氣動外形優(yōu)化中的分塊類別形狀函數(shù)法研究

劉傳振，段焰輝，蔡晉生

(西北工業(yè)大學航空學院，西安710072)

0 引言

飛行器幾何外形的參數(shù)化方法在氣動外形優(yōu)化設計中有非常重要的作用，參數(shù)化方法的性質(zhì)對計算時間和設計空間的本質(zhì)特性與范圍有十分深刻的影響，進而大大影響了氣動外形優(yōu)化的效率。適用于飛行器外形優(yōu)化的參數(shù)化方法應該具有以下性質(zhì)［1］:(1)生成光滑可行的幾何形狀;(2)具有高效性和魯棒性;(3)計算快速、精確、穩(wěn)定;(4)使用少量參數(shù)表達較大的設計空間;(5)允許某些影響性較大的參數(shù)存在;(6)容易控制曲線曲面;(7)表達幾何形狀直觀。

常用的參數(shù)化方法［2］在表達復雜曲面時，為保證表達精度，參數(shù)的個數(shù)會大量增加［3］，優(yōu)化過程中參數(shù)變量的隨意變化還會導致不規(guī)則或不可控外形的產(chǎn)生，影響優(yōu)化設計的正常實現(xiàn)。Kulfan等提出了一種使用類別函數(shù)(class function)和形狀函數(shù)(shape function)表示幾何外形的類別形狀函數(shù)法(Class and Shape Transformation，CST)［4］，CST 方法設計變量少，具有良好的可控性和表達精度，是一種簡潔高效的參數(shù)化方法。近年來，CST方法在很多方面得到了應用，包括超臨界翼型設計［5］、機翼減阻優(yōu)化［6］、增升裝置的表達［7］等，相關學者還實現(xiàn)了飛翼布局［8］和乘波體機身［9］的CST參數(shù)化表示，并對其進行了B樣條修正［10］。這些工作主要是對翼型、機翼或簡單飛行器的外形表達，很少涉及復雜飛行器外形的表達，難以實現(xiàn)復雜氣動外形的統(tǒng)一參數(shù)化建模。

為了擴展CST方法對飛行器外形曲面的表達能力，本文提出分塊CST方法，實現(xiàn)復雜曲面分塊的光滑連接，完成飛行器的全機參數(shù)化建模。并結(jié)合遺傳算法［11］和氣動力快速計算方法［12－13］，以某類乘波翼身組合體飛行器為例驗證它在高超聲速［14］氣動外形優(yōu)化設計中的作用。

1 分塊類別形狀函數(shù)變換法

1. 1 CST方法的基本原理

本文以翼型為例，說明CST方法的基本原理。對于一般的翼型，其幾何外形可由CST方法表示為:

其中ζ=z/c為翼型無量綱z坐標，ψ=x/c為翼型的無量綱x坐標，ζR為無量綱后緣厚度，c為翼型弦長。類別函數(shù)(ψ)定義為:

其中，N1和N2定義了幾何外形的類別［4］。

形狀函數(shù)S(ψ)有多種方法定義，本文采用n階Bernstein多項式的加權(quán)組合作為S(ψ)的表達形式，如式(3):

對于任意平面形狀的曲面進行CST參數(shù)化建模，可以通過坐標變換將曲面塊在x－y平面的兩個方向進行單位化處理，采用Bernstein多項式對曲面塊進行描述，同時在曲面塊的特征方向上增加類別函數(shù)，得到曲面塊的CST方法表示形式為:

其中ψ為無量綱的x坐標，η為無量綱的y坐標，ζ為無量綱的曲面z坐標。為類型函數(shù)，當特征方向選取x或y時，類型函數(shù)分別為(ψ)或(η)。和(η)為兩方向的Bernstein多項式函數(shù)，bi，j是曲面控制參數(shù)。坐標變換的表達式為:

其中xR，xL為曲面塊在x－y平面上x方向的邊界，yU，yD為曲面塊在x－y平面上y方向的邊界。坐標變換(5)將曲面塊在x－y平面的自變量區(qū)域變?yōu)棣爪瞧矫嫔系膯挝徽叫螀^(qū)域。當特征方向沿y方向時，在式(4)中的ζ與曲面塊z坐標的變換關系為:

其中zU與zD分別是曲面塊位于yU與yD邊界處輪廓線的z坐標。輪廓線是一條三維曲線，可以采用二維CST方法分別表示輪廓線在x－y和x－z平面的投影為:

其中?L與?R以及ζL與ζR分別為輪廓線起點與終點偏離原點的位置。

1. 2 分塊處理及曲面接合方法

飛行器的外形復雜，機翼機身很難用一整塊曲面表示，即使同一曲面的性質(zhì)和復雜程度在不同區(qū)域也不同，因此采用分塊處理是十分重要和必要的。本文根據(jù)氣動力和幾何形狀的不同性質(zhì)將飛行器曲面劃分為不同的區(qū)域，每個曲面塊區(qū)域分別采用CST方法進行參數(shù)化描述，組合所有曲面塊形成一個完整的飛行器曲面。

在分塊單獨采用CST方法進行描述時，很難在相鄰塊邊界保證相接曲面塊的連續(xù)和光滑，因此需要增加相應的約束來保證曲面塊在交接處的連續(xù)光滑性。本文分析CST曲面在邊界處取值和導數(shù)的特性，推導CST曲面在邊界處取值和導數(shù)值與特定參數(shù)的關系，給出了保證相鄰曲面塊連續(xù)光滑的參數(shù)約束條件。

由n階Bernstein多項式(3)推導導數(shù)公式為:

以特征方向為ψ方向為例，考慮η方向的邊界連續(xù)條件。邊界處η=0和η=1，此時方程(4)簡化為:

只要控制bi，j的首行參數(shù)即可保證η=0處的邊界條件，控制末行參數(shù)可保證η=1處的邊界條件。

下面討論CST曲面在邊界處的導數(shù)連續(xù)條件。CST曲面在η方向的導數(shù)是

當η=0時，

曲面導數(shù)公式簡化為

當η=1時，

曲面導數(shù)公式簡化為

由此可以看到bi，j兩端的兩行系數(shù)決定了邊界處的導數(shù)值。連續(xù)性條件已確定首行或末行的系數(shù)，因此僅需要調(diào)整第二行或倒數(shù)第二行的參數(shù)即可滿足導數(shù)連續(xù)條件。

2 分塊CST方法特性分析

本文以兩類曲面外形為例研究了分塊CST方法的性質(zhì):一類曲面特性相同，但復雜度不同，研究表明采用分塊處理可以有效保證精度并減少參數(shù);另一類曲面特性不同，難以進行統(tǒng)一單塊處理，分塊CST方法則可以較好地表達，說明其適用性。

2. 1 復雜度不同曲面的分塊建模

對于如圖1所示的外形，在曲面的不同區(qū)域其復雜程度不同，前段曲面曲率變化大，而后段較平緩。對于此類型的曲面，分塊處理可以有效保證精度并減少參數(shù)數(shù)目。下面比較采用分塊CST表達和統(tǒng)一表達的精度。

圖1 某類乘波體下表面機身Fig.1 Lower surface of quasi-waverider

橫截面方向為CST方法的特征方向，稱為弦向，另一方向為展向。本文采用最速下降法這一優(yōu)化算法計算控制參數(shù)，擬合幾何體與原幾何體的殘差作為目標函數(shù):

經(jīng)測試，分塊時前后段曲面在弦向和展向分別選擇6×5和4×3階多項式可較好的表達，考慮曲面對稱性，參數(shù)數(shù)目為33，殘差σ為0.898 7;統(tǒng)一處理時，殘差σ隨階數(shù)的變化如表1。

從表1看到如果要達到相同精度的誤差，階數(shù)應至少選擇為6×8階，參數(shù)有36個，比分塊處理所用參數(shù)多。這是因為后段曲面較簡單，使用低階多項式即可較好的表達。分塊CST方法處理此類型曲面時具有一定優(yōu)勢。

表1 統(tǒng)一CST表達時殘差σ隨階數(shù)的變化Table 1 Residuals of uniform CST method via orders

2. 2 形狀特性不同曲面的分塊建模

對于類別形狀差異較大的曲面比如機翼機身或不同形狀性質(zhì)的機翼曲面，CST方法難以統(tǒng)一處理，而分塊CST方法則可較好表達。下面以高速運輸飛行器(High Speed Civil Transport，HSCT)的機翼［1］為例說明分塊CST方法的適用性。

圖2 HSCT飛行器的機翼Fig.2 Wing of HSCT

對于圖2所示的機翼，內(nèi)翼為亞聲速鈍前緣翼型，外翼為超聲速尖前緣翼型，在使用CST方法表達時，內(nèi)外翼應使用不同的類型函數(shù)。針對不同翼面的物理和氣動特性，將機翼分為內(nèi)外上下四個曲面塊，分別使用CST方法進行建模，并在交接處應用1.2部分的接合方法對內(nèi)翼曲面控制參數(shù)施加約束保證連續(xù)光滑。建模結(jié)果如圖2，機翼截面在交接處過渡連續(xù)光滑，實現(xiàn)了此機翼的整體參數(shù)化建模。

