基于Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論的柔性管件維修可視化

焦玉民 王 強(qiáng) 徐 婷 謝慶華

1.94679部隊(duì)，南京，210038 2.解放軍理工大學(xué)，南京，210007

0 引言

軍用工程機(jī)械防護(hù)性能最薄弱的部位是暴露在機(jī)械外部的液壓管路，液壓管路一旦損壞，極易造成機(jī)械無(wú)法工作。虛擬維修訓(xùn)練是軍用工程機(jī)械維修保障訓(xùn)練的重要手段之一，柔性零件（如軟管、線(xiàn)纜、皮帶等）的維修模擬是一個(gè)不容回避的問(wèn)題。目前的虛擬維修仿真過(guò)程中，絕大多數(shù)維修對(duì)象均為剛性體（如殼體、齒輪、軸承），仿真過(guò)程僅考慮其在虛擬環(huán)境中的位置變化，不考慮其受力后的變形過(guò)程。而變形體的虛擬維修過(guò)程涉及單元類(lèi)型、材料特性和外力載荷等問(wèn)題，建模技術(shù)復(fù)雜。目前的虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境中主要通過(guò)B樣條描述柔性體的靜態(tài)形狀，采用顏色變換、聲音提示以及動(dòng)畫(huà)等方式模擬其故障狀態(tài)，難以模擬柔性體維修變形過(guò)程［1］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在此方面開(kāi)展了一系列研究。文獻(xiàn)［2］采用了離散點(diǎn)方法來(lái)構(gòu)建曲線(xiàn)模型，該模型在幾何層面可以較好地模擬出曲線(xiàn)形態(tài)，但由于缺少曲線(xiàn)的物理特征描述，難以對(duì)不同類(lèi)型的柔性體進(jìn)行區(qū)分。文獻(xiàn)［3］提出了基于彈簧－質(zhì)點(diǎn)法的線(xiàn)纜彈性模型，使用彈簧的彈性系數(shù)描述線(xiàn)纜的物理特性，為柔性軟管的運(yùn)動(dòng)求解提供了一種有效的解決辦法，但彈簧－質(zhì)點(diǎn)法依然存在局限性，該方法僅能計(jì)算軟管的彎曲變形過(guò)程，無(wú)法對(duì)軟管的扭轉(zhuǎn)變形進(jìn)行表達(dá)。劉檢華等［4］、萬(wàn)畢樂(lè)等［5］對(duì)虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下線(xiàn)纜的建模與裝配進(jìn)行了研究，提出了離散控制點(diǎn)建模方法，對(duì)線(xiàn)纜的幾何約束關(guān)系和裝配方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，但并沒(méi)有提及在外力影響下線(xiàn)纜的變形規(guī)律。劉延柱［6］和薛紜等［7］以DNA力學(xué)模型為參考，提出了基于Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論的彈性桿動(dòng)力學(xué)模型，為虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下柔性體建模與分析提供了一種有效的解決方法。文獻(xiàn)［8－9］對(duì)Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論進(jìn)行了深入研究，并應(yīng)用于不同的研究領(lǐng)域。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文提出了虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下柔性管件空間形態(tài)的基本假設(shè)，并運(yùn)用Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論對(duì)柔性體受力后的平衡狀態(tài)進(jìn)行建模分析，構(gòu)建了柔性體動(dòng)力學(xué)平衡方程，使用歐拉四元參數(shù)法對(duì)平衡方程進(jìn)行求解，解決了虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下柔性體受力后的動(dòng)態(tài)變形可視化問(wèn)題，為在虛擬維修環(huán)境中實(shí)現(xiàn)柔性管件的布局優(yōu)化以及維修過(guò)程的動(dòng)態(tài)模擬等問(wèn)題提供了切實(shí)有效的解決方案。

1 虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下柔性管件的基本假設(shè)

