數(shù)學(xué)建模思想融入高等代數(shù)課程教學(xué)探究

田元生

(湘南學(xué)院數(shù)學(xué)系,湖南郴州423000)

高等代數(shù)課程是大學(xué)本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)和信息與計(jì)算科學(xué)等專業(yè)的最重要的基礎(chǔ)課程之一。該課程的內(nèi)容抽象程度高，邏輯性強(qiáng)，且現(xiàn)行教材例題太少，理論聯(lián)系實(shí)際不足，學(xué)生普遍反映難學(xué)。將數(shù)學(xué)建模思想融入高等代數(shù)課程教學(xué)中，既能彌補(bǔ)教材中例題太少，理論聯(lián)系實(shí)際不足的現(xiàn)象，又能將抽象的內(nèi)容具體化，幫助學(xué)生更深刻地理解該課程的內(nèi)容，以達(dá)到提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。

一、概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

筆者認(rèn)為高等代數(shù)課程難學(xué)的原因之一就是概念抽象，學(xué)生很難理解。如教師在講解線性變換的值域與核以及向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)等概念時(shí)，學(xué)生很難抓住概念本質(zhì)，搞不清這些概念的內(nèi)涵與外延。教師在講授這些概念時(shí)，應(yīng)盡量向?qū)W生講清楚概念形成過程及應(yīng)用，在實(shí)際問題中找到概念的原型。在高等代數(shù)課程概念教學(xué)中，每引入一個(gè)新概念，教師都應(yīng)盡量做到講解一個(gè)刺激學(xué)生學(xué)習(xí)欲的實(shí)例，說明該內(nèi)容的應(yīng)用性，展現(xiàn)從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，通過數(shù)學(xué)模型的建立，引入數(shù)學(xué)概念，從中也使學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的方法。事實(shí)上，高等代數(shù)課程很多概念的形成中本身就滲透著數(shù)學(xué)建模思想，因此，在這些概念的引入時(shí)，融入數(shù)學(xué)建模過程是完全可行的。如在導(dǎo)出n級(jí)行列式的概念時(shí)，我們?cè)O(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：實(shí)際問題：(1)二級(jí)、三級(jí)行列式的展開式中各有多少項(xiàng)？有多少項(xiàng)帶正號(hào)？有多少項(xiàng)帶負(fù)號(hào)？(2)展開式中每項(xiàng)是多少個(gè)元素的乘積？這些元素位于行列式的哪些行？哪些列？(3)展開式中每項(xiàng)的符號(hào)如何確定？問題提出后引導(dǎo)學(xué)生建立n級(jí)行列式模型。先看問題(1)，二級(jí)行列式共有2!項(xiàng)，三級(jí)行列式共有3!項(xiàng)，且正、負(fù)項(xiàng)都是各占一半。由此推斷n級(jí)行列式應(yīng)有n!項(xiàng)，且正、負(fù)項(xiàng)各占一半，各為n!/2項(xiàng)。再看問題(2)，二級(jí)行列式每項(xiàng)含有二個(gè)元素，三級(jí)行列式每項(xiàng)含有三個(gè)元素，且每項(xiàng)元素都位于行列式的不同行和不同列。由此推斷，n級(jí)行列式每項(xiàng)是由位于不同行和不同列的n個(gè)元素的乘積構(gòu)成的。再看問題(3)，在二級(jí)、三級(jí)行列式的展開式中，把行碼按自然排列，讓學(xué)生自己觀察分析可得，列碼為偶排列的項(xiàng)帶正號(hào)，列碼為奇排列的項(xiàng)帶負(fù)號(hào)。由此推斷，n級(jí)行列式中如果行碼按自然排列，則列碼為偶排列的項(xiàng)帶正號(hào)，列碼為奇排列的項(xiàng)帶負(fù)號(hào)，從而抽象出n級(jí)行列式的概念。

二、定理、公式教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

在高等代數(shù)定理和公式教學(xué)中，以往我們更多地是采用“滿堂灌”的教學(xué)模式，只要求學(xué)生背誦定理和公式的結(jié)論，學(xué)生并沒有真正熟練地掌握所學(xué)的定理和公式，只會(huì)盲目地機(jī)械地去套用。長此下去，無論學(xué)生多么用功，但對(duì)數(shù)學(xué)問題根本不可能進(jìn)行深入的思考和探究，更不可能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新精神。因此，在定理、公式課的教學(xué)中，我們不單是讓學(xué)生知道和了解定理和公式本身，更重要的是讓學(xué)生理解定理、公式的探索、產(chǎn)生過程，以達(dá)到提高學(xué)生邏輯思維能力和分析與解決問題的能力。這就要求我們?cè)诟叩却鷶?shù)定理和公式的中，注意融入數(shù)學(xué)建模思想，應(yīng)盡量講清楚定理、公式的來龍去脈，使學(xué)生了解定理、公式在高等代數(shù)課程中的地位和作用，深刻理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。例如在講解復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理時(shí)，我們?cè)O(shè)計(jì)如下教學(xué)過程：實(shí)際問題：(1)為什么要研究復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解？(2)復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理的理論基礎(chǔ)是什么？由它如何推得到相應(yīng)的定理？(3)復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理與多項(xiàng)式的根有什么關(guān)系？問題提出后引導(dǎo)學(xué)生自己歸納、總結(jié)出復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理?？磫栴}(1)，我們知道了一般數(shù)域P上的多項(xiàng)式因式分解定理，而復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)際應(yīng)用中是最廣泛的，因此，我們很有必要研究復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解。再看問題(2)，復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理的理論基礎(chǔ)是代數(shù)基本定理，代數(shù)基本定理實(shí)質(zhì)是每個(gè)次數(shù)≥1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式，而實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根是成雙出現(xiàn)的，從而可推得復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理。再看問題(3)，由復(fù)系數(shù)和實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理，我們有結(jié)論：n次多項(xiàng)式一定有個(gè)n復(fù)根，奇數(shù)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式至少有一實(shí)根。

