有限元模型修正中處理不完備實(shí)測模態(tài)參數(shù)的方法研究

張 淼，徐慕奇，許鑫鑫，陳錢錢

（1.長春工程學(xué)院理學(xué)院；2.長春工程學(xué)院國際教育學(xué)院，長春130012）

0 引言

有限元模態(tài)修正時(shí)，在準(zhǔn)備好有限元計(jì)算的解析模態(tài)參數(shù)與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)這2種數(shù)據(jù)后，接下來就要進(jìn)行模型的匹配了，這是因?yàn)閷?shí)測的模態(tài)參數(shù)多數(shù)情況下都是不完備的。一般來說，試驗(yàn)的測量網(wǎng)點(diǎn)與有限元模型的節(jié)點(diǎn)并不能完全對應(yīng)。首先，實(shí)驗(yàn)時(shí)的某個(gè)測量點(diǎn)未必能與有限元模型的某一節(jié)點(diǎn)對應(yīng)，但只要解析模型的建立者與試驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)者之間進(jìn)行足夠的溝通即可避免這個(gè)問題。其次，有限元模型通常含有比實(shí)測的自由度多得多的自由度，而對于大多數(shù)的有限元模型修正的常用技術(shù)來說，都要求確保解析模型和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖杂啥缺仨毻耆ヅ?。為了解決這種網(wǎng)點(diǎn)的不一致性，要么必須減少解析模型的系統(tǒng)矩陣維數(shù)，使之與實(shí)驗(yàn)設(shè)置的自由度數(shù)相等，要么必須將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擴(kuò)展至有限元解析模型所需要的自由度數(shù)，這就需要進(jìn)行不完備實(shí)測模態(tài)參數(shù)的處理。本文在綜述過程中所使用的符號依據(jù)如下2個(gè)原則，第1個(gè)是在對多個(gè)參考文獻(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行綜述時(shí)盡量使各參考文獻(xiàn)中所使用的符號在本文中能夠得到一定程度上的統(tǒng)一，在不產(chǎn)生歧義的情況下以便于讀者閱讀；第2個(gè)是沒有完全使用獨(dú)立于參考文獻(xiàn)中的符號，否則將不便于讀者查閱原文。

1 實(shí)模態(tài)參數(shù)與復(fù)模態(tài)參數(shù)理論［1－2］

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程為

式中M、C和K ∈RN×N分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。

從有限元模型修正出發(fā)，由拉氏域的運(yùn)動(dòng)方程

經(jīng)過特征分析而得到的方程

令λi＝－，則式（3）可化為

可以計(jì)算得到實(shí)頻率（無阻尼固有頻率）及實(shí)模態(tài)（振型）。記V ＝ ［v1，…，vN］為無阻尼規(guī)范化振型矩陣，那么此時(shí)模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度矩陣分別為

對經(jīng)典阻尼系統(tǒng)有

考慮含有阻尼時(shí)的系統(tǒng)極點(diǎn)及復(fù)模態(tài)對（si，ui）（i＝1，2，…，2 N）滿足方程

對于N自由度振動(dòng)系統(tǒng)，特征方程det［s2M＋sC＋K］＝0有2 N個(gè)呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值s1，s2，…，s2N（其中si＋1為si的共軛（i＝1，3，…，2 N －1）），稱為系統(tǒng)的復(fù)頻率。這些復(fù)頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征向量ui∈CN稱為系統(tǒng)（1）與si相對應(yīng)的第i個(gè)模態(tài)向量。將u1，u2，…，u2N（其中ui＋1為ui的共軛（i＝1，3，…，2 N－1））稱為復(fù)模態(tài)，復(fù)頻率和復(fù)模態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)模態(tài)參數(shù)。它們的正交條件的形式有很多，常用的形式為

其中狀態(tài)向量矩陣為Φ ＝ ［φ1，φ2，…，φ2N］，狀態(tài)向量為φi＝ ［uisiui］T（i＝1，2，…，2 N），且

下文討論中用到的均為規(guī)范正交化后的實(shí)模態(tài)vi（i＝1，2，…，N）和復(fù)模態(tài)ui（i＝1，2，…，2 N）（見式（2）和式（6））。

2 模態(tài)參數(shù)的識別與估計(jì)

