錐形永磁軸承磁力解析模型

田錄林 李 鵬

1.西安理工大學(xué)，西安，710048 2.甘肅省電力公司電力科學(xué)研究院，蘭州，730050

0 引言

要滿足國家裝備制造業(yè)對所亟需的精密機(jī)床、飛輪儲能裝置、風(fēng)力發(fā)電機(jī)等重大裝備關(guān)鍵零部件、高性能軸承的巨大需求，要實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械節(jié)能、高效高速可靠運(yùn)轉(zhuǎn)，必須解決高速轉(zhuǎn)子的支承問題。機(jī)械軸承有接觸、需潤滑，限制了它的最高轉(zhuǎn)速和使用壽命，已成為傳統(tǒng)驅(qū)動高速化的瓶頸。磁懸浮軸承無摩擦，可以解決上述問題。但電磁懸浮軸承耗能、控制復(fù)雜［1］，超導(dǎo)磁懸浮軸承需要制冷設(shè)備［2－3］，這限制了它們的應(yīng)用，而永磁軸承具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低、無摩擦、無能耗、無污染等特點(diǎn)，具有明顯的競爭優(yōu)勢。永磁軸承有不同的結(jié)構(gòu)形式，相對于其他形式的永磁軸承，錐形永磁軸承具有同時承受徑向和軸向載荷的優(yōu)點(diǎn)，國內(nèi)外一些學(xué)者對錐形永磁軸承進(jìn)行了研究，取得了一些進(jìn)展。Hamler［4］提出了錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)，并采用有限元方法對其進(jìn)行了仿真研究；Compter［5］根據(jù)電流模型得出三角形和梯形永磁體磁路模型，推導(dǎo)出磁化方向不同時的磁路計(jì)算方程；Bassani等［6］依據(jù)等效電流方法，研究分析了錐形永磁軸承磁化方向?qū)Υ帕Υ笮〉挠绊?。但上述研究尚未涉及錐形永磁軸承磁力解析模型的研究。本文針對上述研究的不足和空隙，基于點(diǎn)磁荷二維磁場和虛功原理［7－8］推導(dǎo)出一對平行矩形截面永磁體的磁力解析模型，并結(jié)合錐形永磁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了具有明確參數(shù)關(guān)系、便于錐形永磁軸承設(shè)計(jì)的磁力解析模型。該模型通過分析錐形永磁軸承磁力與相關(guān)參量的關(guān)系，揭示了錐形永磁軸承的動力學(xué)特性及規(guī)律。ANSYS仿真表明本文模型正確可行，其誤差能夠滿足工程應(yīng)用的要求。

1 錐形永磁軸承磁力解析模型

錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)剖面如圖1所示［9］，該軸承結(jié)構(gòu)用于承載轉(zhuǎn)軸軸向和徑向載荷。

圖1 錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖

為方便建立錐形永磁軸承磁力解析模型，忽略錐形永磁軸承曲率的影響，先研究一對縱向長度為L的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型，然后再考慮錐形永磁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究其軸向及徑向分力。

1.1 一對縱向長度為L的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型

兩長直細(xì)條形永磁體，一塊過P點(diǎn)與Y軸重合，一塊過M點(diǎn)與X軸平行，如圖2所示?；邳c(diǎn)磁荷二維磁場和虛功原理，可得單位長度的兩長直細(xì)條形永磁體之間的磁力［10］為

式中，J1、J2分別為永磁體磁極化強(qiáng)度矢量，其在Y 軸方向的分量為0，其量值分別等于永磁體剩磁感應(yīng)強(qiáng)度Br1和Br2；μ0為空氣磁導(dǎo)率，μ0＝0.4πμH／m；rPM為同一橫截面內(nèi)兩長條形永磁體兩微元面ds1和ds2間的距離；β1、β2分別為J1和J2與X軸方向的夾角；θ為rPM與X軸正方向的夾角。

圖2 兩長直細(xì)條形平行永磁體的參數(shù)

