謝書童 郭隱彪
1.集美大學(xué),廈門,361021 2.廈門大學(xué),廈門,361005
制造領(lǐng)域中,數(shù)控加工切削參數(shù)的選擇直接關(guān)系到加工成本、加工效率,以及加工質(zhì)量。因此,在一定加工約束條件下,選擇合理的切削參數(shù)可以實現(xiàn)特定的加工目標(biāo),例如降低加工成本、提高加工效率等,這就是切削參數(shù)優(yōu)化問題[1-3]。
早期的切削參數(shù)優(yōu)化研究主要集中在單刀車削加工,即多把刀具輪流車削,但每一時刻只有一把刀具在車削。常見的切削參數(shù)尋優(yōu)算法有模擬退火 算 法[4]、遺 傳 算 法[5-7]、蟻 群 算 法[8-10]、粒子群 算 法[11]、差 分 進 化 算 法[12]、分 布 估 計 算法[13-14]等。
近些年,人們開始把切削參數(shù)優(yōu)化的研究重心從單刀車削逐漸轉(zhuǎn)向雙刀并行車削。雙刀并行車削中的切削參數(shù)優(yōu)化是多刀具同時優(yōu)化問題,它的數(shù)學(xué)模型更復(fù)雜,求解難度更大,目前相關(guān)的研究工作還很少。Tang等[15]以最小化加工時間為目標(biāo),用粒子群算法對雙刀車削中的多種加工方式進行優(yōu)化。Xie等[16]在雙刀并行車削中以最小化加工成本為優(yōu)化目標(biāo),用分布估計算法優(yōu)化加工參數(shù)。這些方法能得到一些優(yōu)化解,但難以保證尋到全局最優(yōu)解,且運算效率較低,不利于集成到車床的CAPP系統(tǒng)中。
針對對稱式雙刀并行車削中的切削參數(shù)優(yōu)化問題,本文建立以最小化加工成本為目標(biāo)的雙刀并行車削參數(shù)優(yōu)化模型。針對該模型提出一種混合優(yōu)化算法,通過把蟻群算法(ant colony optimization,ACO)和子問題枚舉算法(enumeration algorithm of sub-problems,EAS)相結(jié)合的方式,使得最終的優(yōu)化算法具有尋優(yōu)能力強、運算效率高的優(yōu)點。
對稱式雙刀并行車削加工方式如圖1所示。文獻(xiàn)[4]建立的單刀車削參數(shù)優(yōu)化模型接近實際車削加工,因此本文以它為基礎(chǔ),建立雙刀車削參數(shù)優(yōu)化模型。待優(yōu)化的車削參數(shù)包括粗車、精車兩個階段的切削速度、進給量、切削深度、粗車次數(shù),將工件加工成本作為優(yōu)化目標(biāo),它由以下4個部分組成。
圖1 雙刀并行車削加工示意圖
(1)實際切削過程中的加工成本CM。雙刀車削的實際車削時間比單刀的車削時間[4]減少約一半,所以粗車時間為
精車時間為
式中,tmr、tms分別為粗車時間和精車時間,min;n為粗車次數(shù),n= (dt-ds)/dr;L、D 分別為工件的長度和直徑,mm;vr、vs分別為粗車和精車的切削速度,m/min;fr、fs分別為粗車和精車的進給量,mm/r;dt、dr、ds分別為車削總余量、粗車和精車的切削量,mm。
因此切削加工成本為
式中,k0為單位時間的管理成本和工人成本之和,$/min。
(2)刀具空走和工件裝卸操作所用成本CI。刀具空走和工件裝卸操作成本與單刀車削的情況一致[4]:
式中,h1、h2分別為與車刀空走時間和進刀/退刀時間有關(guān)的常量;tc為換刀時間,min。
(3)換刀操作成本CR。雙刀并行車削加工共有4把刀,粗車刀和精車刀各2把,2把粗(精)車刀同時進行車削加工。刀具壽命由Taylor公式確定,粗車刀的壽命為
精車刀的壽命為
式中,Tr、Ts分別為粗車刀和精 車刀的壽命,min;C01、C02、p、q、r均為 Taylor公式的系數(shù)[4]。
2把刀同時車削,換刀的時間為換2把刀的時間之和,粗車刀的換刀時間為2tetmr/Tr,精車刀的換刀時間為2tetms/Ts。其中,te為工件裝卸的時間,min。因此總的換刀時間為
所以換刀操作成本為
(4)刀具磨損成本CT。刀具在粗車、精車過程中的加工條件不同,粗精刀具的磨損程度也不同,因此2把粗車刀的磨損成本為2krtmr/Tr,2把精車刀的磨損成本為2kstms/Ts。其中,kr、ks分別為粗車、精車刀刃成本,$/刀刃。所以刀具磨損成本為
因此最終車削加工的加工成本函數(shù)為
詳細(xì)加工約束條件見文獻(xiàn)[4,12]。本文目標(biāo)是在滿足車削加工約束條件下,最小化加工成本。
對稱式雙刀并行車削加工是由多次等進刀量的粗車和一次精車組成。不同的粗車次數(shù)將產(chǎn)生不同的加工情況。因此,各種可行加工情況的總數(shù)為
