混合型加減速前瞻規(guī)劃的多節(jié)NURBS曲線插補(bǔ)策略

王麗梅 劉 瑞

沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，沈陽(yáng)，110870

0 引言

現(xiàn)代數(shù)控機(jī)床正在向高速高精密方向發(fā)展，數(shù)控插補(bǔ)技術(shù)是數(shù)控系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)軌跡運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)，其算法是CNC系統(tǒng)軟件實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制的核心內(nèi)容，插補(bǔ)算法的優(yōu)劣直接影響到CNC系統(tǒng)的性能，因此實(shí)現(xiàn)一種高精度和高速度的插補(bǔ)方法是插補(bǔ)的關(guān)鍵所在。與傳統(tǒng)的直線圓弧插補(bǔ)方法相比，NURBS曲線插補(bǔ)提供了一種通用的數(shù)學(xué)表示形式，它既可以表示標(biāo)準(zhǔn)的解析曲線，也可以表示自由曲線。NURBS插補(bǔ)方法以其快速性及穩(wěn)定的計(jì)算能力而被普遍采用［1－2］。先進(jìn)制造業(yè)的發(fā)展對(duì)數(shù)控加工的精度和速度要求越來(lái)越高。提高加工精度的途徑很多，從數(shù)控系統(tǒng)的控制角度看，要實(shí)現(xiàn)高速加工，必須采用加減速控制［3］。文獻(xiàn)［4］根據(jù)柔性加減速算法函數(shù)的構(gòu)造原理，提出了三角函數(shù)加減速算法和多項(xiàng)式加減速算法，但是由于其情況多樣，所以導(dǎo)致加工不夠平滑。文獻(xiàn)［5］研究了易實(shí)現(xiàn)控制的S曲線加減速算法，但其需要預(yù)測(cè)各段的邊界點(diǎn)，然后再逐一進(jìn)行比較，需要對(duì)加減速過(guò)程進(jìn)行修正。文獻(xiàn)［6］研究了基于NURBS曲線的插補(bǔ)前拋物線－直線－拋物線的S形加減速自適應(yīng)控制方法，將高速加工中容易超限的弓高誤差、機(jī)床所承受的加速度等參數(shù)均考慮在內(nèi)，合理地解決了插補(bǔ)前加減速控制中的減速點(diǎn)預(yù)測(cè)困難的問(wèn)題，但仍避免不了減速點(diǎn)的預(yù)測(cè)問(wèn)題。

另外，CNC中的速度前瞻處理可以在不影響插補(bǔ)軌跡精度的前提下極大地提高插補(bǔ)效率［7－8］。因此，很多學(xué)者致力于前瞻算法的研究，文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)了一種基于動(dòng)態(tài)前瞻的預(yù)測(cè)S曲線減速點(diǎn)的方法，解決了傳統(tǒng)計(jì)算減速點(diǎn)存在的誤差問(wèn)題。文獻(xiàn)［10］針對(duì)參數(shù)曲線插補(bǔ)的特點(diǎn)，使用S形加減速和三角函數(shù)加減速相結(jié)合的柔性加減速方法對(duì)參數(shù)曲線的插補(bǔ)路徑進(jìn)行前瞻控制。文獻(xiàn)［11］提出了基于前瞻控制技術(shù)的誤差補(bǔ)償新方法。文獻(xiàn)［12］針對(duì)基于小線段高速、高精度數(shù)控加工路徑，提出并實(shí)現(xiàn)了一種具有速度前瞻功能的非對(duì)稱S曲線加減速規(guī)劃策略。以上提出的前瞻方法歸結(jié)起來(lái)，無(wú)非是兩種方法：一為傳統(tǒng)的規(guī)劃方法，它可以縮短加工時(shí)間，但是在轉(zhuǎn)角或曲率較大的地方會(huì)造成機(jī)臺(tái)的急速轉(zhuǎn)彎，在實(shí)現(xiàn)上不可行；二為直接數(shù)字卷積法，它可以降低轉(zhuǎn)角誤差現(xiàn)象，但此方法的加工時(shí)間過(guò)于冗長(zhǎng)，會(huì)造成加工效率的降低。