縱向長度為L的一對平行矩形截面永磁體如圖3所示，箭頭為磁化矢量方向［11-12］，圖中a為矩形截面長度，b、d分別為內(nèi)外磁環(huán)厚度。

當(dāng)β1＝π，β2＝π時，則β1＋β2＝2π，對式（1）積分可得

圖3 兩塊平行截面永磁體參數(shù)示意圖

將式（4）代入式（3）化簡積分得

對式（2）積分，可得長度為L的兩塊平行矩形截面永磁體X向磁力：

將式（8）代入式（7）化簡積分可得

式（5）和式（9）即為一對縱向長度為L的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型，式中磁力單位為N，長度單位為mm。

1.2 錐形永磁軸承的軸向磁力和徑向磁力

錐形永磁軸承可視為由兩塊平行矩形截面永磁體以一定傾角環(huán)繞轉(zhuǎn)軸軸線而繞成，可取磁環(huán)間隙中間處周長為式（5）和式（9）的縱向近視長度，其軸向及徑向分力是式（5）和式（9）計(jì)算磁力在軸向及徑向的分力。

1.2.1軸向磁力

設(shè)錐形永磁軸承傾角為α，其剖面參數(shù)如圖4所示，點(diǎn)P、Q、R、S分別為錐形軸承剖面末端點(diǎn)，設(shè)圖中P點(diǎn)坐標(biāo)為（w1，v1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（w2，v2），R 點(diǎn)坐標(biāo)為（w3，v3），S 點(diǎn)坐標(biāo)為（w4，v4）。由圖4可得

圖4 錐形永磁軸承軸向剖面圖

當(dāng)錐形永磁軸承承受軸向載荷時，其軸向磁力解析表達(dá)式為

1.2.2徑向磁力

圖5為錐形永磁軸承徑向偏移e時的剖面圖，圖中的R1、R2分別表示軸承底部剖面內(nèi)環(huán)外半徑和外環(huán)內(nèi)半徑，且其R1＝｜0.5（w2－w4）｜，R2＝｜0.5（w1－w3）｜。為了利用式（4）、式（5）和式（9）分析圖5徑向偏移e時的錐形永磁軸承徑向磁力，將錐形永磁軸承分為對稱的N（N ＝8）段［13］，其各段徑向偏移間隙可表示為

圖5 錐形永磁軸承徑向剖面參數(shù)

設(shè)錐形永磁軸承內(nèi)外磁環(huán)厚度相等，即b＝d，錐角為α，單個磁環(huán)沿錐角為α方向的長度為a（圖3～圖5），按截面等分原則確定錐形永磁軸承平均磁環(huán)周長，設(shè)磁環(huán)平均周長對應(yīng)的平均半徑為Rj，則

錐形永磁軸承的近似周長為L＝2πRj。由于磁環(huán)間徑向間隙很小，在忽略錐形永磁軸承曲率的情況下，可得圖5中的每段平均弧長Lx為錐形永磁軸承近似周長L的1／N。將hx、Lx代入式（5）和式（9）中，近似計(jì)算各段中點(diǎn)對應(yīng)的徑向磁力和切向磁力，再將以上磁力分別沿徑向（w方向）分解，最后將8段的徑向磁力疊加可得錐形永磁軸承徑向總磁力，即

由于圖5以w軸為對稱軸，顯然m方向磁力為零。

2 磁力解析模型的ANSYS仿真驗(yàn)證及參數(shù)分析［14-18］

本文計(jì)算分析選用稀土NdFeB作為永磁軸承材 料，其 性 能 參 數(shù) 為：Br＝ 1.13T，Hc＝800kA／m，μr＝Br／（μ0Hc）＝1.124。

2.1 解析模型的錐形永磁軸承軸向磁力與軸向偏移的仿真驗(yàn)證及參數(shù)分析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：b＝d＝15mm，a＝30mm，α＝30°，嵌套軸半徑為rg＝21mm，軸承底部4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P（54.48mm，12.99mm），Q（54.98mm，13.87mm），R（－54.48mm， 12.99mm），S（－54.98mm，13.87mm）。