系統(tǒng)按阻尼比的大小可分成過阻尼系統(tǒng)（ξ＞1），臨界阻尼（ξ＝1）和欠阻尼（ξ＜1）系統(tǒng)，過阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)只有衰減成分，而沒有振蕩趨勢，而欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)是一種衰減振蕩，臨界阻尼是過阻尼與欠阻尼的一種分界。實(shí)際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于10%的，除非這些系統(tǒng)設(shè)置有很強(qiáng)的阻尼機(jī)制，因此多數(shù)情況下，我們只研究欠阻尼系統(tǒng)的情形。實(shí)測主要針對無阻尼固有頻率及振型，而測量阻尼比的目的之一是當(dāng)阻尼比很小時(shí)，實(shí)測頻率才與無阻尼固有頻率一致。

根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡牟煌?，我們可以選擇不同的參數(shù)估計(jì)方法，估計(jì)復(fù)模態(tài)或純模態(tài)。如果要進(jìn)行模型修正，那么實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)就應(yīng)當(dāng)是實(shí)模態(tài)。一般來說，一個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是它的若干階模態(tài)振型的迭加，但如果假定在給定的頻帶內(nèi)只有一個(gè)模態(tài)是重要的，那么該模態(tài)參數(shù)可以單獨(dú)確定。以這一假定為根據(jù)的就是所謂的模態(tài)參數(shù)識別方法。就系統(tǒng)矩陣而言，模態(tài)振型向量服從正交性條件，這些正交性條件又決定了模態(tài)比例因子。時(shí)域方法——直接以輸入和輸出信號時(shí)間歷程估計(jì)參數(shù)；頻域方法——以輸入和輸出信號在頻域中的關(guān)系為依據(jù)估計(jì)參數(shù)。均勻離散的信號經(jīng)由傅麗葉變換可以很容易地在時(shí)域和頻域之間變來變?nèi)ァ?/p>

如果模態(tài)分析實(shí)驗(yàn)的目的是為了得到實(shí)模態(tài)，那么分析者應(yīng)該選擇能夠估計(jì)這類模態(tài)的方法，例如最小二乘頻域方法（近似方法）和頻域直接參數(shù)識別方法（精確方法）。比例阻尼時(shí)，特征值與無阻尼時(shí)的特征值稍有不同，特征向量與無阻尼時(shí)的特征向量完全相同［3］。比例阻尼或無阻尼系統(tǒng)的極點(diǎn)都是復(fù)值的，而且為純虛的，它們的模態(tài)為實(shí)模態(tài)，然而非比例阻尼系統(tǒng)具有復(fù)值極點(diǎn)和復(fù)值模態(tài)振型。一般對于欠阻尼結(jié)構(gòu)，假定它是比例阻尼還是非比例阻尼差別并不大。對于阻尼較大的結(jié)構(gòu)，特別是那些具有集總阻尼部件的結(jié)構(gòu)（例如裝備完善的汽車），多半認(rèn)為是非比例阻尼的。如需實(shí)模態(tài)分析（K＋λ2M）v＝0，則實(shí)測出ωr，vr，其中λr＝iωr，如需復(fù)模態(tài)分析（s2M＋sC＋K）u＝0，實(shí)測出sr＝δr＋iνr，ur也能測得。如果無阻尼或阻尼比很小時(shí)，ωr＝νr。

3 模型縮聚

解決測量自由度遠(yuǎn)小于有限元模型解析自由度這一矛盾的一個(gè)途徑是模型減縮，即將模型的位移基縮聚到測量自由度上。事實(shí)上，要鑒別與每一個(gè)實(shí)驗(yàn)自由度相對應(yīng)的解析自由度，這一操作的具體過程就是定義一組“有效”自由度，而其他的解析自由度叫做“廢棄”自由度。僅僅得到解析自由度與實(shí)驗(yàn)自由度的相應(yīng)關(guān)系后，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)與解析模態(tài)及系統(tǒng)矩陣的維數(shù)仍然是不相同的，因此要通過縮減方法來解決尺寸不一致的問題。

縮減技術(shù)是通過一個(gè)變換矩陣TD或TF定義有效自由度與廢棄自由度之間的一種關(guān)系：

式中：XA是有效自由度；XD是廢棄自由度；XF是全部自由度；TF用于壓縮系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣。

有很多的減縮方法可供使用，其中經(jīng)典的方法之一是靜力縮聚，或 Guyan－Irons減縮［4］。我們選測量自由度為主坐標(biāo)（有效自由度）xm，其余的自由度為副坐標(biāo)（廢棄自由度）xs，于是位移基（全部自由度）縮聚到主坐標(biāo)上