式中,nU、nL分別為粗車次數(shù)的上下限[14]。
求解整個車削參數(shù)優(yōu)化問題就等效于求解m個較小的子問題。為了避免窮舉m個子問題,同時也為了評價實驗結(jié)果,先計算出每個子問題的加工成本的理論下限。例如,對于粗車次數(shù)為n0車削子問題,其加工成本理論下限的計算過程如下所述。
根據(jù)式(9)可得
那么
式中,(vrfr)U、(vsfs)U分別為vrfr、vsfs的上限值。因此,粗車次數(shù)為n0的車削子問題的加工成本的理論下限為
由于式(13)中的參數(shù)均已知,故只需通過約束條件的縮放處理計算出(vrfr)U和(vsfs)U,就可算出理論下限。通過上述計算方法,可計算出不同車削子問題的加工成本理論下限,最小的加工成本理論下限就是整個優(yōu)化問題的理論下限。
針對復(fù)雜的車削參數(shù)優(yōu)化問題,先采用子問題枚舉算法對問題進行分解、排序、預(yù)處理,再運用蟻群算法對子問題進行全局尋優(yōu)求解。由此提出的基于蟻群算法和子問題枚舉算法的混合優(yōu)化算法能更有效地解決切削參數(shù)優(yōu)化問題。
為了降低問題的復(fù)雜度,提高算法的效率,采用子問題枚舉算法對問題進行分解、排序、預(yù)處理,算法的主要步驟如下:
(1)根據(jù)可能的加工情況數(shù),把整個優(yōu)化問題等效分解成m個子問題。
(2)使用第2節(jié)的加工成本理論下限的計算方法,計算出每個子問題的加工成本理論下限CnL。
(3)按子問題的加工成本的理論下限CnL大小的升序排列所有子問題,依次為第1子問題,第2子問題,…,第m子問題,其相應(yīng)的粗車次數(shù)分別為N1,N2,…,Nm,理論下限分別為第一理論下限C1L,第二理論下限C2L,…,第m理論下限CmL,其中,C1L≤C2L≤ … ≤CmL。
(4)設(shè)定i=0。
(5)i←i+1。
(6)利用蟻群算法在第i個子問題的解空間中尋得優(yōu)化解CiO。
(7)若優(yōu)化解min(C1O,C2O,…,CiO)≤C(i+1)L或i=m,轉(zhuǎn)步驟(8);否則轉(zhuǎn)步驟(5)。
(8)從已經(jīng)得到的優(yōu)化中選出最小解作為最優(yōu)解,算法終止。
子問題枚舉算法通過優(yōu)先求解少數(shù)子問題來解決整個車削參數(shù)優(yōu)化問題,從而大大縮短了算法的枚舉時間[14]。舉例說明,某一車削優(yōu)化問題被分解成8個子問題,每個子問題的加工成本理論下限均被計算出來。子問題的加工成本理論下限升序排列后為2.51$、2.65$、2.72$、2.88$、3.10$、3.17$、3.31$、3.48$。步驟(6)的蟻群算法在第1子問題(理論下限為2.51$的子問題)處找到優(yōu)化解C1O(為2.68$),由于C1O>C2L(C2L為2.65$),不滿足步驟(7)的條件,蟻群算法就轉(zhuǎn)到第2子問題處搜索優(yōu)化解,尋得優(yōu)化解為2.71$,這時 min(2.68$,2.71$)<2.72$,即 min(C1O,C2O)<C3L,所 以 min(2.68$,2.71$)為整個優(yōu)化問題的最優(yōu)解,算法終止。其主要原因是:在后續(xù)子問題中找到的優(yōu)化解必大于或等于其相應(yīng)的理論下限,則必大于或等于C3L(為2.72$),所以剩下的5個子問題均不必搜索,換句話說,子問題枚舉算法只需處理8個子問題中的2個就可解決整個復(fù)雜車削優(yōu)化問題。
蟻群算法(ACO)和子問題枚舉算法(EAS)相結(jié)合的優(yōu)化算法(ACO-EAS)的主要步聚如下:
(1)令i=0。
(2)令i←i+1;以第i個車削子問題為出發(fā)點,開始搜索。
(3)初始化種群,在第i個車削子問題中進行個體編碼與解碼(目標(biāo)函數(shù)計算);設(shè)定迭代數(shù)l=1。
(4)螞蟻數(shù)nant=1。
(5)按輪盤概率法為當(dāng)前螞蟻選擇下一個城市(路徑)。
(6)用局部更新規(guī)則更新信息素,螞蟻數(shù)nant←nant+1。
(7)判斷螞蟻數(shù)nant是否達(dá)到螞蟻總數(shù),若沒達(dá)到,轉(zhuǎn)步驟(4)。
(8)用全局更新規(guī)則更新信息素,迭代數(shù)l←l+1。
(9)判斷算法是否達(dá)到最大迭代數(shù)Gmax,若未達(dá)到,則轉(zhuǎn)步驟(3)。
