從一個(gè)案例看高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的滲透

黃 剛

摘? 要：教學(xué)需要不斷地改革，將數(shù)學(xué)建模的思想方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)之中，挖掘高等數(shù)學(xué)在建模方面的案例，通過案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;案例;滲透

一、數(shù)學(xué)建模思想方法

采用數(shù)學(xué)的語言描述事物就稱之為數(shù)學(xué)模型。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言描述各種現(xiàn)象，會(huì)使所描述的實(shí)際現(xiàn)象更具有科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性。用抽象的數(shù)學(xué)模型替代實(shí)際物體的實(shí)驗(yàn)，也是實(shí)際操作的理論模式替代。數(shù)學(xué)建模思想方法是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)的方式反映或者近似地刻畫實(shí)際問題，得到實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化描述。數(shù)學(xué)建模屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)，其過程是要將實(shí)際問題經(jīng)過分析、簡化及轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，之后用數(shù)學(xué)的方法解決，或得到更多地結(jié)果，再經(jīng)過實(shí)際問題的檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模是解決實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段，它可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解實(shí)際材料、獲取有用信息、建立數(shù)學(xué)模型、得出數(shù)學(xué)結(jié)論、進(jìn)而解決實(shí)際問題的能力。高等數(shù)學(xué)課程中就有很多這類好的案例，通過案例教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想方法。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

案例教學(xué)要經(jīng)過課前周密的策劃和準(zhǔn)備，通過分析、比較，研究各種各樣的成功的和失敗的管理經(jīng)驗(yàn)，從中抽象出某些一般性的管理結(jié)論或管理原理來豐富自己的知識(shí)。用特定的案例并指導(dǎo)學(xué)生提前閱讀，組織學(xué)生開展討論或爭論，形成反復(fù)的互動(dòng)與交流，案例教學(xué)一般要結(jié)合一定理論，通過各種信息、知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、觀點(diǎn)的碰撞來達(dá)到啟示理論和啟迪思維的目的。

導(dǎo)數(shù)理論體系的建立及應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中很好的一個(gè)數(shù)學(xué)建模案例。

（一）導(dǎo)數(shù)的原型和概念。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它有其物理原型和數(shù)學(xué)原型，是通過解決物理的速度和加速度以及曲線切線的幾何問題而抽象出來的，是特殊的極限，物體在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度是平均速度的極限V■=■V■=■■=■■，割線PQ的斜率k′的極限k就應(yīng)是曲線過點(diǎn)P的切線斜率k=■■=■■，兩者的實(shí)際意義完全不同，從數(shù)學(xué)角度來看，它們數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)完全相同，都是函數(shù)增量與自變量增量比值■的極限（當(dāng)△x→0），是函數(shù)變化快慢程度的反映，其定義為：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)定義，且當(dāng)自變量x在x0取得增量△x時(shí)。若極限■■==■■存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處可導(dǎo)（或存在導(dǎo)數(shù)），稱極限值為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)（或微商），記為f′（x0）或????????????? 若極限■■==■■不存在，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)與微分的理論體系。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)構(gòu)造性的定義，它是連續(xù)的充分而不必要條件，由定義得到導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算的法則、復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得到6個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而解決了初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題。函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。以上理論主要用來討論函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的計(jì)算問題。

微分的理論有：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處的充分必要條件是函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x=x0處可微，建立了函數(shù)改變量與導(dǎo)數(shù)（微分）的近似關(guān)系，微分的洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式，建立了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的公式關(guān)系，或是將函數(shù)近似表系數(shù)為各階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式，借用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來解決函數(shù)問題。

（三）導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決的問題是廣泛的，基本應(yīng)用是解決函數(shù)曲線問題，利用微分理論將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)給予解決，很多問題只需用到一、二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)就能解決，導(dǎo)數(shù)不僅在數(shù)學(xué)上，而且在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，也是開展科學(xué)研究必不可少的工具。

（四）案例教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的處理。教學(xué)中不僅要有過程的知識(shí)性教學(xué)，從實(shí)例抽象出概念及理論體系的建立再到數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用，更要有建構(gòu)知識(shí)體系的數(shù)學(xué)思想方法提升，有意識(shí)有目的滲透數(shù)學(xué)建模的過程和思想方法;教學(xué)中不僅是教師的系統(tǒng)講授和思想滲透，更要促使學(xué)生去領(lǐng)悟和掌握，有整體把握也有細(xì)微處理，學(xué)習(xí)和實(shí)踐，會(huì)應(yīng)用來解決實(shí)際問題。

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高教學(xué)質(zhì)量，更是促使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，通過案例滲透數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模思想方法是一種有效的做法。