將M與K也同理進(jìn)行分塊，分塊后的運(yùn)動(dòng)方程（2）可寫成

式中Guyan減縮矩陣為

式中Im是m×m的單位矩陣，常把Csm＝－稱為原始模型的約束模態(tài)。Guyan減縮有多種改進(jìn)，比如O'Callahan的改進(jìn)是引入慣性項(xiàng)作為準(zhǔn)靜態(tài)力［5］，它的縮聚矩陣是

其中

式中MR，KR是壓縮質(zhì)量矩陣和壓縮剛度矩陣。

還有一種方法是利用原模型計(jì)算特征向量［6］，再去生成主、副坐標(biāo)之間的變換，以φ表示有限元模型計(jì)算的前r階解析特征向量，按主、副坐標(biāo)的分塊形式是

利用模態(tài)縮聚變換，得到

由第一分塊式得

式中的廣義逆矩陣（當(dāng)主坐標(biāo)個(gè)數(shù)大于實(shí)測模態(tài)個(gè)數(shù)時(shí)）為

把方程（9）代入式（8），可得到壓縮陣為

至今已有很多模型縮聚方法，除上述提到的幾種之外，比較成熟的有矩量匹配法、代價(jià)分析法（Cost Analysis）、最優(yōu)投影法（Optimal Projection）、平衡降階法（Balanced Reduction）以及這些方法的組合。在大規(guī)模動(dòng)力系統(tǒng)的降階建模中，克雷洛夫子空間技術(shù)（Krylov Subspace Tecnique）得到人們的極大關(guān)注，它已經(jīng)在各種動(dòng)力系統(tǒng)，包括二階和非線性系統(tǒng)中獲得了廣泛的應(yīng)用并取得了巨大進(jìn)展。

另一種得到廣泛應(yīng)用的是Kidder模型縮聚法［7］，它能保留式（7）中的慣性量，并能獲得較高精度的模型修正結(jié)果。這里簡要介紹運(yùn)用Kidder原理縮減解析模型的剛度和質(zhì)量矩陣，使得它們與實(shí)測的振型分量φm的維數(shù)保持一致，設(shè)得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型的所有節(jié)點(diǎn)上的振型分量為

式中Im是m×m維的單位矩陣，逆矩陣P（λi）－1和矩陣Q（λi）通過式（10）～ （11）得到

因此，縮減后的剛度和質(zhì)量矩陣分別為

式（12）～（13）中的剛度和質(zhì)量矩陣必須滿足如下的正則方程

式中：Λ是t×t維的由實(shí)測頻率構(gòu)成的對角陣；φm是對應(yīng)的m×t維的實(shí)測振型矩陣；t為測量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。

有限元解析模型的縮減過程就是把廢棄自由度從解析模態(tài)振型及系統(tǒng)矩陣中剔除。模態(tài)振型的壓縮思想極為直截了當(dāng)，從模態(tài)振型中把廢棄自由度抹掉就可以了，但針對系統(tǒng)矩陣的縮減就不那么簡單了，必須采用上述的縮減技術(shù)。在實(shí)際中各種縮減技術(shù)的正確性都會(huì)受到一定的限制。壓縮后的系統(tǒng)矩陣只是在一個(gè)或若干個(gè)特定的頻率上能準(zhǔn)確描述有效自由度的動(dòng)態(tài)特性。除此之外，系統(tǒng)矩陣一旦經(jīng)過壓縮，它的連通性就會(huì)受到破壞。然而由于壓縮技術(shù)針對的是比較整體的測量數(shù)據(jù)，并且這種壓縮結(jié)果在特定的頻率上具有明確的物理意義，因此使用壓縮解析系統(tǒng)矩陣方法常常比使用擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型方法在處理不完備實(shí)測模態(tài)參數(shù)時(shí)要更具有優(yōu)越性［8］。

4 模型擴(kuò)展

有限元解析模型的自由度數(shù)一般總是大大超過實(shí)驗(yàn)測量的自由度數(shù)，有限元建模分析要求細(xì)密的節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格作為支撐，但是在實(shí)際結(jié)構(gòu)上測出所有對應(yīng)的自由度是不現(xiàn)實(shí)的，甚至是不可能的，這是因?yàn)椋菏紫仍S多有限元節(jié)點(diǎn)處于結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，無法進(jìn)行測量，其次轉(zhuǎn)動(dòng)自由度確實(shí)難以測量，最后對于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析來說，細(xì)密的測量網(wǎng)格是不必要的，常常也是不實(shí)際的。然而大多數(shù)的模型修正方法都要求解析自由度與實(shí)驗(yàn)自由度之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。對這樣的2組數(shù)據(jù)，自由度的數(shù)目及位置必須相同。

