiàng)分布并估計(jì)參數(shù)，然后利用方差與期望的特性，反過來估計(jì)伽馬分布的α參數(shù)。給定了某樣本，其對(duì)數(shù)似然函數(shù)的貢獻(xiàn)為：

其中，參數(shù)為負(fù)二項(xiàng)分布的散度參數(shù)。在參數(shù)估計(jì)中，本文使用了Miller在文獻(xiàn)中使用的擴(kuò)展的廣義估計(jì)方程（eGEE）方法［10］。

四、實(shí)證研究

下面應(yīng)用一組車險(xiǎn)索賠次數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析。數(shù)據(jù)總體包含了國(guó)外某保險(xiǎn)公司40 000張保單在3年期間的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)。表1展示了保單持有人的年齡和車輛價(jià)值兩個(gè)費(fèi)率因子，其中年齡為分類變量，包含10個(gè)水平；車輛價(jià)值也為分類變量，包含6個(gè)水平。

假設(shè)索賠次數(shù)服從泊松分布，分別建立單獨(dú)定價(jià)模型與聯(lián)合定價(jià)模型。單獨(dú)定價(jià)模型首先運(yùn)用廣義線性模型擬合索賠次數(shù)，得到索賠頻率的總平均預(yù)測(cè)值，見式（3）；然后運(yùn)用信度模型，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)索賠次數(shù)，對(duì)索賠頻率的預(yù)測(cè)值進(jìn)行調(diào)整。聯(lián)合定價(jià)模型是直接運(yùn)用式（4）進(jìn)行模型擬合，運(yùn)用式（16）進(jìn)行預(yù)測(cè)。擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的均值表示為：

其中若隨機(jī)效應(yīng)ui隨保單編號(hào)改變而改變，若ui服從正態(tài)分布N（－σ2／2，σ2），聯(lián)合定價(jià)模型就擴(kuò)展為泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)聯(lián)合定價(jià)模型；若exp （ui）服從伽馬分布Γ（α，α），聯(lián)合定價(jià)模型就擴(kuò)展為泊松－伽馬聯(lián)合定價(jià)模型。

表1 數(shù)據(jù)說明及符號(hào)表示

隨機(jī)抽取10個(gè)保單樣本，比較聯(lián)合定價(jià)與單獨(dú)定價(jià)模型獎(jiǎng)懲因子的預(yù)測(cè)值，見表2。從整體趨勢(shì)分析，索賠記錄為0的保單獎(jiǎng)懲因子遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，當(dāng)發(fā)生1次保險(xiǎn)事故后，獎(jiǎng)懲因子變動(dòng)到1之上，說明該保單因發(fā)生保險(xiǎn)事故繳納了額外的保費(fèi)，發(fā)生2次保險(xiǎn)事故的保單受懲罰程度大幅增加；比較費(fèi)率結(jié)構(gòu)相同的保單6和7，當(dāng)歷史索賠次數(shù)由0增加到2時(shí)，單獨(dú)定價(jià)下的獎(jiǎng)懲因子遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于聯(lián)合定價(jià)下的獎(jiǎng)懲因子，說明單獨(dú)定價(jià)模型確實(shí)存在過度懲罰的現(xiàn)象（見表2）。

表2 獎(jiǎng)懲因子預(yù)測(cè)值表

本文將獎(jiǎng)懲因子大于1的保單歸為高風(fēng)險(xiǎn)，將獎(jiǎng)懲因子小于1的保單歸為低風(fēng)險(xiǎn)。圖1比較了隨機(jī)抽取的30個(gè)樣本的獎(jiǎng)懲因子的預(yù)測(cè)值。對(duì)于同質(zhì)性的高風(fēng)險(xiǎn)保單，聯(lián)合定價(jià)下的獎(jiǎng)懲因子預(yù)測(cè)值高于單獨(dú)定價(jià)的獎(jiǎng)懲因子，原因在于單獨(dú)定價(jià)的保單重復(fù)利用了先驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)特征信息與經(jīng)驗(yàn)索賠信息，而對(duì)于同質(zhì)性的低風(fēng)險(xiǎn)保單，兩種方法下對(duì)獎(jiǎng)懲因子預(yù)測(cè)結(jié)果差異不大。以上聯(lián)合定價(jià)模型是在隨機(jī)效應(yīng)服從正態(tài)分布的假設(shè)下的預(yù)測(cè)值，即泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)模型。實(shí)證結(jié)果表明，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）能夠更好地解決對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)保單的“過度懲罰”問題，但處理低風(fēng)險(xiǎn)保單的“重復(fù)獎(jiǎng)懲”問題并沒有預(yù)想的充分。

圖1 聯(lián)合定價(jià)與單獨(dú)定價(jià)模型的獎(jiǎng)懲因子比較圖

基于此，本文將擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）擴(kuò)展到聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬），調(diào)整后的獎(jiǎng)懲因子預(yù)測(cè)值見圖2。聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）的獎(jiǎng)懲因子在高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域與聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）的高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域重復(fù)性較高，認(rèn)為以上兩種聯(lián)合定價(jià)模型在處理高風(fēng)險(xiǎn)類別時(shí)，都能夠解決“重復(fù)懲罰”問題。聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）在低風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域的獎(jiǎng)懲因子更接近1，認(rèn)為聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）能更好地解決“重復(fù)獎(jiǎng)勵(lì)”問題。從模型本質(zhì)分析，聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）實(shí)質(zhì)是隨機(jī)效應(yīng)服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布下的估計(jì)值，聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）實(shí)質(zhì)是隨機(jī)效應(yīng)服從伽馬分布的估計(jì)值。在聯(lián)合定價(jià)模型中，由于隨機(jī)效應(yīng)表示的是保單個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)特征，伽馬分布比對(duì)數(shù)正態(tài)分布更適合于描述保單的個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)信息。