1.1 柔性管件描述

柔性體在外力作用下經(jīng)受拉伸變形和扭轉(zhuǎn)變形，其連接狀態(tài)、材料性質(zhì)和外力載荷都影響著變形過(guò)程，本文將軟管受力后的變形簡(jiǎn)化為軟管中心線(xiàn)的幾何形狀改變，為便于對(duì)柔性管件變形狀態(tài)進(jìn)行模擬計(jì)算，需對(duì)管件模型作出如下假設(shè)。幾何特性方面：①將軟管均分為n段，以每段軟管端部橫截面作為研究對(duì)象；②端部橫截面均為剛性平面；③相鄰截面可繞中心線(xiàn)做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。物理特性方面：①忽略軟管中心線(xiàn)的拉伸變形，任意兩截面沿中心線(xiàn)的弧長(zhǎng)不變；②橫截面始終與中心線(xiàn)正交。

在以上假設(shè)條件下，軟管形態(tài)如圖1所示。

1.2 柔性體維修的特點(diǎn)

圖1 軟管空間形態(tài)假設(shè)

虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境下，柔性體維修與剛性體維修有很大的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下兩方面：①在描述虛擬維修對(duì)象的動(dòng)態(tài)變化時(shí)，剛體建模只考慮其在空間內(nèi)的位移，不考慮其形狀改變；而柔性體維修過(guò)程中，為滿(mǎn)足維修過(guò)程逼真度要求，需要實(shí)時(shí)更新柔性體的形態(tài)參數(shù)，并進(jìn)行動(dòng)態(tài)繪制。②虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，剛性體模型形狀固定，碰撞檢測(cè)易于實(shí)現(xiàn)，柔性體在維修過(guò)程中存在彎曲、扭轉(zhuǎn)等情況，碰撞干涉難以預(yù)測(cè)［10］。

2 軟管模型的建立與平衡狀態(tài)分析

2.1 軟管參數(shù)化模型

基于軟管幾何特性和物理特性假設(shè)，將軟管的變形過(guò)程簡(jiǎn)化為其中心線(xiàn)上節(jié)點(diǎn)受力前后的位置改變過(guò)程。具體描述如下：軟管中心線(xiàn)上任一運(yùn)動(dòng)節(jié)點(diǎn)P的位置可由一矢徑r表示，P點(diǎn)弧坐標(biāo)為s，在t＝0時(shí)刻，柔性體的初始狀態(tài)處于P點(diǎn)位置，如圖2所示。

圖2 截面中心變形狀態(tài)描述

主矢r為弧坐標(biāo)s的單值可微函數(shù)，曲線(xiàn)在P點(diǎn)處的單位切向量T可描述如下：

經(jīng)歷時(shí)間t1后，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)至P′，該狀態(tài)為變形狀態(tài)，P′點(diǎn)位置由矢徑r1表示，r1＝r0＋Δr，因此，由矢徑r可以完全確定軟管中心線(xiàn)上各節(jié)點(diǎn)的空間位置，根據(jù)式（1），可由下式求解矢徑r：

式中，r0為起始點(diǎn)矢徑。

2.2 約束關(guān)系模型

2.2.1軟管的Kirchhoff方程

本文應(yīng)用Kirchhoff動(dòng)力學(xué)比擬理論［6］求解軸線(xiàn)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)平衡問(wèn)題。首先將節(jié)點(diǎn)所受到的外力轉(zhuǎn)換成適當(dāng)?shù)牧土?，在定參考坐?biāo)系Oξηζ中，考慮微元弧PP′的內(nèi)力平衡，設(shè)P點(diǎn)所在截面受臨近截面作用的主矢和主矩分別為－F和－M，P′點(diǎn)所在截面受臨近截面作用的主矢和主矩為F＋ΔF和M＋ΔM，如圖3所示。

圖3 軟管微元弧的動(dòng)力平衡

在受力平衡狀態(tài)下，上述作用力對(duì)P點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)化后的主矢和主矩均為0，僅保留主矢F和主矩M 增量的一階小量時(shí)，可以得到［6］

其中，0為零向量，將式（3）各項(xiàng)除以Δs，令Δs→0，導(dǎo)出微元弧力平衡與力矩平衡微分方程：

建立P點(diǎn)所在截面的主坐標(biāo)系Pxyz，根據(jù)柔性體幾何特性假設(shè)，z軸與P點(diǎn)切向量T重合，建立截面主坐標(biāo)系基向量e＝ex＋ey＋ez，則P點(diǎn)單位切向量T＝ez。為便于求解，將求解過(guò)程由相對(duì)虛擬環(huán)境中定坐標(biāo)系Oξηζ轉(zhuǎn)換成相對(duì)截面的主坐標(biāo)系Pxyz中進(jìn)行，將式（4）改寫(xiě)為相對(duì)于截面主坐標(biāo)系Pxyz的投影，即