對于大型結(jié)構(gòu)來說，要想在所有自由度上測全數(shù)據(jù)是很難的。但在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)時(shí)，由于給出的目標(biāo)振型是理想振型，不存在誤差平滑問題，故可采用振型自由度的直接擴(kuò)展方法。擴(kuò)展技術(shù)是把測量得到的模態(tài)振型擴(kuò)充到有限元解析模型的全套自由度上。大多數(shù)擴(kuò)充技術(shù)都采用的是把有限元模型的計(jì)算振型數(shù)據(jù)用來擴(kuò)展實(shí)測模態(tài)振型的數(shù)據(jù)。但應(yīng)用時(shí)一定要注意不要偏離實(shí)測模態(tài)振型數(shù)據(jù)所給出的信息。

實(shí)測模態(tài)振型中的未知廢棄自由度的估算常常是以解析模型中有效自由度與廢棄自由度之間的關(guān)系為依據(jù)進(jìn)行的。因此各種壓縮技術(shù)都可以被用作擴(kuò)展技術(shù)，因?yàn)閴嚎s技術(shù)定義的是解析模型的有效自由度與廢棄自由度之間的一種關(guān)系：

同樣的變換矩陣可用于實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型

注腳x表示實(shí)測數(shù)據(jù)。

下面針對實(shí)模態(tài)參數(shù)介紹一種擴(kuò)展技術(shù)［9］。假定系統(tǒng)有限元模型第i階振型為φi，當(dāng)實(shí)測自由度小于解析模型自由度時(shí)，將振型分塊為

于是，將M與K也同理進(jìn)行分塊，分塊后方程（2）可寫成：

式中：ωi為第i階實(shí)測固有頻率為第i階不完備的實(shí)測振型。

將式（14）展開，由第2行得

即

那么有

可得：

因此，

其中：

令

則有實(shí)測振型的擴(kuò)展式：

現(xiàn)有的修正方法，特別是參數(shù)型修正方法，一般都只考慮實(shí)模態(tài)的情況，但在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，復(fù)模態(tài)情況更為普通，雖然Ibrahim曾提出過從復(fù)模態(tài)中提取實(shí)模態(tài)參數(shù)的方法［10］，但由于其結(jié)果的唯一性沒有解決而不便實(shí)用。

近年來文獻(xiàn)［11］提出了一種利用不完備復(fù)模態(tài)參數(shù)修正結(jié)構(gòu)有限元模型的迭代修正方法，認(rèn)為結(jié)構(gòu)有限元模型誤差主要來源于某些形狀或物理性質(zhì)太復(fù)雜的局部，其結(jié)構(gòu)質(zhì)量與剛度矩陣的誤差可直接由這些局部的幾何、材料參數(shù)來修正，質(zhì)量、剛度矩陣的誤差同時(shí)又影響阻尼矩陣，將阻尼陣表達(dá)為質(zhì)量、剛度矩陣的多項(xiàng)式，再通過修正多項(xiàng)式系數(shù)來修正阻尼矩陣。文中還討論了復(fù)模態(tài)振型的擴(kuò)充問題。當(dāng)測試自由度小于解析模型的自由度時(shí)，將第i階復(fù)振型Ψi按已測量與未測量自由度進(jìn)行分塊：

由上式第2行可得：

即

那么

簡記上式為：

則有實(shí)測振型的擴(kuò)展式

利用式（15），可對第i階復(fù)振型進(jìn)行擴(kuò)展，即通過已測量自由度上的復(fù)振型計(jì)算未測量自由度上的復(fù)振型。

再討論另外幾種擴(kuò)展技術(shù)：

特征向量混合法是把相應(yīng)的解析模態(tài)振型的值填補(bǔ)到實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型中所缺失的自由度上

填補(bǔ)之前，解析模態(tài)振型和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型必須加以比例換算，使二者長度相等：

注腳a表示解析數(shù)據(jù)。

模態(tài)坐標(biāo)法是把實(shí)測模態(tài)振型定義為解析模態(tài)振型的線性組合，該線性組合的系數(shù)根據(jù)有效自由度來計(jì)算：

