導引頭量測誤差對落角約束最優(yōu)制導律制導精度的影響

王 輝，林德福，王延東

（1.北京理工大學 宇航學院，北京100081；2.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，長春130033）

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭形式的變化及精確制導技術的快速發(fā)展，在實現(xiàn)對敵方地面高價值目標精確攻擊的同時，對末端攻擊角度也提出了約束，如對裝甲目標的掠頂攻擊、對敵方艦船的掠海－俯沖攻擊、航路點規(guī)劃等。同時，很多戰(zhàn)斗部的毀傷效能也與制導精度及末端攻擊角度密切相關，從頂部以近似垂直的角度進行攻擊可以達到更大的毀傷效果［1－2］。

傳統(tǒng)上，人們基于線性化的制導模型已經(jīng)提出了僅帶落點約束、同時帶落點和落角約束的最優(yōu)制導律［2－4］。在彈目視線角為小角度假設下，可以將上述制導律簡化成導彈加速度指令與彈目相對速度、彈目視線角、彈目視線角速度以及導彈剩余飛行時間的表達式，其中，彈目視線角速度為核心物理量，可以由平臺或動力陀螺導引頭直接測得［2－5］。簡化后的制導律表達形式簡單，易于工程實現(xiàn)。比例導引即為帶落點約束的最優(yōu)制導律的工程簡化形式，在此基礎上發(fā)展了若干衍生形式，如增強型比例導引、積分比例導引、近似積分比例導引等［6－9］。而習慣上，一般將帶落點和落角約束的最優(yōu)制導律簡稱為落角約束最優(yōu)制導律。落角約束最優(yōu)制導律是近幾年的研究熱點之一，相關的研究成果較多，如文獻［1－5，10－13］等。

本文僅研究對地攻擊的擴展落角約束最優(yōu)制導律制導精度的一般性規(guī)律，根據(jù)文獻［2－6，10－13］的描述，制導精度分別用脫靶量和落角誤差表示。

1 擴展的落角約束最優(yōu)制導律

傳統(tǒng)的對固定目標最優(yōu)的落角約束制導律表達式為［2］

式中：vr為彈目相對速度；ac為導彈加速度指令；q，分別為彈目視線角和角速度；qf為彈道終端期望落角；tgo＝tf－t，為剩余飛行時間，tf為制導時間。

根據(jù)文獻［1］的研究成果，在利用最優(yōu)控制理論推導制導律時，將控制權函數(shù)由1擴展為1／（n≥0），則引入?yún)?shù)n后的擴展落角約束最優(yōu)制導律表達式為

比較式（1）、式（2）可以看出，二者的導航系數(shù)之比由4∶2擴展為2（n＋2）∶（n＋1）（n＋2）。

為了表述方便，文中將擴展的落角約束最優(yōu)制導律簡寫成EOGLIAC（extended optimal guidance law with impact angle constraint）。

2 導引頭量測誤差及制導動力學

2.1 制導動力學

對一個具有實際意義的制導系統(tǒng)，制導動力學是必須要考慮的內(nèi)容，這其中包括導引頭動力學、制導濾波器、駕駛儀動力學等。這些動力學既可能是高階的，也可能是低階的，這取決于建模的準確性及系統(tǒng)的需求。如對常規(guī)的兩框平臺導引頭，用二階或三階環(huán)節(jié)來描述是合適的；對過載駕駛儀，工程上常用的是經(jīng)典兩回路、三回路駕駛儀或其變型，用二階或三階環(huán)節(jié)來描述也是合適的。上述導引頭和駕駛儀模型都沒有考慮慣性測量器件、濾波器、舵機等硬件動力學，一旦引入額外的硬件動力學，其階數(shù)可能達到10階、11階。

在做制導系統(tǒng)精度分析時，若直接引入高階的導引頭和駕駛儀動力學模型，由于可變參數(shù)較多，很難得出通用性的結論。因此，為了便于理論研究、簡化分析過程，通常將導引頭和駕駛儀動力學簡化成一階或二階環(huán)節(jié)來研究［2－8，10－13］。

2.2 導引頭量測誤差

導引頭量測誤差包括確定性誤差和不確定性誤差兩類。對EOGLIAC制導系統(tǒng)，導引頭不確定性量測誤差主要是指視線角速率誤差和視線角誤差Δq以及初始方向誤差（本文暫不考慮）；不確定性誤差主要是指導引頭量測噪聲，本文僅考慮導引頭探測器角噪聲，相關模型可參考文獻［2，5－6］，此處不再贅述。

3 導引頭量測誤差輸入下的EOGLIAC制導系統(tǒng)