上式中的“～”表示主矢F與主矩M 相對(duì)截面主坐標(biāo)系Pxyz的局部導(dǎo)數(shù)，ω為主坐標(biāo)系Pxyz相對(duì)于定坐標(biāo)系Oξηζ的角位移變化率，它是與軟管彎曲變形和扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)的矢量。角位移變化率ω、主矢F和主矩M相對(duì)于截面主坐標(biāo)系Pxyz的投影為

根據(jù)式（6），可將式（5）改寫(xiě)成如下形式：

為便于計(jì)算，將定坐標(biāo)系中Oζ軸的方向選取為與主矢F方向同向，若將F相對(duì)坐標(biāo)系Pxyz各軸的方向余弦記為α、β、γ，則有：F1＝Fα，F(xiàn)2＝F β，F(xiàn)3＝Fγ，其中，F(xiàn)＝｜F｜。設(shè)軟管的初始曲率和扭矩均為0，則截面主矩M 可表示為：M1＝Aω1，M2＝Bω2，M3＝Cω3。其中，參數(shù)A、B為截面對(duì)于x軸和y軸的抗彎剛度，參數(shù)C為截面對(duì)于z軸的抗扭剛度，參數(shù)A、B、C由變形軟管的彈性系數(shù)和截面的幾何形狀確定。其中，A＝EIx，B＝EIy，C＝GIz。軟管為均勻各向同性時(shí)，有G＝E／［2（1＋ν）］，其中，E、G、ν分別為軟管的彈性模量、剪切模量和泊松比。Ix、Iy分別為截面相對(duì)x軸和y軸的慣性矩，Iz為截面相對(duì)z軸的極慣性矩，對(duì)于半徑為a的圓截面，Ix＝Iy＝ πa4／4，Iy＝πa4／2。

結(jié)合上述分析，在忽略了管件的原始曲率和扭率時(shí)，可將軟管動(dòng)力平衡方程（式（7）、式（8））轉(zhuǎn)化為如下形式：

常微分方程組（式（9）、式（10））為求解軟管動(dòng)力學(xué)平衡的Kirchhoff方程。Kirchhoff方程中的拉 伸 變 量 α（s）、β（s）、γ（s）及 扭 轉(zhuǎn) 變 量 ω1（s）、ω2（s）、ω3（s）決定剛性截面在空間坐標(biāo)系Oξηζ 中的姿態(tài)。

2.2.2歐拉參數(shù)形式的Kirchhoff方程

常微分方程組（式（9）、式（10））中，需要求解6個(gè)未知數(shù)：α、β、γ、ω1、ω2、ω3，本文采用歐拉四元參數(shù)法（λ1，λ2，λ3，λ4）將未知數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一并對(duì)方程進(jìn)行求解［11］。剛體有限轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉定理表明：截面繞定點(diǎn)O的任意有限轉(zhuǎn)動(dòng)可由繞O點(diǎn)的某個(gè)軸p的一次有限轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，如圖4所示。

圖4 剛體的有限轉(zhuǎn)動(dòng)

其中，θ為截面中P點(diǎn)繞Op軸旋轉(zhuǎn)至P′點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，用以下參數(shù)定義歐拉參數(shù)：

式中，p1、p2、p3為轉(zhuǎn)動(dòng)軸Op 相對(duì)定坐標(biāo)系Oξηζ 的方向余弦。

根據(jù)歐拉四元參數(shù)定義，參數(shù)的平方和恒等于1，即

設(shè)Qk為λk對(duì)弧坐標(biāo)s的導(dǎo)數(shù)，得到

運(yùn)用剛體無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)理論，將橫截面角位移變化率ω與歐拉四元參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系表達(dá)如下：

令圖3中的微元弧PP′長(zhǎng)度趨近于零，則P與P′點(diǎn)接近重合。在定坐標(biāo)系Oξηζ中，忽略軟管自身重力，將主矢F向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到作用于O點(diǎn)等效力FO，如圖5所示。

