論集合知識(shí)點(diǎn)及常考題型

茶麗萍

摘 要：集合知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，涵蓋的范圍比較廣，所涉及的知識(shí)點(diǎn)也很多，對(duì)于剛進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同學(xué)而言，這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)的重要性不言而喻。集合由于能夠與不等式以及函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)緊密聯(lián)系在一起，因而縱觀近幾年的高考試題可以發(fā)現(xiàn)，扎實(shí)掌握集合這部分的知識(shí)點(diǎn)對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，最終取得理想的數(shù)學(xué)成績(jī)是非常重要的。因此，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，老師以及學(xué)生都應(yīng)當(dāng)充分重視集合知識(shí)點(diǎn)的講解和學(xué)習(xí)，透徹分析?？碱}型，把握答題的方向和方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；集合知識(shí)點(diǎn)；?？碱}型

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）21-210-02

集合知識(shí)點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接的一個(gè)過(guò)渡，也是學(xué)習(xí)更加抽象復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和開(kāi)端。為了幫助學(xué)生更好的掌握有關(guān)集合的內(nèi)容，老師要根據(jù)集合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)真分析近幾年的高考試題出題方向和特點(diǎn)，在教學(xué)過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)?？碱}型的訓(xùn)練和總結(jié)。在知識(shí)點(diǎn)的梳理中融合?？碱}型訓(xùn)練，在?？碱}型訓(xùn)練中加深對(duì)集合知識(shí)點(diǎn)的理解。本文中，筆者將結(jié)合實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在分析高考考綱中有關(guān)集合的考點(diǎn)要求基礎(chǔ)上，選取部分經(jīng)典的?？碱}型進(jìn)行集合知識(shí)點(diǎn)的梳理和分類(lèi)。

一、集合知識(shí)點(diǎn)及考綱要求解析

為了更好的把握集合知識(shí)點(diǎn)的出題方向以及幫助學(xué)生找到正確的學(xué)習(xí)方法，提高做題的準(zhǔn)確率和效率，我們首先要對(duì)集合知識(shí)點(diǎn)的考綱要求進(jìn)行深入的解析。具體主要表現(xiàn)為以下幾方面：

1、知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)總結(jié)歸納

集合這部分內(nèi)容設(shè)計(jì)的主要的知識(shí)點(diǎn)主要包括以下幾點(diǎn)：

（1）集合的定義：指定的某些對(duì)象的全體稱(chēng)為集合.集合具有三個(gè)特性：確定性、互異性和無(wú)序性.

（2）集合常用的表示法：列舉法和描述法.此外，集合常用的表示法還有區(qū)間表示法和Venn圖法.

（3）常用數(shù)集的專(zhuān)用符號(hào)：

非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集）N，正整數(shù)集N+或N*，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集R

（4）元素與集合、集合與集合的關(guān)系

①元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A中的元素，可記為a∈A，如果a不是集合A中的元素可記為a?A.

②集合與集合的關(guān)系：若A是B的子集，記為：A?B，若A是B的真子集，記為：AB，空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

③集合相等表示為：A=B，兩個(gè)相等的集合元素相同.

（5）按元素個(gè)數(shù)集合可分為：有限集、無(wú)限集和空集.

（6）集合運(yùn)算

①A和B的交集：由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合，記為：A∩B={x|x∈A且x∈B}.

②A和B的并集：由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，記為：A∪B={x|x∈A或x∈B}.

③設(shè)集合U為全集，集合A是它的一個(gè)子集，則U的子集A的補(bǔ)集記為CUA={x|x U且x A}

（7）集合常用的運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；

②A∩B?A，A∩B?B，A?A∪B，B?A∪B，A∩B?A∪B；

③A∩（ UA）=?，A∪（ UA）=U；

④U（A∩B）=（ UA）∪（ UB）， U（A∪B）=（ UA）∩（ UB）；

⑤A∩B=A?A?B，A∪B=A?B?A；

⑥A?B，B?C?A?C；

⑦n個(gè)元素的集合共有2n個(gè)子集，其中有2n-1個(gè)真子集，有2n-2個(gè)非空真子集.

