基于卡爾曼濾波的軸向加速度動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償方法

楊慧娟，黃 錚，霍鵬飛，王 超

（1.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，太原030051；2中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，太原030051；3.西安機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710065）

彈丸軸向加速度的精確測(cè)量在旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈自主式射程修正引信研究中是一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，提高彈丸軸向加速度的測(cè)量精度對(duì)加速我國靈巧彈藥技術(shù)的發(fā)展具有非常重要的意義。1982年Merhav S J研究了借助于旋轉(zhuǎn)或振動(dòng)加速度計(jì)三元組組成無陀螺的慣性測(cè)量組件，論述了從加速度計(jì)的輸出信號(hào)中分離線加速度和角速度的方法［1］。1994年Chen發(fā)表了一種使用6個(gè)加速度計(jì)進(jìn)行測(cè)量的新穎設(shè)計(jì)［2］。國內(nèi)最早的報(bào)道見于文獻(xiàn)［3］。

對(duì)于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈軸向加速度測(cè)量，由于彈丸在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)傳感器具有橫感特性，要求加速度傳感器安裝在彈丸對(duì)稱軸，但安裝誤差總是存在的，微小的安裝誤差與彈丸的高轉(zhuǎn)速環(huán)境相結(jié)合會(huì)導(dǎo)致很大的有害加速度輸出。為了減小該項(xiàng)有害加速度，美國陸軍研究實(shí)驗(yàn)室基于高速轉(zhuǎn)臺(tái)（300r／s）對(duì)加速度傳感器進(jìn)行標(biāo)定，以得到轉(zhuǎn)速與有害加速度之間的曲線關(guān)系，作為誤差補(bǔ)償?shù)囊罁?jù)［4－5］。目前，在我國加速度計(jì)測(cè)量組合被廣泛應(yīng)用于常規(guī)火炮彈藥的測(cè)速中，但在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中幾乎都是理想條件下的測(cè)試，或者是沒有考慮加速度傳感器的安裝誤差及橫感效應(yīng)等對(duì)測(cè)試參數(shù)的影響，對(duì)加速度的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償更是很少。

作者已有的研究成果［6］從理論上分析了彈載加速度傳感器的輸出與其在彈上的安裝位置之間的關(guān)系，并在改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)彈道模型的基礎(chǔ)上建立了彈丸軸向加速度模型，通過仿真驗(yàn)證了該模型的正確性。本文將在上述研究內(nèi)容的基礎(chǔ)上，通過卡爾曼濾波對(duì)軸向加速度進(jìn)行動(dòng)態(tài)誤差補(bǔ)償，以此減小加速度傳感器在測(cè)量過程中輸出的有害加速度，從而提高測(cè)量精度，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈軸向加速度的比較精確的測(cè)量。

1 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)幕締栴}

對(duì)于某一發(fā)確定產(chǎn)品，當(dāng)彈丸上的加速度傳感器安裝好后，其安裝位置引起的安裝誤差以及該加速度傳感器本身引起的橫軸靈敏度不再會(huì)發(fā)生變化。根據(jù)作者已有的研究成果［6］，軸向加速度的測(cè)量誤差表達(dá)式為

從上述表達(dá)式可以看出，軸向加速度的測(cè)量誤差與彈丸轉(zhuǎn)速ω的平方成正比，且比例系數(shù)C是一個(gè)常數(shù)。當(dāng)轉(zhuǎn)速的測(cè)量精度比較高時(shí)，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償就可以較好實(shí)現(xiàn)。

2 動(dòng)態(tài)標(biāo)定卡爾曼濾波算法

2.1 濾波狀態(tài)方程

由于彈上標(biāo)定環(huán)境特殊復(fù)雜，且要求實(shí)時(shí)性強(qiáng)，因此選取改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)彈道方程作為標(biāo)定算法的狀態(tài)方程［6－8］。

狀態(tài)方程為

式中：v為速度，θ為彈道傾角，p為大氣壓強(qiáng)，ω為轉(zhuǎn)速，c為彈道系數(shù)，C為需要估計(jì)的常數(shù)，Hτ（y）為空氣密度函數(shù)，G（vτ）為阻力函數(shù)。

選取y，v，θ，ω，p，C為 狀態(tài)變量，即：x＝（x1x2x3x4x5x6）T＝（yvθωpC）T。

則方程（1）可以寫為

為了補(bǔ)償線性方程（2）對(duì)炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的近似描述造成的誤差，在此引入一個(gè)零均值高斯白噪聲V，且V～N（0，Q′）。

狀態(tài)變量的初值為

在具體仿真過程中某次狀態(tài)變量的初值選取與本次改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)外彈道方程解算的初值相同，其中常數(shù)C0為一個(gè)確定的初值。

2.2 濾波量測(cè)方程

基于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)外彈道方程，結(jié)合軸向加速度的輸出模型，仿真得到的加速度傳感器輸出值作為濾波過稱中加速度傳感器的量測(cè)值aact，通過仿真得到的轉(zhuǎn)速作為濾波轉(zhuǎn)速的量測(cè)值。

