近世代數(shù)課程教學(xué)思考

王貞

摘 要： 本文通過對近世代數(shù)的教學(xué)探索，提出從激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、改進(jìn)教學(xué)手段、改進(jìn)教學(xué)方法等方面強(qiáng)化課堂教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞： 近世代數(shù) 學(xué)習(xí)興趣 教學(xué)方法 教學(xué)手段

近世代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)繼高等代數(shù)之后的又一門代數(shù)學(xué)科，主要研究代數(shù)系統(tǒng)的基本概念及性質(zhì)，內(nèi)容相對來說比較抽象、邏輯性強(qiáng)。近世代數(shù)對今后數(shù)學(xué)深造學(xué)習(xí)有非常重要的意義，比如代數(shù)學(xué)就是以近世代數(shù)為基礎(chǔ)的一門學(xué)科。此外，這門學(xué)科既有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，又有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，為學(xué)習(xí)其他學(xué)科奠定基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)前，我國高等院校一般根據(jù)教學(xué)大綱，近世代數(shù)教學(xué)內(nèi)容主要是群、環(huán)相關(guān)基礎(chǔ)知識，課時多一點(diǎn)的會涉及域的初步知識。但學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，仍感到這些基礎(chǔ)知識不易理解和掌握，從而在解題時感到困難。課程結(jié)束后，很多學(xué)生感覺近世代數(shù)就是一些定義、性質(zhì)、定理及證明，非?？菰锓ξ?。為此，我們在教學(xué)過程中作了探索，改進(jìn)了教學(xué)方法，優(yōu)化了課堂教學(xué)效果。

一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)近世代數(shù)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)動力

托爾斯泰說：“成功的教學(xué)所需要的不是強(qiáng)制，而是激發(fā)學(xué)生的興趣?！蹦苁箤W(xué)生在愉悅的氣氛中學(xué)習(xí)，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望是教學(xué)成功的關(guān)鍵。為此，教學(xué)中在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面，我注意努力做好以下四點(diǎn)。

（一）上這門課之前，先對這門課的一些背景知識做一定的介紹。比如，拉格朗日、阿貝爾探索方程根的問題，尤其是伽羅瓦創(chuàng)立群論的歷史事實(shí)，以及之后諾特創(chuàng)立環(huán)理論等。這樣讓學(xué)生了解這門課的歷史來源，了解這門課發(fā)展的歷程，有利于激發(fā)他們解決數(shù)學(xué)問題的興趣，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動力。

（二）介紹一些近世代數(shù)的應(yīng)用知識。這其中，非常經(jīng)典的應(yīng)用就是應(yīng)用它解決古代三大幾何難題。當(dāng)然，近世代數(shù)的內(nèi)容不僅在數(shù)學(xué)的各分支有很多應(yīng)用，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在通信理論、計算機(jī)科學(xué)、系統(tǒng)工程等眾多領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前，應(yīng)用比較前沿的如代數(shù)幾何碼，它主要是建立在代數(shù)曲線上的代數(shù)編碼。

（三）介紹一些近世代數(shù)前沿知識動態(tài)。我們不僅要備好課，還要關(guān)注一些近世代數(shù)前沿知識，在課堂上介紹近世代數(shù)當(dāng)前發(fā)展動態(tài)，比如有限單群。

（四）注重章節(jié)之間的銜接。如果我們照本宣科，每章每節(jié)機(jī)械講授，先給出定義，再討論其性質(zhì)、定理等，最后學(xué)生腦海中的近世代數(shù)成了非常零亂的理論知識。我們要注重各章節(jié)內(nèi)容的前后關(guān)系，讓學(xué)生系統(tǒng)地了解基礎(chǔ)知識。當(dāng)然，這就要求我們在備課時吃透教材，多查找文獻(xiàn)資料。

二、改進(jìn)教學(xué)手段，利用計算機(jī)輔助近世代數(shù)教學(xué)