圖5 主矢的等效力表示

設(shè)定主坐標(biāo)系ζ軸與主矢F方向共線(xiàn)，則可確定F1、F2、F3與歐拉參數(shù)的關(guān)系，表示如下：

桌面式虛擬現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，可設(shè)置作用于軟管活動(dòng)端截面上的主矢F和主矩M，因此，可以采用有限差分法將常微分方程組（式（14）、式（15））轉(zhuǎn)化為代數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，求解每一截面上的8個(gè)未知參數(shù)Q1、Q2、Q3、Q4、λ1、λ2、λ3、λ4。可將起始位置（即活動(dòng)端截面）作為迭代第一步進(jìn)行求解，將每次迭代所得到的解向量作為下一步迭代的初始向量，固定端位置（參考坐標(biāo)系中心）作為迭代的最終精確解，依據(jù)式（11）～式（13）對(duì)每一步迭代所得的解進(jìn)行修正，可求得各截面微元中心P點(diǎn)的矢徑r，以確定活動(dòng)軟管的空間姿態(tài)。

設(shè)軟管長(zhǎng)度為L(zhǎng)，圖5所示的截面中心P點(diǎn)矢徑為r＝ （ξ，η，ζ），依據(jù)Kirchhoff方程的歐拉角表示方法［6］，矢徑r求解方程為

將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的軟管均分為n段，每段弧長(zhǎng)為s，s＝L／n，第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的矢徑為ri＝ （ξ（Pi），η（Pi），ζ（Pi）），設(shè)r0＝ （0，0，0），則軟管長(zhǎng)度約束方程為

2.3 碰撞檢測(cè)

在裝配體中，軟管、線(xiàn)纜等柔性體往往不會(huì)單獨(dú)存在，特別是在大型機(jī)械設(shè)備中，大多數(shù)管路走向錯(cuò)綜復(fù)雜，因此，柔性體之間的碰撞干涉情況是必須考慮的問(wèn)題。

根據(jù)軟管模型假設(shè)，軟管橫截面始終為剛性平面，且變形過(guò)程中忽略中心線(xiàn)的拉伸變形，所以可以通過(guò)檢驗(yàn)柔性體之間的最小距離來(lái)作為碰撞檢測(cè)的判斷依據(jù)，以此來(lái)檢查柔性體是否滿(mǎn)足裝配規(guī)范。

（1）對(duì)于共面或異面的兩條管線(xiàn)，可直接檢測(cè)軸線(xiàn)上節(jié)點(diǎn)間的距離D，距離D應(yīng)滿(mǎn)足如下條件：

式中，min｜ri－rj｜為管路節(jié)點(diǎn)之間的最小距離；ai＋aj為兩管路的半徑和。

找出節(jié)點(diǎn)間的最短距離Dmin，進(jìn)行碰撞檢測(cè)分析。

（2）對(duì)于柔性管件的自碰撞問(wèn)題，可采用球形包圍盒方法進(jìn)行求解，節(jié)點(diǎn)間距離d應(yīng)滿(mǎn)足如下條件：

其中，ri＋rj為與節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j對(duì)應(yīng)的球形包圍盒的半徑和，對(duì)于dmin＜ri＋rj的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，需進(jìn)行碰撞檢測(cè)分析。

3 實(shí)例分析

以天然橡膠軟管（其幾何和物理參數(shù)如表1所示）為例，將橡膠軟管進(jìn)行n等份劃分，構(gòu)成節(jié)點(diǎn)集P＝ ｛P0，P1，…，Pn｝，需對(duì)集合內(nèi)Pi點(diǎn)的位置參數(shù)ξ（Pi）、η（Pi）、ζ（Pi）進(jìn)行求解，形成軟管空間形態(tài)。

表1 天然橡膠軟管幾何和物理參數(shù)

初始條件設(shè)定如下：忽略柔性軟管的重力及初始彎扭矩，軟管運(yùn)動(dòng)端受恒力F作用（｜F｜＝100N）。a→b→c→d即為運(yùn)動(dòng)端節(jié)點(diǎn)的受力方向，設(shè)定ab段、bc段、cd段直線(xiàn)方程如下：