圖2 聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）和聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）預(yù)測(cè)值圖

表3比較了幾種聯(lián)合定價(jià)模型的擬合效果。擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型無論在AIC、對(duì)數(shù)似然值還是均方誤差下都優(yōu)于廣義線性混合模型。其中聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）的預(yù)測(cè)均方誤差低于聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)），認(rèn)為聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）的擬合度更高，誤差更小。由于保險(xiǎn)賠款次數(shù)通常具有過離散性，聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）本質(zhì)上可以等同于負(fù)二項(xiàng)分布，在處理過離散的保險(xiǎn)數(shù)據(jù)的方面效果較好，得到的獎(jiǎng)懲系統(tǒng)有更大的實(shí)用價(jià)值，同時(shí)也驗(yàn)證了孟生旺的結(jié)論［4］。

表3 聯(lián)合定價(jià)模型預(yù)測(cè)精度表

此外，擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型的獎(jiǎng)懲因子還具有信度模型“收縮估計(jì)”的性質(zhì)。圖3比較了擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型和Bühlmann－Straub模型的信度因子估計(jì)值，圖4顯示了獎(jiǎng)懲因子在整體均值與經(jīng)驗(yàn)均值之間“收縮”。單獨(dú)定價(jià)模型的信度因子整體偏大，原因在于Bühlmann－Straub信度因子只考慮經(jīng)驗(yàn)損失數(shù)據(jù)對(duì)獎(jiǎng)懲因子的影響，即信度因子賦予經(jīng)驗(yàn)索賠信息的權(quán)重較高。聯(lián)合定價(jià)模型事先對(duì)保單進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分類，根據(jù)同類風(fēng)險(xiǎn)劃分風(fēng)險(xiǎn)單位，繼而再考慮個(gè)體歷史索賠信息對(duì)保費(fèi)的調(diào)整作用，實(shí)質(zhì)上信度因子賦予經(jīng)驗(yàn)信息的權(quán)重降低，預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)類別的信息增加，這為聯(lián)合定價(jià)提供了更為合理的解釋。

圖3 擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)與信度模型信度因子比較圖

圖4 聯(lián)合定價(jià)模型的收縮效應(yīng)圖

為了防止本研究過分依賴數(shù)據(jù)，本文使用了Bootstrap技術(shù)重抽樣1 000次，每次抽取初始樣本的80%進(jìn)行密集實(shí)驗(yàn)。為了重點(diǎn)關(guān)注尾部，每次實(shí)驗(yàn)都篩選出信度因子大于1．5或小于0．5部分（以單獨(dú)定價(jià)模型為基準(zhǔn)）進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。每次抽樣對(duì)單獨(dú)定價(jià)模型、廣義線性混合模型、聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）和聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）的雙尾數(shù)據(jù)進(jìn)行F檢驗(yàn)。1 000次抽樣檢驗(yàn)中F檢驗(yàn)顯著的有927次，按照二項(xiàng)分布來構(gòu)建檢驗(yàn)，伴隨概率＜0．000 1，因此認(rèn)為4個(gè)模型之間的差異具有顯著性。綜合獎(jiǎng)懲因子進(jìn)行分析，認(rèn)為本文構(gòu)建的模型確實(shí)有利于解決“重復(fù)獎(jiǎng)懲”問題，聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）下的獎(jiǎng)懲因子效果更佳。

五、結(jié) 論

廣義線性混合模型作為聯(lián)合定價(jià)中的常用的模型，能夠解決單獨(dú)定價(jià)模型存在的風(fēng)險(xiǎn)信息重復(fù)疊加的問題，但是隨機(jī)效應(yīng)滿足均值為零的正態(tài)分布的假設(shè)，會(huì)造成對(duì)個(gè)體保單的費(fèi)率估計(jì)有偏，預(yù)測(cè)誤差偏高。在廣義線性混合模型的基礎(chǔ)上，通過擴(kuò)展隨機(jī)效應(yīng)的假設(shè)，引入信度模型，就能得到本文中擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型。該模型將信度模型中隱含的正態(tài)分布假設(shè)擴(kuò)展到泊松分布，對(duì)索賠次數(shù)的描述與預(yù)測(cè)更加合理。

擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型根據(jù)隨機(jī)效應(yīng)假設(shè)的不同，可以分為聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）和聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－伽馬）。研究發(fā)現(xiàn)，聯(lián)合定價(jià)模型（泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)）能更好地解決“過度懲罰”問題，但在解決“過度折扣”問題上表現(xiàn)并不明顯。若將隨機(jī)效應(yīng)擴(kuò)展到伽馬分布，泊松－伽馬模型下的獎(jiǎng)懲因子能更好地解決“過度獎(jiǎng)懲”問題，且預(yù)測(cè)精度和擬合效果都優(yōu)于其他模型。

擴(kuò)展的聯(lián)合定價(jià)模型還具有信度模型的“收縮效應(yīng)”，本文從理論和實(shí)證上都證明了聯(lián)合定價(jià)的估計(jì)值寫成信度因子形式具有必然性。聯(lián)合定價(jià)模型在進(jìn)行費(fèi)率厘定研究中的另外一大優(yōu)勢(shì)是，能通過選擇不同的隨機(jī)效應(yīng)協(xié)方差矩陣來刻畫風(fēng)險(xiǎn)單位之間的相關(guān)性，這也是今后需要繼續(xù)研究的一個(gè)方向。

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