3.1 EOGLIAC制導系統(tǒng)模型的建立

根據(jù)式（2），引入導引頭零位誤差、探測器角噪聲的EOGLIAC制導系統(tǒng)如圖1所示。圖中，Δq分別為導引頭彈目視線角速率零位誤差、彈目視線角零位誤差；ua表示輸入的探測器角噪聲；K2a為對應的噪聲功率譜密度，單位為rad2／（rad／s）；θ為彈道傾角；y′miss，θmiss分別為脫靶量和落角誤差；s為拉普拉斯算子；Th，Ta和Tg分別表示導引頭、駕駛儀和制導系統(tǒng)時間常數(shù)，其中，Tg＝Th＋Ta。

在對地攻擊時，EOGLIAC又可表示成：

由式（3）可以看出，彈道傾角θ追蹤彈目視線角q，在彈道末端θ（tf）與qf近似相等［12－13］，其中，tf為彈道的終端時刻。同時，導彈最終攻擊目標時的有效角度是終端彈道傾角而非彈目視線角，彈道傾角比彈目視線角更具工程意義。因此，落角誤差可根據(jù)θ（tf）－qf來計算［5，12］。

導引頭和駕駛儀均為一階環(huán)節(jié)，分別為1／（Ths＋1），1／（Tas＋1）。假設導引頭和駕駛儀總滯后時間常數(shù)為Tg，改變導引頭和駕駛儀動力學時間常數(shù)在總滯后時間常數(shù)中的權重，即可研究導引頭和駕駛儀動力學的快速性比值對脫靶量的影響。表1給出了總滯后時間常數(shù)為Tg，Th／Ta分別為1／5，1／2，1，2，5時的動力學分配情況。

圖1 3種誤差輸入下的落角約束最優(yōu)制導律制導系統(tǒng)結構圖

表1 導引頭和駕駛儀動力學不同選取狀態(tài)

3.2 無量綱的EOGLIAC 伴隨系統(tǒng)

定義無量綱時間＝t／Tg，則＝s／Tg，＝tf／Tg－，其中，tf／Tg表示無量綱末導時間。經(jīng)過無量綱和伴隨模型變換，得到圖2、圖3所示的無量綱脫靶量和無量綱落角誤差伴隨模型。圖中，k1＝分別表示彈目視線角及角速率零位誤差、探測器角噪聲引起的無量綱脫靶量；ymiss｜Δq，ymiss｜Δ，σmiss｜a為常規(guī)脫靶量；相應地｜Δq｜Δ，｜a為無量綱落角誤差；θmiss｜Δq，θmiss｜Δ，σθmiss｜a為常規(guī)落角誤差。圖2、圖3中的（）2表示對當前信號進行平方示對當前信號取平方根。

圖2 脫靶量伴隨系統(tǒng)結構圖

由圖2、圖3的結果可以看出，彈目視線角零位誤差引起的脫靶量與vr，Δq，Tg成正比，落角誤差與Δq成正比；彈目視線角速率零位誤差引起的脫靶量與vr，，T2g成正比，落角誤差與，Tg成正比；探測器噪聲引起的脫靶量與Ka，vr，成正比；落角誤差與Ka成正比，與成反比。

圖3 落角誤差伴隨系統(tǒng)結構圖

由上面的分析可知，無量綱化前制導系統(tǒng)的可變參數(shù)有n，vr，Δq，，，Th，Ta，tf等8個，無量綱化后只有n，Th／Ta，tf／Tg等3個，因此，通過無量綱化有效地減少了可變參數(shù)，為后續(xù)脫靶量和落角誤差的研究創(chuàng)造了方便。

4 EOGLIAC制導系統(tǒng)無量綱脫靶量和落角誤差分析

根據(jù)制導系統(tǒng)的常規(guī)模型（圖1）及無量綱伴隨模型（圖2、圖3），對上述導引頭量測誤差作用下的位置和落角誤差進行研究。在下面的仿真結果中，圖的縱軸為各誤差對應的無量綱脫靶量和落角誤差，虛－實線表示伴隨模型結果，離散圓點表示常規(guī)模型結果。

4.1 導引頭視線角零位誤差引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

Δq作用下的無量綱脫靶量和落角誤差如圖4、圖5所示。在圖4（a）、圖5（a）中，Th／Ta取為2；在圖4（b）、圖4（c）及圖5（b）、圖5（c）中，Th／Ta的取值規(guī)律如表1所示。

由仿真結果可以看出：對不同的指數(shù)n及不同的導引頭和駕駛儀權狀態(tài)，當tf／Tg≈15時，Δq引起的無量綱脫靶量收斂到零附近，無量綱落角誤差收斂到－1附近；隨著指數(shù)n的增大及導引頭動力學時間常數(shù)的增加，無量綱脫靶量和落角誤差振蕩趨勢加劇，峰值加大；與駕駛儀動力學相比，增加導引頭的快速性能更有效地減少Δq對制導精度的影響。

