重力場(chǎng)擾動(dòng)位泰勒展開(kāi)式低階項(xiàng)應(yīng)用研究

曹金國(guó)，王建斌，戴山嶺

(96633部隊(duì)，北京100096)

一、引 言

高程異常是似大地水準(zhǔn)面和參考橢球面之間的差距，似大地水準(zhǔn)面相對(duì)于參考橢球面的傾斜狀況可以采用垂線偏差來(lái)衡量。垂線偏差通常采用天文測(cè)量和大地測(cè)量相結(jié)合的方法確定，或通過(guò)重力場(chǎng)模型獲取。其中，天文測(cè)量受天氣制約明顯，而重力場(chǎng)模型對(duì)低頻長(zhǎng)波擾動(dòng)影響表征較好，對(duì)局部短波高頻擾動(dòng)影響反應(yīng)較差。特殊情況下，需要一定精度垂線偏差分量而天文測(cè)量又無(wú)法實(shí)施時(shí)，就需要其他手段來(lái)保障。多年來(lái)，筆者在局部區(qū)域內(nèi)實(shí)測(cè)了一定數(shù)量的高程異常點(diǎn)，而通過(guò)這些高程異常點(diǎn)能否確定該區(qū)域內(nèi)任意位置滿足一定精度的垂線偏差，下面就這一問(wèn)題進(jìn)行探討。

二、擾動(dòng)位局部平面展開(kāi)式低階項(xiàng)的物理意義

眾所周知，垂線偏差代表了似大地水準(zhǔn)面的傾斜，垂線偏差分量(ξ，η)和擾動(dòng)位T的關(guān)系可以簡(jiǎn)單地表示為

式中，γ為正常重力值。

考慮到一定范圍內(nèi)似大地水準(zhǔn)面的變化比較平緩，可將擾動(dòng)位T看做是平面坐標(biāo)(x，y)的函數(shù)，此時(shí)，可將擾動(dòng)位展開(kāi)為x和y的函數(shù)，即

式中，T0為參考點(diǎn)處(重心)的擾動(dòng)位。參考點(diǎn)處擾動(dòng)位的偏導(dǎo)數(shù)與垂線偏差，以及垂線偏差變化率的關(guān)系為

式中，γ0為正常重力。將式(3)和式(4)代入式(2)后可得

將式(5)代入到布隆斯公式可得

由正常重力的計(jì)算公式可知，相隔數(shù)十千米的兩點(diǎn)，正常重力的變化可忽略不計(jì)，即可取γ=γ0，則可得到和高程異常ζ與垂線偏差(ξ、η)的關(guān)系式，即

式中，ζ0為參考點(diǎn)的高程異常;(ξ0、η0)為參考點(diǎn)的垂線偏差分量;二次項(xiàng)的系數(shù)是垂線偏差的變化率。由此可見(jiàn)，式(7)是一個(gè)典型的多次曲面函數(shù)，因此可以將主要的低階項(xiàng)采用二次曲面函數(shù)進(jìn)行擬合，即

正因?yàn)槎吻婧瘮?shù)具有高程異常和垂線偏差聯(lián)系的物理意義，因此可以通過(guò)高程異常擬合垂線偏差。

三、利用二次曲面擬合垂線偏差的方法

假如區(qū)域內(nèi)有n個(gè)已知高程異常值的點(diǎn)位S(x，y，ζ)，根據(jù)式(8)可以列出高程異常的誤差方程

當(dāng)n=3時(shí)，可以直接采用一次項(xiàng)，直接解算方程便會(huì)得到重心處的垂線偏差分量;當(dāng)n=5時(shí)，可以采用二次項(xiàng)，直接解算出6個(gè)系數(shù) a0、a1、a2、a3、a4、a5;當(dāng)n＞5時(shí)，需要采用最小二乘原理進(jìn)行平差，此時(shí)若記

則可得到多項(xiàng)式擬合的各系數(shù)

在得到 a0、a1、a2、a3、a4的基礎(chǔ)上，區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的垂線偏差則是