3 類乘波翼身組合體優(yōu)化設計

3. 1 類乘波翼身組合體參數(shù)化建模

為了說明分塊CST方法在優(yōu)化設計中的作用，本文以某類乘波翼身組合飛行器為例進行了分塊CST方法建模，并對其進行了以升阻特性為目標的優(yōu)化設計。初始外形如圖3，模型來自于美國空軍“Falcon”計劃［15］，該飛行器的機身投影面積明顯較機翼面積大很多，機身為主要升力面。對于大多數(shù)的高超聲速飛行器，都是利用前機身的壓縮產(chǎn)生主要升力，因此前機身下表面需要細致設計;機翼作為次要升力部件，具有很大的改善空間，也需重點設計。由初始外形的幾何和氣動特性確定此飛行器的分塊如下:機身前部，機身后部，翼身融合部與機翼，對各部分曲面進行上下分割，整個飛行器外形曲面分為8個曲面塊。

圖3 類乘波翼身組合體飛行器三視圖(無垂尾)Fig.3 Views of the quasi-waverider vehicle

機身前部和后部曲面的建模結(jié)果如圖4，曲面按照1.2節(jié)的接合方法對前后部機身曲面的控制參數(shù)施加約束，保證機身表面連續(xù)光滑，在圖4中可以看到截面形狀在機身曲面塊的交接處光滑連續(xù)。

圖4 機身曲面融合部分Fig.4 Adjacent area between body blocks

提取相鄰機身和機翼曲面的邊界，按照前文介紹的接合方法，約束曲面控制參數(shù)即可生成翼身融合面。圖5中翼身融合面截面形狀的變化與相鄰曲面一致，保證了交接區(qū)域的連續(xù)光滑。機翼采用梯形翼，翼型選擇為對稱雙弧翼型，考慮機身后體減阻與發(fā)動機尾噴口放置，參照HTV-3x高超聲速飛行器［15］采用樣條插值生成了尾錐部分。

圖5 翼身融合部分Fig.5 Blended wing-body area

翼型選擇雙弧形，N1=1.0，N2=1.0;機身為雙錐形曲面，截面形狀在邊界處的斜率較小，因此也選取 N1=1.0，N2=1.0。飛行器的平面形狀控制參數(shù)包括前后機身長度、寬度，輪廓線參數(shù)，機翼位置，翼面積，展弦比，梢根比，后掠角等，總共21個;前后機身分別選取6×5和4×4階Bernstein多項式，機翼使用3×2階多項式，考慮到相鄰曲面的參數(shù)約束關系、機身曲面的對稱性等，曲面控制參數(shù)為72個。

3. 2 優(yōu)化及氣動力計算方法

優(yōu)化算法為遺傳算法，根據(jù)文獻［16］的研究結(jié)果，在基本遺傳算法的基礎上加入基于排序的適應度分配方法和優(yōu)選技術(shù)，可以提高遺傳算法的效率。

氣動力計算采用高超聲速快速計算方法。目前比較成熟的計算方法有牛頓法，切楔切錐法，激波膨脹波方法等，針對不同的飛行器部件使用不同的算法，可以有效地增加計算精度。本文算例的飛行器外形類似吻切錐乘波翼身組合體，機身側(cè)邊有明顯的三維流動特性，因此機身的迎風面和背風面使用帶攻角的錐方法;機翼較薄，近似為二維流動，采用激波膨脹波方法;粘性力的計算選取基于平面面元的Spading-Chi方法。

3. 3 優(yōu)化設計及結(jié)果

初始外形如圖3，優(yōu)化的設計點狀態(tài)為馬赫數(shù)Ma=6.0，高度 H=30km，攻角 α =3°。

目標函數(shù)為設計點狀態(tài)的升阻比f=CL/CD。高超聲速飛行器的容積非常重要，本文在優(yōu)化時限定容積不小于原始容積的70%。實際優(yōu)化時發(fā)現(xiàn)，隨著飛行器性能的提高，前體的體積會大幅度減小，為了滿足體積約束，后體的體積開始增大，由于使用工程方法很難對底阻進行精確估算，所以會進一步導致后體的厚度增大，很容易產(chǎn)生類似于“圓錐”一樣的外形，這是不合理的，因此本文施加厚度約束，要求前后體對接處的厚度d1不能小于后體尾緣處的厚度d2。從氣動力角度考慮，設計目標為升阻比，有可能出現(xiàn)升力過小的情況，因此需約束升力系數(shù)，指定升力系數(shù)的最小值為CLmin。此優(yōu)化問題可以表示為:

類函數(shù)中N1，N2為定值，不參與優(yōu)化;21個平面形狀控制參數(shù)和曲面控制參數(shù)均作為設計變量，總設計變量的個數(shù)為 93個，較文獻［3］中的ATLLAS飛行器模型有較大減少。對特定的設計變量比如機身長度，機身寬度，翼面積等設定范圍保證外形規(guī)則可控。類乘波體飛行器前下表面的形狀對氣動性能影響最大，其曲面控制設計變量選定為初始值上下浮動80%，其他曲面選定為初始值上下浮動50%。

遺傳算法中種群規(guī)模1 000個，交叉概率0.6，變異概率0.05，最大進化代數(shù)400。在Ubuntu Linux系統(tǒng)下，采用Intel Core i7處理器(主頻2.93GHz)，內(nèi)存8GB，優(yōu)化程序每一步耗時約135s，其中幾何體生成程序耗時約30s，氣動力計算程序約100s，總耗時為約15h。

表2 優(yōu)化前后外形的氣動力結(jié)果對比Table 2 Comparison of aerodynamic results

圖6是目標函數(shù)隨進化代數(shù)的變化圖，表2為優(yōu)化前后飛行器升力系數(shù)CL，阻力系數(shù)CD，升阻比L/D和飛行器容積V的對比，其中CD大幅度減小，升阻比從原外形的2.59提高到優(yōu)化外形的5.23。飛行器容積從180 750下降到134 580，滿足限制要求。

圖7和圖8分別是優(yōu)化前后的飛行器外形對比圖和優(yōu)化外形的三視圖，優(yōu)化后外形表面光滑，機身前緣輪廓線較尖銳，機身變薄，長細比增加，機翼面積、展弦比增大，梢根比減小。

圖6 目標函數(shù)隨進化代數(shù)的變化Fig.6 Optimal function via generation

圖7 初始(左)與最優(yōu)(右)外形的對比Fig.7 Initial and optimized configurations

圖8 優(yōu)化后飛行器外形三視圖Fig.8 Views of optimized configuration

3. 4 CFD 校驗計算

為了校驗優(yōu)化結(jié)果和氣動力快速計算方法的精度，本文對優(yōu)化前后的外形進行了CFD校驗計算。

計算狀態(tài)為設計點狀態(tài)，網(wǎng)格采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，湍流模型為S-A模型。圖9給出優(yōu)化后外形Y向位置η=21%(機身)處截面的壓力系數(shù)對比，可以看到機身截面處的壓力分布與CFD結(jié)果在大體上是一致的，主要在前緣部分計算不夠精確，這是因為前緣部分存在總壓駐點，工程方法難以捕捉此處的吸力峰值，屬于方法本身的局限。

圖9 優(yōu)化外形η=21%處截面的Cp分布Fig.9 Cp distribution atη =21%of optimized configuration

表3為CFD數(shù)值計算的氣動力結(jié)果，與表2相比較可以看到工程算法與精確CFD計算升阻力特性吻合的較好，說明工程算法也具有較高的精度。同時，精確CFD數(shù)值計算對于優(yōu)化前后升阻比氣動特性提升的校驗，說明了優(yōu)化設計平臺的精度與效率。

表3 CFD計算氣動力結(jié)果對比Table 3 Comparison of CFD aerodynamic results

4 結(jié)論

通過對CST方法特性的分析，本文提出分塊CST方法，實現(xiàn)了復雜飛行器曲面的參數(shù)化建模，并以類乘波翼身組合飛行器為例校驗了其在優(yōu)化設計中的應用。

參數(shù)化建模結(jié)果表明，對于形狀變化較大的曲面，分塊CST方法可以使用較少的參數(shù)表達，并具有較高的精度;對于類別形狀性質(zhì)不同的曲面，分塊CST方法能保證不同分區(qū)曲面之間的光滑連接，實現(xiàn)曲面的整體參數(shù)化建模。

氣動外形優(yōu)化算例表明，基于分塊CST方法、遺傳優(yōu)化算法和氣動力快速計算方法建立的優(yōu)化平臺設計變量少，具有較高的計算效率、優(yōu)化效果與精度，是高超聲速飛行器氣動外形優(yōu)化設計的有力工具。

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