錐形永磁軸承僅有軸向偏移時，將相關(guān)參數(shù)代入式（5）、式（9）～ 式（13）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖6所示，圖表中的Fvj為軸承軸向磁力解析模型計(jì)算值，F(xiàn)vf為軸承軸向磁力ANSYS仿真值。計(jì)算值與仿真值的最大誤差為4%，最小誤差為0.36%，平均誤差為0.74%。由表1、圖6可以看出，錐形永磁軸承軸向磁力隨軸向偏移的增大而減小。

表1 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖6 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

在ANSYS仿真中，用PLANE53單元建立永磁軸承軸對稱模型。圖7所示為錐形永磁軸承ANSYS仿真二維磁力線。

圖7 ANSYS仿真二維磁力線圖

2.2 錐形永磁軸承軸向磁力與磁環(huán)厚度的關(guān)系

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，α＝30°，rg＝21mm。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（8）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承的磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表2所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖8所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為3.59%，最小誤差為0.16%，平均誤差為1.56%。由表2和圖8可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨磁環(huán)厚度b的增大而增大。

表2 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖8 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

2.3 錐形永磁軸承軸向磁力與磁環(huán)沿錐角為α方向的長度a的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：b＝d＝15mm，α＝30°。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9）進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表3所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖9所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為0.12%，平均誤差為1.54%。由表3和圖9可以看出：在小范圍內(nèi)錐形永磁軸承軸向磁力隨單個磁環(huán)沿錐角為α方向的長度a的增大而增大。

表3 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

2.4 錐形永磁軸承軸向磁力與其錐角α的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算所得結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和AN－SYS仿真結(jié)果如表4所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖10所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為9.8%，最小誤差為1.94%，平均誤差為3.59%。由表4和圖10可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨其錐角α的增大而減小。

圖9 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

表4 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖10 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

2.5 錐形永磁軸承軸向磁力與嵌套軸半徑γg的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9），然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表5所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖11所示。計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為6.79%，最小誤差為0.12%，平均誤差為2.27%。由表5和圖11可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨嵌套軸半徑rg的增大而增大。

表5 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

2.6 錐形永磁軸承徑向磁力與其徑向偏移量e的關(guān)系闡析

圖11 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°，將相關(guān)參數(shù)代入式（5）、式（9）、式（12）和式（14）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（15）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承徑向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表6所示，其對應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖12所示。計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為11.1%，最小誤差為1.7%，平均誤差為2.6%。由表6和圖12可以看出：錐形永磁軸承徑向磁力隨徑向偏移量e的增大而增大。

表6 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖12 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

本文數(shù)據(jù)誤差產(chǎn)生的主要原因是：計(jì)算值中，磁環(huán)平均周長對應(yīng)的平均半徑Rj存在計(jì)算誤差；另外，在ANSYS仿真計(jì)算中磁體結(jié)構(gòu)建模時也存在誤差。

3 結(jié)論

本文建立了錐形永磁軸承磁力解析模型，分析了圓錐形永磁軸承軸向承載力與其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)果表明：圓錐形永磁軸承磁力與磁環(huán)的平均周長和磁環(huán)磁通密度的平方成正比，磁力隨著磁環(huán)徑向?qū)挾鹊脑龃蠖龃?，隨磁環(huán)截面長度的增大而增大；軸向磁力隨磁環(huán)錐角的增大而減小，隨軸向偏移的增大而減??；徑向磁力隨著徑向間隙的增大而增大。解析模型計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果基本一致，最大誤差小于11.1%。本文解析模型計(jì)算方法的成功應(yīng)用，解決了長期以來錐形永磁軸承磁力計(jì)算只有復(fù)雜的數(shù)值仿真算法，而沒有便于工程設(shè)計(jì)計(jì)算的磁力解析模型問題。

［1］田擁勝，孫巖樺，虞烈.高速永磁電機(jī)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)及實(shí)驗(yàn)研究［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2012，32（9）：116－123.Tian Yongshen，Sun Yanhua，Yu Lie.Dynamical and Experimental Researches of Active Magnetic Bearing Rotor Systems for High－speed PM Machines［J］.Proceedings of the CSEE，2012，32（9）：116－123.

［2］Ikeda M，Wongsatanawarid A，Seki H，et al.Interaction of Bulk Superconductors with Flywheel Rings Made of Multiple Permanent Magnets［J］.Physica C，2009，469：1270－1273.