(10)輸出當(dāng)前子問題的優(yōu)化解UiO;若優(yōu)化解 min(U1O,U2O,…,UiO)≤U(i+1)L或i=m,轉(zhuǎn)步驟(11);否則轉(zhuǎn)步驟(2)。
(11)從已經(jīng)得到的優(yōu)化解中選出最小解作為最優(yōu)解,算法終止。
算法采用十進制數(shù)串的編碼方式來表示問題的解[17-18]。具體的做法為:對于待優(yōu)化子問題的5個變量vr、fr、vs、fs、ds,用定義域設(shè)為[0,1]的5個變量x1、x2、x3、x4、x5與之建立一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。這樣只需優(yōu)化變量x1、x2、x3、x4、x5就可得到優(yōu)化的相應(yīng)加工參數(shù)vr、fr、vs、fs、ds。例如,對變量xi進行編碼(要求精確到小數(shù)點后d位),則編碼后的變量xi可用d個十進制數(shù)近似表示,于是構(gòu)造10d+2個“城市”。這些“城市”分為d+2層,首尾兩層各有1個“城市”(起始“城市”、終止“城市”),均為0(作為分隔層)。中間d層,從左往右分別表示變量的十分位、百分位等[18]。因此,5個變量就組成5d+6層“城市”,兩變量之間用0作為輔助層隔開。解用56位十進制表示,編碼方式如表1所示。解碼時,對各變量對應(yīng)的層分別解碼。
表1 解的編碼
在解碼處理中,通過一定的數(shù)學(xué)變換就可以把變量從定義域[0,1]變到原來的定義域。例如50≤vr≤500,那么對于0≤xi≤1,則由公式vr=450xi+50可得vr與xi的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系。其余變量fr、vs、fs、ds也做類似處理。
蟻群算法中信息素的局部更新規(guī)則和全局更新規(guī)則采用文獻(xiàn)[18]的更新方式。
針對模型中的加工約束條件,在算法中使用罰函數(shù)對違反加工約束條件的個體進行懲罰,以提高不滿足約束的個體的目標(biāo)函數(shù)值。違反不同的加工約束條件,將施以不同程度的懲罰。
算法用C++實現(xiàn),具體參數(shù)設(shè)定:蟻群大小為40,迭代總數(shù)為50,局部信息素更新系數(shù)ρ為0.2,全局信息素更新系數(shù)α為0.2,信息素初始化系數(shù)τ0為0.01。測試算法性能的加工實例的基本參數(shù)見文獻(xiàn)[4,12]。
算法在 Windows平臺(CPU為P4 2.0GHz、內(nèi)存為1GB)上運行20次,運算時間為算法運行20次的時間總和。從表2可知,對于車削總余量不同的4個加工實例,算法運行穩(wěn)定,所得結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差小,算法運算效率高,約12s就可得到優(yōu)化結(jié)果。此外,隨著車削總余量的增加,相應(yīng)的車削工序數(shù)也增加,但算法的運算時間沒有明顯增大。也就是,隨著優(yōu)化問題復(fù)雜度的增加,算法的時間花銷沒有明顯增大。這有利于算法集成到數(shù)控車床的CAPP系統(tǒng)中。通過與分布估計算法[16]的結(jié)果對比發(fā)現(xiàn),在不同加工實例中,本文算法優(yōu)化后的加工成本平均值都明顯小于分布估計算法,同時運算效率提高了8倍。
表2 不同算法的結(jié)果對比
最后,將2個算法所得的最優(yōu)解與加工成本的理論下限進行對比,如圖2所示。本文算法在不同加工例子中所得最優(yōu)解均小于分布估計算法,非常接近理論下限,僅差4.9%,進一步優(yōu)化的空間已經(jīng)很小。優(yōu)化的切削參數(shù)見表3。以上實驗結(jié)果表明,ACO-EAS算法能找到優(yōu)化的切削參數(shù)集,有效地降低加工成本。
圖2 算法最優(yōu)解與加工成本理論下限的對比(算法1為本文算法;算法2為分布估計算法)
表3 優(yōu)化的切削參數(shù)
為研究雙刀并行車削加工中的切削參數(shù)優(yōu)化問題,建立了雙刀并行車削的參數(shù)優(yōu)化模型,把蟻群算法與子問題枚舉算法相結(jié)合,提出了ACOEAS混合優(yōu)化算法。模擬實驗結(jié)果表明:ACOEAS算法具有較強的搜索能力、較高的運算效率,能快速找到優(yōu)化的車削參數(shù),以降低加工成本。此外,提出了雙刀并行車削的加工成本理論下限的計算方法,通過該方法算出的理論下限有助于提高算法的性能。
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