四、擬合結(jié)果分析

采用東南部3個(gè)測(cè)區(qū)不同數(shù)量的高程異常值對(duì)垂線偏差進(jìn)行了擬合，3個(gè)測(cè)區(qū)的范圍分別為25 km×40 km、26 km ×25 km、25 km ×10 km，其高程異常值均采用GPS和三等電磁波測(cè)距高程導(dǎo)線測(cè)量所得。由于測(cè)區(qū)已知高程異常點(diǎn)數(shù)量較少，均為4個(gè)點(diǎn)，因此這3個(gè)測(cè)區(qū)僅能夠擬合出重心處的垂線偏差分量，對(duì)擬合結(jié)果與CGCS2000模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 3個(gè)測(cè)區(qū)垂線偏差分量(ξ、η)擬合結(jié)果(″)

為了驗(yàn)證測(cè)區(qū)內(nèi)任意位置垂線偏差的擬合情況，測(cè)區(qū)3中采用CGCS2000計(jì)算出兩個(gè)點(diǎn)的高程異常作為已知點(diǎn)高程異常，這樣便可以求出垂線偏差在兩個(gè)方向的變化率。采用以上模型求出測(cè)區(qū)范圍內(nèi)1'×1'格網(wǎng)交叉點(diǎn)處共計(jì)78個(gè)點(diǎn)的垂線偏差，然后采用CGCS2000模型計(jì)算出這78個(gè)點(diǎn)的垂線偏差分量，將CGCS2000模型的計(jì)算結(jié)果作為已知值，對(duì)擬合的垂線偏差兩個(gè)分量分別進(jìn)行了精度統(tǒng)計(jì)，擬合精度m的計(jì)算公式為

式中，Δ為擬合值與CGCS2000計(jì)算值之差。結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 測(cè)區(qū)3內(nèi)垂線偏差分量擬合結(jié)果分布情況(″)

通過(guò)表1和表2的擬合結(jié)果可以看出，采用高程異?？梢詳M合出滿足一定精度要求的垂線偏差分量。

五、垂線偏差擬合時(shí)的高程異常精度要求

由于高程點(diǎn)的精度通常采用每千米高差中數(shù)偶然中誤差mΔh來(lái)衡量，忽略大地高的測(cè)量誤差，因此高程點(diǎn)的高程異常精度mh可以根據(jù)路線長(zhǎng)度s按照以下公式計(jì)算得出

為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，設(shè)Δx=Δy，并且忽略高階項(xiàng)的影響，可以得到局部區(qū)域內(nèi)高程異常與垂線偏差的精度關(guān)系，即

取兩個(gè)分量的誤差精度相同，即mξ=mη=m，可以概略地確定高程異常和垂線偏差的精度關(guān)系

將式(13)代入式(15)，并且取每千米高差中數(shù)偶然中誤差mΔh=10 mm代入計(jì)算，則可得到m大約在2.1″左右?？紤]到模型的誤差，可以滿足垂線偏差分量2.5″的精度要求，從另一個(gè)方面證明了該方法的可行性。

六、結(jié)束語(yǔ)

本文分析了擾動(dòng)位局部平面展開(kāi)式低階項(xiàng)的物理意義，并根據(jù)其物理意義采用相應(yīng)的二次曲面函數(shù)進(jìn)行了垂線偏差分量的擬合試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法滿足一定精度要求，可以作為特殊情況下垂線偏差獲取的途徑。另外，在測(cè)區(qū)范圍的大小及已知點(diǎn)的分布情況對(duì)精度影響方面，還有待深入研究。

［1］陸仲連.地球重力場(chǎng)理論與方法［M］.北京:解放軍出版社，1996.

［2］王新洲，陶本藻，邱衛(wèi)寧，等.高等測(cè)量平差［M］.北京:測(cè)繪出版社，2006.

［3］隋立芬，宋力杰，柴洪洲，等.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.北京:測(cè)繪出版社，2010.