嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣A的‖A－1‖∞上界的新估計(jì)式

楊曉英，曾寶國，朱清溢，劉 新

(1.四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院a.基礎(chǔ)教育部;b.電子工程系，中國廣元 628017;2.電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院，中國成都 610054)

M-矩陣是一類有著廣泛應(yīng)用背景的重要矩陣.生物學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的許多問題都和M-矩陣有著密切的聯(lián)系.在數(shù)值分析和求解初值問題的常微分線性方程組等問題中，經(jīng)常需要判斷實(shí)矩陣A ∈Rn×n的A－1在無窮大范數(shù)下的界，但是當(dāng)A－1很難精確求出時(shí)，‖A－1‖∞通常是很難計(jì)算的.所以，當(dāng)A 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的M-矩陣時(shí)，關(guān)于‖A－1‖∞的上界估計(jì)成為許多學(xué)者關(guān)注和研究的熱點(diǎn)，已獲得了一系列估計(jì)式［1-7］，本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出‖A－1‖∞上界的新估計(jì)式.

設(shè)N 表示自然數(shù);Rm×n(Cm×n)表示m×n 階實(shí)(復(fù))矩陣的集合;ρ(P)表示n×n 階非負(fù)矩陣P 的Perron根.將所有非對(duì)角元素都為非正實(shí)數(shù)的n 階方陣的集合記為Zn.設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，若aij≥0，i，j ∈N，則稱矩陣A 為非負(fù)矩陣，記A ≥0.

設(shè)矩陣A=(aij)∈Zn，則A 可以表示為A=λI－B，其中B ≥0，當(dāng)λ ≥ρ(B)時(shí)，稱A 為M-矩陣.特別地，當(dāng)λ ＞ρ(B)時(shí)，稱A 為非奇異M-矩陣;當(dāng)λ=ρ(B)時(shí)，稱A 為奇異M-矩陣.并記Mn表示n 階M-矩陣的集合.

設(shè)A ∈Mn，記，其中σ(A)表示矩陣A 的譜.τ(A)稱為矩陣A 的最小特征值.同時(shí)，有.

首先給出一些記號(hào)，它們將在后面的討論中用到.記:

顯然，ρi=vi+ui.

定義1［1］設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，且滿足下列條件:

(3)對(duì)?i ∈N，i ?J(A)，存在非零元素序列aii1，ai1i2，…，airk，其中i ≠i1，i1≠i2，…，ir≠k，k ∈J(A)，則稱A 為弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定義2［11］設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，對(duì)于i，j ∈N，i ≠j，有aij≤0，aii＞0，則稱A 為L-矩陣.

定義3［11］設(shè)矩陣A=(aij)∈Rn×n，若，i ∈N，則稱矩陣A 為行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

定理1［1］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A－1=(αij)，τ=τ(A)，則

Varah 在文獻(xiàn)［2］中給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的‖A－1‖∞上界估計(jì):

Cheng 等在文獻(xiàn)［3］中給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的‖A－1‖∞上界估計(jì):

Wang［4］改進(jìn)了Cheng 的結(jié)果，得到

上述結(jié)論也可以用于估計(jì)嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣的最小特征值的下界.

本文將繼續(xù)這一問題的研究，給出嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣逆矩陣的無窮大范數(shù)‖A－1‖∞上界的新估計(jì)式，理論證明和數(shù)值算例表明新估計(jì)式改進(jìn)了一些已有結(jié)果.另外，利用(1)式得到嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的一個(gè)新下界.

1 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M 矩陣的無窮大范數(shù)‖A－1‖∞上界的估計(jì)

引理1［1］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣，A－1=(αij)，則

且對(duì)于i ∈J(A)，有

引理2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，A－1=(αij)，則

當(dāng)j=1 時(shí)

且

證(5)式的證明見文獻(xiàn)［12］中引理2.2.下面證明(6)，(7)兩式.

由si，vk和wk的定義知.由此(6)式的右半部分成立.由AA－1=I，可知.因此

同理，(7)式的左半部分也成立.

設(shè)非空指標(biāo)集合β(k)?N，定義A［β(k)］表示取自矩陣A 的行列式都是β(k)的子矩陣.定義A(k)=A［α(k)］，其中;例如A(1)表示刪除A 的第一行第一列的子矩陣.

引理3［1］弱鏈對(duì)角占優(yōu)L-矩陣是非奇異M-矩陣.

引理4［1］設(shè)A=(aij)是n 階弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則B=A(1)是(n－1)×(n－1)階弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣.(即B－1=(βij)存在，且βij≥0，i，j=2，3，…，n).

引理5［1］設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，B=A(1)，A－1=(αij)，B－1=(βij)，則

定理2設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，B=A(1)，A－1=(αij)n×n，B－1=(βij)(n－1)×(n－1)，則

證令.則M1=max{ri，1 ≤，由引理2 及(8)式可得

當(dāng)2 ≤i ≤n 時(shí)，由(6)式及(8)式，得出

因此

由(9)式與(10)式，可得

故結(jié)論成立.證畢.

定理3設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

證由定理2 及A(k)的定義，可證明之.其中ρ1=u1，un=0，wn=1.

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

定理4設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣，則

證由文獻(xiàn)［12］中的定理3.3 的證明可知，si≤ρi，i=1，…，n，則由bk與vk的定義知v1≤b1.同理可證vk≤bk，k=2，…，n.所以wk≤pk，k=1，…，n.即故結(jié)論成立.證畢.

注由定理4 可知，定理3 在一定條件下改進(jìn)了文獻(xiàn)［5］中定理2 的結(jié)果.

2 算例分析

例1設(shè)

顯然，矩陣A 是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)M-矩陣.易計(jì)算得‖A－1‖∞=2.33.則由(2)式得，‖A－1‖∞≤10;由(3)式得，‖A－1‖∞≤3.887 8;由文獻(xiàn)［1］中定理3.3，‖A－1‖∞≤4.03;由(4)式得，‖A－1‖∞≤3.708 3;由文獻(xiàn)［5］中定理2，‖A－1‖∞≤2.554 0;由本文的定理3，得‖A－1‖∞≤2.544 8.

注例1 表明，定理3 的結(jié)果改進(jìn)了一些已有結(jié)果.

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