然后利用矩陣q來估計(jì)實(shí)測振型中所缺失的自由度：

對于有效自由度來說，原來的測量值可以保留，也可以用它們在解析模態(tài)振型組合上的投影代替，這樣做對實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型來說具有平滑的效果。

插值法也可以用來估計(jì)缺失的自由度，插值法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)振型時(shí)不必用解析數(shù)據(jù)，該方法在很大程度上依靠的是不同自由度之間的連通性，因此每個(gè)插值絕不可能獨(dú)立，這就使它的實(shí)際應(yīng)用變得相當(dāng)困難。實(shí)踐中，插值法的應(yīng)用只限于一維部件所組成的結(jié)構(gòu)。當(dāng)有效自由度組僅由直線自由度組成時(shí)，用插值法對轉(zhuǎn)動(dòng)自由度的估計(jì)也是一種數(shù)值上不穩(wěn)定的過程。

近年來文獻(xiàn)［12］利用動(dòng)態(tài)擴(kuò)充法進(jìn)行模態(tài)擴(kuò)展進(jìn)而進(jìn)行模型修正時(shí)，提出了一種新的迭代方法，在模型修正過程中考慮了誤差項(xiàng)，并將其以修正項(xiàng)的形式添加到模型修正當(dāng)中，同時(shí)該方法沒有限定所使用模型修正的方法，具有一定的通用性。如果將模型縮聚直接應(yīng)用到模型修正中，模型縮聚的近似帶來的誤差會(huì)影響到模型修正的精度。因此文獻(xiàn)［13］提出將模型縮聚和模型修正之間關(guān)系進(jìn)行整合，將模型縮聚技術(shù)與模型修正過程有效結(jié)合，提高了模型修正的精度。主要方法是在用修正元的線性組合式和為擬修正系數(shù)）表示出有限元模型的剛度、質(zhì)量陣與物理模型的剛度、質(zhì)量陣之間的關(guān)系ΔK＝Ka－Kt和ΔM＝Ma－Mt后，事實(shí)上得到了模型修正方程，然后提出了物理模型和有限元模型的縮聚矩陣的概念，認(rèn)為多數(shù)修正方法都令這2個(gè)縮聚矩陣是相等的，但當(dāng)有限元模型與物理模型差別較大時(shí)，該恒等假設(shè)所帶來的誤差會(huì)較大，進(jìn)而影響修正的精度，因此文獻(xiàn)提出在修正過程中打破這種恒等假設(shè)，形成新的修正系數(shù)的迭代方程。

5 位置矩陣法［14］

當(dāng)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時(shí)，只能測量得到部分信息，在這種不完備信息的情況下，修正矩陣中的修正元ΔM，ΔC，ΔK沒有唯一解，這里將質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的修正量局部化，利用位置矩陣將修正量集中在測量自由度上，則有

式中：m，c，k均為r×r階的實(shí)對稱矩陣；r為測量自由度數(shù)目；P∈Rn×r稱為位置矩陣，它是由n階單位陣劃去非測量自由度對應(yīng)列所構(gòu)成的矩陣。

6 利用實(shí)測復(fù)模態(tài)計(jì)算解析實(shí)模態(tài)［10，15］

在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，阻尼矩陣一般為非比例阻尼，且實(shí)測模態(tài)的數(shù)目小于結(jié)構(gòu)自由度，即實(shí)際情況中多為不完備復(fù)模態(tài)條件，對于線性結(jié)構(gòu)來說，識別后得到復(fù)模態(tài)滿足

（si，ui）（i＝1，2，…，Ne）為實(shí)測復(fù)模態(tài)參數(shù)，由于實(shí)測自由度數(shù)目Ne與有限元結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目N不符，因此上述方程不能解出M－1K，為此補(bǔ)充解析高階復(fù)模態(tài)所滿足的那部分方程

用最小二乘法解出M－1K，再用解析方法

7 結(jié)語

本文通過把有限元模型修正中處理不完備實(shí)測模態(tài)參數(shù)有關(guān)的基本知識、常用方法及最新進(jìn)展進(jìn)行綜述，展示了這一應(yīng)用領(lǐng)域中所包含的技術(shù)基礎(chǔ)、內(nèi)在聯(lián)系和應(yīng)用特點(diǎn)，為相應(yīng)的有限元模型修正的前期數(shù)據(jù)處理提供了良好的技術(shù)支持。

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