量測(cè)方程為

式中：Bs為加速度傳感器的零點(diǎn)漂移。

在量測(cè)方程基礎(chǔ)上加入量測(cè)噪聲d，且d～N（0，R′）。

2.3 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償濾波算法

卡爾曼濾波只適用于線性系統(tǒng)，而式（1）、式（4）都是非線性的，因此需要對(duì)非線性狀態(tài)方程（1）、量測(cè)方程（4）進(jìn)行線性化、離散化，由此得到卡爾曼濾波彈道方程［9］。

預(yù)測(cè)一步預(yù)測(cè)方程：

量測(cè)量的一步預(yù)測(cè)方程：

一步預(yù)測(cè)均方誤差方程：

最優(yōu)濾波增益方程：

估計(jì)均方誤差方程：

式中：P，Q表示狀態(tài)方程的誤差；R表示量測(cè)方程的誤差，φ為一步轉(zhuǎn)移矩陣，H為量測(cè)矩陣。

狀態(tài)方程的誤差和量測(cè)方程的誤差在仿真過程中的初值是根據(jù)硬件組成及外場(chǎng)測(cè)量結(jié)果得到的，即將場(chǎng)外實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在實(shí)驗(yàn)室的處理結(jié)果與雷達(dá)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

濾波初值：

3 仿真結(jié)果分析

在卡爾曼濾波動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)姆抡孢^程中，結(jié)合旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的改進(jìn)的質(zhì)點(diǎn)彈道方程，考慮傳感器的零位偏移、安裝誤差、橫軸靈敏度等，得到卡爾曼濾波的量測(cè)值，仿真量測(cè)量系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 仿真量測(cè)量系統(tǒng)

在仿真過程中，彈道系數(shù)、射角、初速的初始條件為：c0～N（0.475 0，0.002 6），θ0～N（47，0.682 3）（°），v0～N（850，2.34）（m／s）。

在標(biāo)準(zhǔn)大氣模型下某次仿真結(jié)果如圖2～圖7所示。圖中，aa為軸向加速度誤差，ac為彈丸質(zhì)心絕對(duì)加速度，abc為補(bǔ)償后軸向加速度，aa，bc為軸向加速度補(bǔ)償后誤差。

圖2 轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線

圖3 軸向加速度傳感器的實(shí)際輸出曲線

圖4 軸向加速度誤差曲線

圖5 補(bǔ)償后軸向加速度與彈丸質(zhì)心絕對(duì)加速度曲線

圖6 軸向加速度補(bǔ)償后誤差曲線

圖7 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償估計(jì)出的比例系數(shù)曲線

從仿真結(jié)果可以看出，補(bǔ)償后的加速度誤差非常小，且全彈道估計(jì)出的比例系數(shù)近似為一常數(shù)。

4 靶場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果分析

針對(duì)某次靶場(chǎng)試驗(yàn)的加速度傳感器測(cè)量的數(shù)據(jù)，用上述的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償算法對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償。其中每一發(fā)產(chǎn)品一前一后安裝2個(gè)加速度傳感器，結(jié)合雷達(dá)外測(cè)數(shù)據(jù)，得到補(bǔ)償誤差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，見表1，表中，μa為均值，σa為均方差。其中某一次標(biāo)定結(jié)果如圖8和圖9所示，圖中，a為軸向加速度。

表1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)標(biāo)定結(jié)果統(tǒng)計(jì)

圖8 靶場(chǎng)試驗(yàn)軸向加速度傳感器輸出曲線

圖9 軸向加速度標(biāo)定曲線與雷達(dá)測(cè)量曲線

對(duì)6個(gè)加速度傳感器的補(bǔ)償數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。

6次補(bǔ)償誤差均方差為0.197 0m／s2，均值為－0.032 9m／s2。6次補(bǔ)償后均方差為2.012 5m／s2，綜合概率誤差為2.022 1m／s2。

綜上所述，針對(duì)同一發(fā)產(chǎn)品，由于2個(gè)加速度傳感器的安裝位置不同（安裝在彈丸軸線上2個(gè)加速計(jì)），其測(cè)量結(jié)果差別非常大，但對(duì)傳感器的測(cè)量值進(jìn)行補(bǔ)償后，與雷達(dá)測(cè)量值比較誤差非常小，而且2個(gè)傳感器補(bǔ)償后結(jié)果也很一致，補(bǔ)償后的加速度測(cè)量誤差均值小于0.05g，均方差小于0.32g。實(shí)際加速度傳感器測(cè)量值與雷達(dá)測(cè)量值的誤差補(bǔ)償前均值為5g左右，而補(bǔ)償后測(cè)量誤差均值小于0.05g，軸向加速度測(cè)量誤差的均值由0.1g降低到0.01g的量級(jí)，大幅度地提高了軸向加速度測(cè)量精度，在一定程度上說明了補(bǔ)償算法具有一定的的準(zhǔn)確性和有效性。

5 結(jié)論

本文通過卡爾曼濾波對(duì)彈丸軸向加速度輸出誤差表達(dá)式當(dāng)中的比例系數(shù)C進(jìn)行估計(jì)，從而對(duì)加速度傳感器的輸出值進(jìn)行補(bǔ)償，以此得到彈丸的實(shí)際軸向加速度。蒙特卡洛模擬仿真和外場(chǎng)試驗(yàn)證實(shí)了文中理論分析的正確性和誤差減小方法的有效性。

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