下面對落角誤差收斂到－1進行分析。由式（2）可知，落角約束項為（q－qf）／tgo，彈目視線角q追蹤終端約束角qf；當彈目視線角有零位誤差Δq時，落角約束項實際變?yōu)椋踧－（qf－Δq）］／tgo，彈目視線角q實際追蹤的是qf－Δq。若末導時間足夠長，在彈道末端，θf＝qf－Δq，則無量綱落角誤差為（θfqf）／Δq＝－Δq／Δq＝－1，即上述仿真結果與理論分析是一致的。

4.2 導引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

圖4 導引頭視線角零位誤差引起的無量綱脫靶量

圖5 導引頭視線角零位誤差引起的無量綱落角誤差

圖6 導引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱脫靶量

圖7 導引頭視線角速率零位誤差引起的無量綱落角誤差

4.3 探測器噪聲引起的無量綱脫靶量和落角誤差分析

圖8 、圖9分別給出了探測器角噪聲作用下的無量綱脫靶量和落角誤差隨tf／Tg和指數(shù)n（n∈［－0.5，1］）的變化曲線。由此可以看出：探測器角噪聲引起的無量綱脫靶量和落角誤差并不隨tf／Tg的增大而趨向于零；當tf大于Tg的10倍時，脫靶量和落角誤差達到穩(wěn)態(tài)值，且隨著指數(shù)n的增大，該穩(wěn)態(tài)值顯著增大。圖8（b）、8（c），圖9（b）、9（c）的仿真結果表明，在Tg一定及脫靶量和落角誤差達到穩(wěn)態(tài)值（tf／Tg＝15）的情況下，隨著導引頭和駕駛儀時間常數(shù)比值的變化，當導引頭與駕駛儀響應速度一致時，系統(tǒng)無量綱脫靶量和落角誤差均達到最大值。由于探測器噪聲引起的脫靶量與T1／2g成正比，落角誤差與T1／2g成反比，因此，在制導系統(tǒng)滯后時間常數(shù)一定的情況下，為了盡量降低探測器角噪聲對制導精度的影響，指數(shù)n不應選得過大［2，6］。

圖8 導引頭探測器噪聲引起的無量綱脫靶量

圖9 導引頭探測器噪聲引起的無量綱落角誤差

4.4 指數(shù)n的工程選取

根據(jù)式（2）中導航系數(shù)與參數(shù)n的關系式可知，指數(shù)n與導航系數(shù)一一對應，因此確定了指數(shù)n，也就確定了導航系數(shù)。指數(shù)n大時有利于消除導引頭視線角速率零位誤差引起的脫靶量，也能加快制導系統(tǒng)響應；但大的n會放大探測器角噪聲引起的制導誤差，也會使導引頭視線角零位誤差、落角約束、初始方向誤差等引起的制導誤差振蕩加劇，收斂時間變長，同時在彈道初始段也容易造成過載飽和［6］。因此，制導系統(tǒng)工程師應根據(jù)導彈過載能力、各種誤差引起的制導誤差與總體技術指標間的關系，綜合確定n的取值范圍。

若以比例導引的導航系數(shù)N的最大取值6為上界，以傳統(tǒng)的落角約束最優(yōu)制導律的位置項導航系數(shù)4為下界，則可確定擴展的落角約束最優(yōu)制導律的位置項導航系數(shù)的取值范圍，進而可確定指數(shù)n的取值范圍。根據(jù)2（n＋2）∈［4，6］，則指數(shù)n可取在0～1之間。

5 結論

本文以擴展的落角約束最優(yōu)制導律為研究對象，針對地面固定目標，分別研究導引頭視線角速率零位誤差、視線角零位誤差和探測器角噪聲對制導精度的影響。研究結果表明：

①當末導時間達到制導系統(tǒng)滯后時間常數(shù)的15倍左右時，可以消除導引頭視線角零位誤差對脫靶量的影響。此時，導引頭視線角零位誤差引起的落角誤差收斂到穩(wěn)態(tài)值－1。

②大的指數(shù)n有利于消除導引頭視線角速率零位誤差對脫靶量和落角誤差的影響。

③在導引頭視線角速率和視線角零位誤差作用下，提高導引頭的響應比提高駕駛儀的響應更有利于降低制導誤差。

④探測器角噪聲引起的制導誤差并不隨著末導時間的增大而趨向于零，而是隨著末導時間的增大收斂到穩(wěn)態(tài)值，且指數(shù)n越大，穩(wěn)態(tài)制導誤差越大。因此，為了盡量降低探測器角噪聲對制導精度的影響，指數(shù)n不應選得過大。

⑤參考比例導引及傳統(tǒng)的落角約束最優(yōu)制導律有效導航比的選擇范圍，建議指數(shù)n選在在0～1之間。

本文的研究方法同樣適用于復雜的制導動力學模型，同時，文中的研究僅針對地面固定目標。若研究空中機動目標，需將目標機動補償項引入到制導律中。

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