現(xiàn)行教學(xué)中，對近世代數(shù)講解比較抽象，主要是講解一些基本理論的證明，講解方式比較單一，學(xué)生學(xué)習(xí)起來會感到冗繁枯燥。建議教師在講授過程中，多利用計算機(jī)輔助教學(xué)。當(dāng)前，近世代數(shù)的應(yīng)用軟件主要有GAP、Magma等軟件。

GAP是由德國RWTH Aachen大學(xué)的研究團(tuán)隊與1986年開發(fā)，它是計算離散代數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的一個優(yōu)秀系統(tǒng)，主要專注于群論的計算。GAP可用于群及其表示、環(huán)、向量空間、代數(shù)、組合結(jié)構(gòu)等的研究。利用GAP軟件可以將一些繁瑣證明清晰化、復(fù)雜計算簡單化、抽象結(jié)論直觀化[1]。

Magma是一款由悉尼大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)系計算代數(shù)學(xué)小組開發(fā)的功能強(qiáng)大的代數(shù)計算程序包，該軟件專門解決代數(shù)系統(tǒng)中的數(shù)論、代數(shù)幾何和代數(shù)組合學(xué)的計算問題。它提供了用戶自定義或直接利用諸如群，環(huán)，域，模塊，代數(shù)，計劃，曲線，圖表，設(shè)計，編碼和其他許多代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行計算的一個數(shù)學(xué)環(huán)境。

介紹這些軟件，將抽象的一些證明和計算通過算法編程，不僅可以鍛煉學(xué)生的編程能力，還可以幫助學(xué)生加深學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解。利用計算機(jī)輔助教學(xué)不但可以豐富課堂教學(xué)方法，而且可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

三、改進(jìn)教學(xué)方法

（一）及時獲取學(xué)生反饋信息，尊重學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗。課堂作為一個完整的學(xué)習(xí)過程，必須包括學(xué)習(xí)者吸收信息與輸出信息兩個環(huán)節(jié)。通過學(xué)生反饋，教師能從中獲取學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，同時也能從中了解到學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。比如，學(xué)生希望例子多一些，定義、證明少一些。

鑒于此，我們在備課過程中要多做一些設(shè)想和提問，鼓勵學(xué)生思考，而不是一味地給出定理，再證明。我們要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)問題情境，有目的地、有計劃地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力。比如，我們在引入零因子的時候，可以先提問學(xué)生：我們知道兩個非零的數(shù)相乘不等于零，那么在環(huán)里，是否兩個非零元相乘也一定不等于零呢？

（二）充分運(yùn)用比較法。近世代數(shù)主要研究對象不是代數(shù)結(jié)構(gòu)的元素特性，而是各種代數(shù)結(jié)構(gòu)本身和不同代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的相互聯(lián)系（同態(tài)）[2]。群和環(huán)是近世代數(shù)中不同數(shù)學(xué)對象，盡管具有不同的代數(shù)系統(tǒng)，理論之間卻有相似之處，主要表現(xiàn)在一些概念上，如子群和子環(huán)、商群和商環(huán)等[3]。比如，我們可以將群同態(tài)與環(huán)同態(tài)類比，將不變子群與理想類比。

當(dāng)然，我們也可以通過比較不同之處幫助學(xué)生認(rèn)識概念之間的內(nèi)在關(guān)系，如群的兩個定義，有限群的兩個定義。

四、結(jié)語

盡管我們在近世代數(shù)課程的教學(xué)探索過程中做了初步嘗試，并取得了一定的成效，但我們的探索并沒有結(jié)束，教學(xué)改革的任務(wù)依舊艱巨。近世代數(shù)教學(xué)工作者應(yīng)不斷探討，不斷改革，促進(jìn)近世代數(shù)教學(xué)不斷發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉建軍.GAP在近世代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].西南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013（4）：148-151.

[2]馮克勤等.近世代數(shù)引論[M].中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社第三版，2013.

[3]陳全國，滕云玲.關(guān)于近世代數(shù)教學(xué)的思考——以伊犁師范學(xué)院為例[J].聊城大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，（3）：66-68.

基金項目：池州學(xué)院研究生引進(jìn)啟動項目（2011RC035）。