［3］Deng Z，Lin Q，Wang J，et al.Basic Design and Characteristics Study of a Double－axial Superconducting Magnetic Bearing System［J］.Cryogenics，2009，49：259－262.

［4］Hamler A.Passive Magnetic Bearing［J］.Journal of Magnetism and Magnetic Materials，2004（272／276）：2379－2380.

［5］Compter J C.Ampere’s Circuital 3－D Model for Noncuboidal Magnets［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2010，46（12）：4009－4015.

［6］Bassani R，Ciulli E，di Puccio F，et al.Study of Conic Permanent Magnet Bearings［J］.Meccanica，2001，36：745－754.

［7］馮慈章.電磁場［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［8］王秀和.永磁電機(jī)［M］.北京：中國電力出版社，2007.

［9］胡業(yè)發(fā)，許開國，張錦光，等.磁懸浮風(fēng)力發(fā)電機(jī)用磁力軸承的分析與設(shè)計(jì)［J］.軸承，2008（9）：6－10.Hu Yefa，Xu Kaiguo，Zhang Jinguang，et al.Analysis and Design of Magnetic Bearings Used in Magnetic Suspending Wind Power Generator［J］.Bearing，2008（9）：6－10.

［10］田錄林，李言，安源，等.軸向放置軸向磁化的雙環(huán)永磁軸承徑向磁力研究［J］.中國機(jī)械工程，2007，18（24）：2926－2929.Tian Lulin，Li Yan，An Yuan，et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Bi－annular－shaped PMB［J］.China Mechanical Engineering，2007，18（24）：2926－2929.

［11］田錄林，張靠社，楊曉萍，等.永磁導(dǎo)軌懸浮和導(dǎo)向磁力研究［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2008，28（21）：135－139.Tian Lulin，Zhang Kaoshe，Yang Xiaopin，et al.Research on the Axial Magnetic Force of Axially Magnetized Bi－annular－shaped Permanent Magnetic Bearings［J］.Proceedings of the CSEE，2008，28（21）：135－139.

［12］田錄林，賈嶸，楊國清，等.永磁鐵切合體的磁場及磁力［J］.電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2008，23（6）：7－13.Tian Lulin，Jia Rong，Yang Guoqing，et al.Research on the Magnetic Field and Magnetic Force of a Permanent Magnet Affixed to a Plane Magnetizer［J］.Transactions of China Electrotechnical Society，2008，23（6）：7－13.

［13］田錄林，李言，田琦，等.軸向放置的軸向磁化多環(huán)永磁軸承徑向磁力研究［J］.中國機(jī)械工程，2008，19（10）：1163－1166.Tian Lullin，Li Yan，Tian Qi，et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Multiannual－shaped Permanent Magnetic Bearings［J］.China Mechanical Engineering，2008，19（10）：1163－1166.

［14］唐輝.被動磁懸浮軸承及電渦流傳感器的研究［D］.西安：西安交通大學(xué)，2003.

［15］崔鵬，張錕，李杰.基于許－克變換的懸浮電磁鐵力與轉(zhuǎn)矩解析計(jì)算［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30（24）：129－134.Cui Peng，Zhang Kun，Li Jie.Calculation of Electromagnetic Force and Torque of Suspension Electromagnet Based on Schwarz－christoffel Transform［J］.Proceedings of the CSEE，2010，30（24）：129－134.

［16］Bassani R.Dynamic Stability of Passive Magnetic Bearings［J］.Nonlinear Dyn，2007，50：161－168.

［17］李麗君，房建成，韓邦成，等.磁懸浮風(fēng)力發(fā)電機(jī)用錐形被動磁軸承分析與設(shè)計(jì)［J］.軸承，2010（1）：10－14.Li Lijun，F(xiàn)ang Jiancheng，Han Bangcheng，et al.Analysis and Design of Conic Passive Magnetic Bearing for Magnetic Suspension Wind Turbine［J］.Bearing，2010（1）：10－14.

［18］Azukizawa T，Yamamoto S，Matsuo N.Feasibility Study of a Passive Magnetic Bearing Using the Ring Shaped Permanent Magnets［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2008，44（11）：4277－4280.