三、例題講解過程中融入數(shù)學(xué)建模思想

高等代數(shù)課程內(nèi)容抽象、理論性強(qiáng)，多數(shù)現(xiàn)行的高等代數(shù)教材實(shí)例太少，理論聯(lián)系實(shí)際不夠，學(xué)生普遍覺得這門課程特別枯燥、難學(xué)且不知所學(xué)知識(shí)有何用途。為了彌補(bǔ)現(xiàn)行高等代數(shù)教材的不足，在教學(xué)過程中我們要有意識(shí)地補(bǔ)充一些例子，并且在講解這些例子的過程中注意融入數(shù)學(xué)建模思想。通過這些例子的講解，用實(shí)際問題讓學(xué)生分析，觀察問題特點(diǎn)，并應(yīng)用代數(shù)知識(shí)解決相關(guān)問題，這樣既能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，幫助學(xué)生深刻理解所學(xué)的相關(guān)知識(shí)，又能提高學(xué)生分析問題以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。例如在講解矩陣的乘積之前，我們可以補(bǔ)充下面實(shí)例：

實(shí)例：某產(chǎn)家發(fā)出一批產(chǎn)品，涉及甲，乙，丙，丁四個(gè)代理商和A，B，C三款產(chǎn)品，三款產(chǎn)品的單價(jià)分別為：產(chǎn)品A:30元/箱；產(chǎn)品B:40元/箱；產(chǎn)品C:50元/箱。三款產(chǎn)品的單箱重量分別為：產(chǎn)品A:15千克/箱；產(chǎn)品B:20千克/箱；產(chǎn)品C:30千克/箱。發(fā)往甲代理商的產(chǎn)品及數(shù)量為：產(chǎn)品A:30箱，產(chǎn)品B:15箱，產(chǎn)品C:40箱；發(fā)往乙代理商的產(chǎn)品及數(shù)量為：產(chǎn)品A:15箱，產(chǎn)品B:10箱，產(chǎn)品C:8箱；發(fā)往丙代理商的產(chǎn)品及數(shù)量為：產(chǎn)品A:20箱，產(chǎn)品B:12箱，產(chǎn)品C:16箱；發(fā)往丁代理商的產(chǎn)品及數(shù)量為：產(chǎn)品A:12箱，產(chǎn)品B:25箱，產(chǎn)品C:18箱。要計(jì)算發(fā)往各代理商的產(chǎn)品總價(jià)和總重量。

模型假設(shè)：假設(shè)嚴(yán)格按照單價(jià)和數(shù)量計(jì)算總價(jià)，沒有任何促銷優(yōu)惠措施，而且即使四家代理商的級(jí)別不同，同款產(chǎn)品也執(zhí)行同樣的單價(jià)。

模型建立：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，將每箱產(chǎn)品的價(jià)格和重量分別為第一行和第二行作矩陣X；將發(fā)往各代理商的各款產(chǎn)品的數(shù)量為列作矩陣Y；將發(fā)往各代理商的產(chǎn)品總價(jià)和總重量分別為第一行和第二行作矩陣Z，我們有

這里 分別表示發(fā)往代理商甲、乙、丙、丁的產(chǎn)品總價(jià)（元）， 分別表示發(fā)往代理商甲、乙、丙、丁的產(chǎn)品總重量（千克）。

模型求解：根據(jù)上述三個(gè)矩陣，我們可以得到，矩陣Z中的元素aij可以用A的第i行的3個(gè)元素與B的第j列的3個(gè)元素對(duì)應(yīng)相乘并把所得的積相加得到,這里 i=1,2，j=1,2,3,4，即

從矩陣Z中可以一目了然地看出發(fā)往代理商甲、乙、丙、丁的產(chǎn)品總價(jià)（元）和總重量（千克）。

模型分析：上述算法可以推廣到更一般的情形，而且可以從中抽象出兩個(gè)矩陣的乘積的概念，即矩陣 與矩陣 的乘積是一個(gè)s×n矩陣，它的第i行，第j列處的元素是用A的第i行的元素與B的第j列的元素對(duì)應(yīng)相乘并把所得的積相加得到的。

四、結(jié)束語

在實(shí)踐教學(xué)中表明，將數(shù)學(xué)建模思想融入高等代數(shù)的教學(xué)中，有利于提高教學(xué)效果。但需要指出的是，高等代數(shù)課程畢竟不是專門的數(shù)學(xué)建模課程，我們不可能，也沒必要按完整的數(shù)學(xué)建模的過程進(jìn)行教學(xué)，而應(yīng)把重點(diǎn)應(yīng)放在模型假設(shè)，模型建立和模型求解上，側(cè)重于體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，加深學(xué)生對(duì)抽象概念及相關(guān)理論的理解，從而達(dá)到增強(qiáng)教學(xué)效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高高等代數(shù)課堂教學(xué)質(zhì)量。2003.

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