由此，本文避免了傳統(tǒng)前瞻方法和直接數(shù)字卷積法的缺點(diǎn)，充分結(jié)合了兩者之優(yōu)點(diǎn)，并配以前加減速規(guī)劃的優(yōu)勢(shì)而采用混合式數(shù)字卷積法來(lái)解決這些問(wèn)題，凸輪NURBS曲線的仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該策略的有效性。

1 NURBS曲線插補(bǔ)

1.1 NURBS曲線的參數(shù)表示

二維參數(shù)曲線的總體形式可以表示為

1.2 NC碼與插補(bǔ)值命令之間的轉(zhuǎn)換

下面是一段NURBS G code格式的代碼：

其中，P為NURBS曲線的級(jí)數(shù)，X、Y、Z為控制點(diǎn)坐標(biāo)，R為權(quán)重，K為節(jié)點(diǎn)向量，F(xiàn)為進(jìn)給率。該代碼以G05P10000為開(kāi)始高精度輪廓控制模式，G05P0則為結(jié)束命令，而 G06.2為開(kāi)始NURBS插值模式指令。由于直接由直譯器讀入NURBS曲線的NC碼提供了插補(bǔ)的完整資料—控制點(diǎn)、權(quán)重及節(jié)點(diǎn)向量，因此可以直接作為進(jìn)入插補(bǔ)器的參數(shù)，不需要轉(zhuǎn)換。

2 多節(jié)前瞻前加減速規(guī)劃

2.1 加減速規(guī)劃

加減速規(guī)劃分為前加減速與后加減速控制，前者對(duì)于插補(bǔ)器來(lái)說(shuō)，因?yàn)樵诓逖a(bǔ)之前就已經(jīng)將速度命令進(jìn)行規(guī)劃的動(dòng)作，因此在插補(bǔ)器執(zhí)行插補(bǔ)時(shí)，不會(huì)有路徑誤差產(chǎn)生，所以前加減速的誤差只會(huì)在命令進(jìn)入到伺服回路后產(chǎn)生，即伺服落后的問(wèn)題。后者在讀入直譯器的進(jìn)給率后，直接進(jìn)入插補(bǔ)器進(jìn)行插補(bǔ)，之后再將插補(bǔ)器所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)命令進(jìn)行速度曲線的規(guī)劃動(dòng)作，會(huì)造成插補(bǔ)命令延遲，因此造成路徑誤差的產(chǎn)生，在進(jìn)行圓軌跡跟蹤時(shí)此現(xiàn)象最為明顯，會(huì)產(chǎn)生圓半徑內(nèi)縮的現(xiàn)象。因此本文采用前加減速規(guī)劃。

式（3）只需用到加法與除法的反復(fù)運(yùn)算，因此在硬件實(shí)現(xiàn)上可大大減少計(jì)算機(jī)的實(shí)時(shí)計(jì)算量。

圖1 數(shù)字卷積

圖2為一固定進(jìn)給率及一次和二次數(shù)字卷積的圖形，其輸入速度命令可由直譯器讀入其起點(diǎn)與終點(diǎn)位置，算出總長(zhǎng)后再與所設(shè)定的進(jìn)給率相除來(lái)得到總時(shí)間nts。為了要使速度曲線能夠有更平滑的效果（即產(chǎn)生S速度曲線），可進(jìn)行兩次數(shù)字卷積動(dòng)作，但要如何才能達(dá)到最大速度且減少整個(gè)行程的時(shí)間，取決于第二次數(shù)字卷積的H2函數(shù)的選擇，為了保有其第二次數(shù)字卷積后的圖形能達(dá)到最大速度，因此H2函數(shù)的時(shí)間n2ts必須比n1ts的時(shí)間短，若比n2ts時(shí)間長(zhǎng)，則會(huì)出現(xiàn)速度明顯達(dá)不到直譯器直譯出來(lái)的進(jìn)給率，導(dǎo)致加工效率降低，因此命令數(shù)字卷積函數(shù)最后選擇n1＞n2的個(gè)數(shù)才能規(guī)劃出有效的命令。

