查漏補缺之平面向量、解三角形

童殷

1. 平面向量的基本概念

（1）你能說出與零向量有關的一些結論嗎？

作答：______________________

（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你還記得相等向量嗎？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點、各頂點為終點的n個向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.

（2）與非零向量a同方向且長度為1的向量；非零向量a的單位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）當向量可自由平移后，平行向量為共線向量.

2. 平面向量的線性運算

（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？

作答：______________________

（2）你記得向量與實數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？

（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；

平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；

多邊形法則：++…+=.

向量的減法法則，-=.

（2）當λ>0時，λa與a方向相同；當λ<0時，λa與a方向相反；當λ=0時，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；

②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判斷若干個向量是否共線；

②把平面內的任一向量用平面內的一組基底表示；

③求參數(shù)的取值.

4. 平面向量的坐標運算

（1）你記得平面向量的坐標運算嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標表示嗎？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.

（2）設a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的數(shù)量積及其應用

設a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.

（1）兩個非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？

作答：______________________

（2）一個向量在另外一個向量方向上的投影指的是什么？其正負值如何確定？

作答：______________________

（3）對于向量的應用，你記得哪些？

作答：______________________

（1）兩個非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負取決于兩向量的夾角. 當0≤θ<時，它是正值；當<θ≤π時，它是負值.

（3）證明平行問題，包括相似問題，常用向量平行（或共線）的充要條件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夾角或判斷夾角問題，常利用夾角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求線段的長度，常用向量的線性運算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其應用

（1）正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉化來解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面積公式嗎？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內切圓半徑.

重要結論：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint

1. 平面向量的基本概念

（1）你能說出與零向量有關的一些結論嗎？

作答：______________________

（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你還記得相等向量嗎？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點、各頂點為終點的n個向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.

（2）與非零向量a同方向且長度為1的向量；非零向量a的單位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）當向量可自由平移后，平行向量為共線向量.

2. 平面向量的線性運算

（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？

作答：______________________

（2）你記得向量與實數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？

（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；

平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；

多邊形法則：++…+=.

向量的減法法則，-=.

（2）當λ>0時，λa與a方向相同；當λ<0時，λa與a方向相反；當λ=0時，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；

②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判斷若干個向量是否共線；

②把平面內的任一向量用平面內的一組基底表示；

③求參數(shù)的取值.

4. 平面向量的坐標運算

（1）你記得平面向量的坐標運算嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標表示嗎？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.

（2）設a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的數(shù)量積及其應用

設a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.

（1）兩個非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？

作答：______________________

（2）一個向量在另外一個向量方向上的投影指的是什么？其正負值如何確定？

作答：______________________

（3）對于向量的應用，你記得哪些？

作答：______________________

（1）兩個非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負取決于兩向量的夾角. 當0≤θ<時，它是正值；當<θ≤π時，它是負值.

（3）證明平行問題，包括相似問題，常用向量平行（或共線）的充要條件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夾角或判斷夾角問題，常利用夾角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求線段的長度，常用向量的線性運算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其應用

（1）正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉化來解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面積公式嗎？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內切圓半徑.

重要結論：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint

1. 平面向量的基本概念

（1）你能說出與零向量有關的一些結論嗎？

作答：______________________

（2）你還記得向量a的單位向量的定義嗎？非零向量a的單位向量如何表示？

作答：______________________

（3）你還記得相等向量嗎？

作答：______________________

（4）你知道平行向量和共線向量的區(qū)別嗎？

作答：______________________

（1）0的方向是任意的；a=0？圳a+（-a）=0；以正n（n≥3，n∈N）邊形的中心為始點、各頂點為終點的n個向量的和為零向量；0與任一向量平行（共線）.

（2）與非零向量a同方向且長度為1的向量；非零向量a的單位向量是.

（3）a=b且a，b同向？圳a=b.

（4）當向量可自由平移后，平行向量為共線向量.

2. 平面向量的線性運算

（1）你記得向量的加法法則與減法法則嗎？

作答：______________________

（2）你記得向量與實數(shù)λ相乘后的幾何意義嗎？

（1）向量的加法法則，三角形法則：+=；

平行四邊形法則：平行四邊形ABCD中，+=；

多邊形法則：++…+=.

向量的減法法則，-=.

（2）當λ>0時，λa與a方向相同；當λ<0時，λa與a方向相反；當λ=0時，λa=0.

3. 平面向量的基本定理

（1）平面向量的基本定理和共線定理你熟記了嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量的基本定理和共線定理的用途嗎？

作答：______________________

（1）①平面向量的基本定理：e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，其中e1，e2是一組基底；

②共線定理：如果b≠0，則a∥b？圳a=λb（λ∈R且唯一）.

（2）用途：

①判斷若干個向量是否共線；

②把平面內的任一向量用平面內的一組基底表示；

③求參數(shù)的取值.

4. 平面向量的坐標運算

（1）你記得平面向量的坐標運算嗎？

作答：______________________

（2）你知道平面向量平行（共線）的坐標表示嗎？

作答：______________________

（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a±b=（x1±x2，y1±y2）；若A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2-x1，y2-y1）；若a=（x，y），λ∈R，則λa=（λx，λy）.

（2）設a=（x1，y1），b=（x2，y2）（b≠0），則a∥b？圳x1y2-x2y1=0.

5. 平面向量的數(shù)量積及其應用

設a=（x1，y1），b=（x2，y2）是兩個非零向量，夾角為θ（或〈a，b〉）.

（1）兩個非零向量的夾角的定義及其取值范圍你還記得嗎？它們的數(shù)量積是如何定義的？

作答：______________________

（2）一個向量在另外一個向量方向上的投影指的是什么？其正負值如何確定？

作答：______________________

（3）對于向量的應用，你記得哪些？

作答：______________________

（1）兩個非零向量，的夾角是∠AOB，其取值范圍是[0，π]；②兩個非零向量的數(shù)量積，向量式：a·b？圳a·bcosθ；坐標式：a·b=x1x2+y1y2.

（2）b在a方向上的投影為b· cosθ，其正負取決于兩向量的夾角. 當0≤θ<時，它是正值；當<θ≤π時，它是負值.

（3）證明平行問題，包括相似問題，常用向量平行（或共線）的充要條件：

a∥b？圳a=λb？圳x1y2-x2y1=0（b≠0）；

證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a⊥b？圳a·b=0？圳x1x2+y1y2=0；

求夾角或判斷夾角問題，常利用夾角公式：

cosθ==，由此可得a·b>0？圳0≤θ<；a·b<0？圳<θ≤π.

求線段的長度，常用向量的線性運算，向量的模a==或AB==.

6. 正弦、余弦定理及其應用

（1）正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉化來解斜三角形？

作答：______________________

（2）你知道三角形的面積公式嗎？

作答：______________________

（1）正弦定理：===2R？圳a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA？圯cosA=.

（2）S△ABC=absinC==（a+b+c）r，其中R為三角形外接圓半徑，r為三角形內切圓半徑.

重要結論：

（1）a+b2+a-b2=2（a2+b2）；

（2）在△ABC中，O是△ABC的重心？圳++=0，O，.endprint