2、考點(diǎn)要求解析

在高考時(shí)通常會(huì)考查對(duì)集合基本概念、基本運(yùn)算的認(rèn)識(shí)和理解，如：通過(guò)集合的表示方法能明確集合類(lèi)型（數(shù)集或點(diǎn)集），特別是對(duì)集合中的元素的屬性要分清。高考試題通常是在給出集合后，考查集合與集合間的關(guān)系，特別注意用子集的方式限定集合關(guān)系，多與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)，解決問(wèn)題時(shí)常用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想與方法，一般以客觀題形式出現(xiàn)，難度控制在中等以下，分值為4～5分。

二、集合知識(shí)點(diǎn)及?？碱}型

本文對(duì)于集合的知識(shí)點(diǎn)以及與之對(duì)應(yīng)的常考題型進(jìn)行了總結(jié)分類(lèi)，具體主要表現(xiàn)為以下幾方面：

1、元素與集合的關(guān)系

在前文的知識(shí)點(diǎn)4中對(duì)元素與集合的關(guān)系這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了說(shuō)明，關(guān)于這一知識(shí)點(diǎn)的?？碱}型主要是客觀題的選擇題或者填空題。

例1（1）設(shè)集合A={x||x-2|≤2，x∈R}，B={y|y=-x2，-1≤x<2}，則CR（A∩B）等于（ ）

（A）R. （B）?.

（C）{0}. （D）{x|x∈R，x≠0}.

（2）M={x|x=3n，n∈Z}，N={x|x=3n+1，n∈Z}，P={x|x=3n-1，n∈Z}，且a∈M，b∈N，c∈P，設(shè)d=a-b+c，則（ ）

（A）d∈M. （B）d∈N.

（C）d∈P. （D）以上都不對(duì).

【指點(diǎn)迷津】（1）集合A，B的元素符號(hào)不同.

（2）觀察到能被3整除的數(shù)構(gòu)成集合M，被3除余1的數(shù)構(gòu)成集合N，被3除余2的數(shù)構(gòu)成集合P.所以要觀察d被3除的余數(shù).

【解析】（1）A={x|0≤x≤4}，B={y|-4≤y≤0}，

∴A∩B={0}，

∴CR（A∩B）={x|x∈R，x≠0}.

（2）設(shè)a=3n，b=3m+1，c=3s-1，m，n，s∈Z，

∴d=3n-（3m+1）+（3s-1）=3（n-m+s）-2=3（n-m+s-1）+1.

∵（n-m+s-1）∈Z，∴d∈N.

【答案】（1）D（2）B

【點(diǎn)評(píng)】在討論元素與集合關(guān)系時(shí)，要注意集合中元素是否滿(mǎn)足集合的確定條件.

2、韋恩圖的應(yīng)用

韋恩圖在集合的題目中有很多應(yīng)用，而且也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。

具體舉例：例2：（2010年·湖北黃岡中學(xué)二模）已知集合M={x|y= }，N={x||x+1|≤2}，且M、N都是全集I的子集，則下圖韋恩圖中年陰影部分表示的集合為（）

（A）{x|- ≤x≤1} （B）{x|-3≤x≤1}

（C）{x|-3≤x≤- } （D）{x|1

【解析】 M=[- ， ]，N-[-3，1]。圖中陰影表示N （IM）={x|-3≤x< - }。

【答案】 C

3、多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用。集合這部分的?？碱}型中還有一類(lèi)需要綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考察的不僅是學(xué)生對(duì)集合知識(shí)點(diǎn)的熟練程度，在解題過(guò)程中還需要應(yīng)用一些思想方法。

具體舉例：例3已知A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-1=0}，其中a∈R，如果A∩B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【指點(diǎn)迷津】把集合A、B的交并關(guān)系轉(zhuǎn)化為包含關(guān)系.解題時(shí)應(yīng)注意集合元素的互異性及子集為空集的討論.

【解析】化簡(jiǎn)得A={0，-4}，∵集合B的元素都是集合A的元素，∴B?A.

（1）當(dāng)B=?時(shí)，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1；（2）當(dāng)B為單元素集，即B={0}或{-4}時(shí)，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=0，解得a=-1，此時(shí)B={0}，滿(mǎn)足BA；（3）當(dāng)B={0，-4}時(shí)，

解得a=1

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=1或a≤-1

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合元素的互異性，用到了分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.解題時(shí)要注意空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。

本題在解題過(guò)程中，也可以把方程的根x1=0，x2=-4代入解決.但用此種方法時(shí)，要注意考查判別式的值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 付 勉.數(shù)組常見(jiàn)題型例析[J].電腦知識(shí)與技術(shù)（認(rèn)證考試），2004，（3）：16-18.

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