圖2 二次數(shù)字卷積

2.2 多節(jié)前瞻前加減速

多節(jié)前瞻前加減速分為兩種：一為傳統(tǒng)的規(guī)劃方法，在命令送至插補(bǔ)器之前，以預(yù)讀多個(gè)單節(jié)的方式求出總長(zhǎng)，重新規(guī)劃命令，但維持總長(zhǎng)不變，依最大速度進(jìn)行規(guī)劃，由于有事先預(yù)讀的動(dòng)作，所以可以縮短加工時(shí)間，再配合前加減速的架構(gòu)，也不會(huì)使其有輪廓誤差產(chǎn)生，再將經(jīng)過(guò)規(guī)劃的各段速度曲線送至插補(bǔ)器進(jìn)行插值動(dòng)作，以完成前瞻的加減速；二為直接數(shù)字卷積法，當(dāng)讀入多個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，將各個(gè)單節(jié)做一次數(shù)字卷積，再將命令重新組合后，各個(gè)單節(jié)將會(huì)有不連續(xù)的速度曲線產(chǎn)生，因此只需將此速度曲線再進(jìn)行一次數(shù)字卷積動(dòng)作即可得到一平滑的速度曲線。

本文提出的混合式數(shù)字卷積法不僅改善了傳統(tǒng)前瞻方法在轉(zhuǎn)角或曲率較大的地方仍然以最大速度進(jìn)行加工而造成刀具或機(jī)臺(tái)在急速情況下的轉(zhuǎn)彎，而需在各單節(jié)與轉(zhuǎn)角處的進(jìn)給率進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié)的狀況，而且解決了直接數(shù)字卷積方法中加工時(shí)間過(guò)于冗長(zhǎng)而導(dǎo)致加工效率降低的問(wèn)題。如圖3所示，此方法將預(yù)讀多節(jié)的命令重新以最大速度進(jìn)行規(guī)劃，再分別對(duì)各段進(jìn)行一次數(shù)字卷積動(dòng)作，重新組合命令，如此每段均以最大的進(jìn)給率進(jìn)行加工，然后通過(guò)對(duì)此規(guī)劃好的命令對(duì)整段再進(jìn)行一次數(shù)字卷積動(dòng)作，即可得到圖3所示最終速度曲線。由圖3可知，不但可借由此法來(lái)縮短加工時(shí)間，也可使機(jī)臺(tái)在每一個(gè)單節(jié)不需停止即可進(jìn)行下一單節(jié)的加工，這是此方法的優(yōu)點(diǎn)所在。

圖3 混合式數(shù)字卷積前瞻命令重新規(guī)劃

3 仿真結(jié)果及分析

本文將通過(guò)一條四分段的NURBS曲線插補(bǔ)規(guī)劃來(lái)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

首先進(jìn)行NURBS前加減速與后加減速的速度規(guī)劃與輪廓曲線比較。圖4與圖5分別為凸輪曲線后加減速及前加減速的速度曲線圖?？梢钥闯?，在每段直線部分兩者的速度曲線均相同，然而每當(dāng)有圓弧曲線出現(xiàn)時(shí)，后加減速的速度便會(huì)降低，這也是圓內(nèi)縮現(xiàn)象發(fā)生的主要原因所在。由這兩圖比較可知，在相同的進(jìn)給率下，后加減速存在著圓內(nèi)縮與曲線內(nèi)縮的問(wèn)題，因此采用的前加減速在CNC運(yùn)動(dòng)控制器上較為可行。

圖4 后加減速插補(bǔ)速度規(guī)劃圖

圖5 前加減速插補(bǔ)的速度規(guī)劃圖

然后對(duì)前瞻規(guī)劃與未前瞻規(guī)劃進(jìn)行比較。上述前后加減速計(jì)算均是針對(duì)每一個(gè)單節(jié)所進(jìn)行的速度命令規(guī)劃，再對(duì)提出的前瞻方法進(jìn)行驗(yàn)證來(lái)證明此法的優(yōu)勢(shì)所在。本文待加工的凸輪曲線由四段NURBS曲線組成，因此必須先得知總長(zhǎng)后再將命令重新進(jìn)行規(guī)劃。采用辛普森法來(lái)求得路徑總長(zhǎng)，傳統(tǒng)規(guī)劃方法的結(jié)果如圖6、圖7所示，該曲線為原先進(jìn)給率命令以及經(jīng)過(guò)前瞻預(yù)覽處理后的速度曲線，可以看出，經(jīng)過(guò)前瞻后，縮短了速度命令時(shí)間，但可看出在起點(diǎn)及終點(diǎn)附近的速度較慢。