依據(jù)關(guān)鍵幀記錄的橡膠軟管運(yùn)動(dòng)端節(jié)點(diǎn)的空間位置，已知軟管長(zhǎng)度L＝2m，均分為n＝40等份。初始狀態(tài)下，活動(dòng)端r0＝ （0，0，0），自由端r40＝（0，0，2），自由端在主矢F作用下的移動(dòng)過(guò)程中，對(duì)軟管40個(gè)運(yùn)動(dòng)節(jié)點(diǎn)的平衡狀態(tài)方程進(jìn)行差分運(yùn)算，確定整根軟管的空間姿態(tài)。

假設(shè)軟管受拉伸時(shí)受力均勻，終止時(shí)刻軟管固定端矢徑r0＝（ξ0，η0，ζ0）＝（0，0，0），自由端節(jié)點(diǎn)矢徑r40＝ （ξ40，η40，ζ40）＝ （0.8，1.6，0），歐拉四 元 參 數(shù) （λ1，0，λ2，0，λ3，0，λ4，0）＝ （1，0，0，0），（λ1，40，λ2，40，λ3，40，λ4，40）＝ （0.8507，0.2351，0.4702，0），使用有限差分方法求解柔性軟管各個(gè)節(jié)點(diǎn)的解向量，將節(jié)點(diǎn)依次連接，采用均勻B樣條曲線(xiàn)擬合法顯示在輸出設(shè)備上，得到軟管軸線(xiàn)的形態(tài)仿真結(jié)果，如圖6所示。

圖6 軟管中軸線(xiàn)運(yùn)動(dòng)仿真

研究中發(fā)現(xiàn)，采用均勻B樣條對(duì)各節(jié)點(diǎn)間曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，達(dá)到了曲線(xiàn)形狀擬實(shí)性要求。但如果節(jié)點(diǎn)數(shù)目過(guò)少，會(huì)導(dǎo)致曲線(xiàn)長(zhǎng)度發(fā)生變化，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于曲線(xiàn)的初始長(zhǎng)度；而節(jié)點(diǎn)數(shù)過(guò)多，會(huì)加重計(jì)算負(fù)擔(dān)，影響計(jì)算機(jī)的實(shí)時(shí)繪制效果，因此設(shè)計(jì)過(guò)程中必須對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行控制。選用具有表1所示特性的天然橡膠軟管進(jìn)行對(duì)比分析（實(shí)測(cè)圖如圖7所示），為避免重力因素影響，采用水平方向受力的方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比后發(fā)現(xiàn)，天然橡膠軟管的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)與軟管軸線(xiàn)的形態(tài)仿真數(shù)據(jù)基本吻合，但由于受摩擦因素和彎扭度非線(xiàn)性變化影響，誤差依然存在。

圖7 作用力F下軟管變形實(shí)測(cè)結(jié)果

4 結(jié)論

（1）針對(duì)虛擬維修過(guò)程中柔性管件維修難的問(wèn)題，構(gòu)建了基于剛性截面假設(shè)的柔性體空間形態(tài)模型，該模型可以對(duì)柔性體截面形狀進(jìn)行修改（如圓形截面的軟管、方形截面的皮帶等），滿(mǎn)足虛擬維修環(huán)境下柔性體形態(tài)多樣性的需要。

（2）引入Kirchhoff動(dòng)力平衡理論，在定參考坐標(biāo)系Oξηζ和動(dòng)坐標(biāo)系Pxyz中對(duì)橫截面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行模擬，并構(gòu)建與之匹配的平衡狀態(tài)方程，使用歐拉四元參數(shù)法對(duì)方程進(jìn)行求解，該方法能夠?qū)崟r(shí)求解出柔性體形態(tài)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)虛擬維修環(huán)境下柔性管件維修可視化。

（3）基于剛性截面理論假設(shè)，提出了基于該假設(shè)的碰撞檢測(cè)方法，該方法只需要考慮節(jié)點(diǎn)劃分及截面形態(tài)等因素，可以較為準(zhǔn)確地判斷出軟管間的碰撞干涉情況。下一步將對(duì)空間網(wǎng)格模型假設(shè)的不規(guī)則柔性體模型進(jìn)行研究，解決剛性截面假設(shè)只能描述細(xì)長(zhǎng)管件模型的問(wèn)題。

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