圖6 后加減速的NURBS凸輪曲線

圖7 前加減速的NURBS凸輪曲線

最后對(duì)多節(jié)NURBS曲線的三種前瞻方法的速度規(guī)劃與輪廓曲線結(jié)果進(jìn)行比較。

圖8為將NURBS凸輪曲線進(jìn)行傳統(tǒng)的前瞻規(guī)劃后與指令曲線的比較圖，由此可知，只要事先知道總長(zhǎng)即可重新規(guī)劃速度命令。圖9為其凸輪曲線圖，可看出在起點(diǎn)及終點(diǎn)處點(diǎn)比較密集，說(shuō)明有加減速的效果出現(xiàn)。

圖8 傳統(tǒng)前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖9 傳統(tǒng)前瞻前加減速NURBS凸輪輪廓

圖10、圖11分別為NURBS圖形的速度分配及路徑圖，經(jīng)過(guò)前瞻后的速度曲線圖，其時(shí)間比原來(lái)落后很多，但是在其轉(zhuǎn)角或急彎處有降低速度的效果產(chǎn)生，所以降低了轉(zhuǎn)角誤差，在各單節(jié)連接時(shí)也有速度減慢的效果。且可從圖10看出，直接數(shù)字卷積法雖然可以降低連接處的進(jìn)給率，但是卻大幅度地增加整個(gè)加工時(shí)間。在路徑圖中，在每個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)處，可發(fā)現(xiàn)點(diǎn)比較密集，這表明了速度的降低。

圖10 直接數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖11 直接數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪軌跡

本文提出的以混合式數(shù)字卷積法結(jié)果如圖12和圖13所示，兩圖分別為NURBS圖形的速度分配及路徑圖，可以看出經(jīng)過(guò)前瞻后的速度曲線圖的時(shí)間比直接數(shù)字卷積法規(guī)劃后縮短許多，且其在轉(zhuǎn)角或急彎處有降低速度的效果產(chǎn)生，故可降低其轉(zhuǎn)角誤差，圖13所示的路徑中，每在轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)均可發(fā)現(xiàn)有加減速的效果。

圖12 混合式數(shù)字卷積法前瞻前加減速NURBS凸輪速度曲線

圖13 混合式數(shù)字卷積法的前瞻前加減速NURBS凸輪輪廓

對(duì)比上述兩種方法的速度曲線圖和凸輪輪廓圖可以看出，混合式方法在整體路徑圖上的4個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)亦可看出其加減速效果，故混合式的數(shù)字卷積法兼具傳統(tǒng)及直接數(shù)字卷積法的優(yōu)點(diǎn)，為可行的前瞻方法，進(jìn)而可以兼顧時(shí)間與單節(jié)連接處的加工表面品質(zhì)。

4 結(jié)語(yǔ)

在速度命令規(guī)劃方面，本文分別針對(duì)前加減速和后加減速來(lái)進(jìn)行探討，并推導(dǎo)出進(jìn)行二次數(shù)字卷積的限制條件。在前加減速的規(guī)劃方面，加入了多節(jié)前瞻的功能，以三種不同速度命令規(guī)劃方式進(jìn)行了比較。傳統(tǒng)前瞻方法加工時(shí)間短，但在轉(zhuǎn)折點(diǎn)時(shí)速度過(guò)快；直接數(shù)字卷積法雖然能在轉(zhuǎn)角處降低速度，但是加工時(shí)間過(guò)長(zhǎng)；本文采用的混合前瞻前加減速方法有效結(jié)合了傳統(tǒng)前瞻方法和直接卷積方法的優(yōu)點(diǎn)，使得插補(bǔ)的柔性和連續(xù)性得以提高。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的混合型加減速前瞻規(guī)劃策略不僅可以降低加工時(shí)間，也能在轉(zhuǎn)角處有降低速度的效果。

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