南京師大附中南京外國語學(xué)校月考試卷調(diào)研

何曉勤

本試卷嚴(yán)格按照高考《考試說明》命制，符合高考的命題規(guī)律，難易程度上貼近高考要求. 試卷第一部分（必做題）的填空題主要考查基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力，解答題突出考查理性思維和思想方法；試卷涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，而且主干知識(shí)地位突出，重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查，如三角與向量（第15題）、立體幾何（第16題）、函數(shù)和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題（第17題）、解析幾何綜合問題（第18題）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題（第19題）、數(shù)列綜合問題（第20題）等都是必考的重點(diǎn)內(nèi)容；在試題的設(shè)計(jì)上，注重知識(shí)的交匯，如第10題考查解三角形與基本不等式的交匯，第12題考查函數(shù)與不等式的交匯，第15題考查三角與向量的交匯等.

？搖？搖試卷第二部分（附加題）的選做題第21題注重考查基本知識(shí)和基本方法，難度不大；必做題第22題考查空間向量在求解立體幾何問題中的應(yīng)用，難度中等；第23題屬于創(chuàng)新題型，主要考查計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列等知識(shí)的綜合，對(duì)理科學(xué)生的能力要求較高，有較大的區(qū)分度.

難度系數(shù)：★★★★

第一部分

一、填空題：本題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上.

1. 已知集合A={xy=log■（x-1）}，B={xx2-x-6≤0}，則A∩B=________.

2. 已知i是虛數(shù)單位，且■=a+bi（a，b∈R），則a-b=________.

3. 如圖1是一個(gè)算法的流程圖，若輸出的結(jié)果是1023，則判斷框中的整數(shù)M的值是________.

4. 從高三年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的某次考試數(shù)學(xué)成績繪制成頻率分布直方圖. 由圖中數(shù)據(jù)可知成績?cè)赱130，140）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為________.

5. 一個(gè)正四面體玩具的四個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)投擲該玩具兩次，觀察向下一面的數(shù)字，則事件“兩次出現(xiàn)的數(shù)字中至少有一個(gè)比2大”發(fā)生的概率為________.

6. 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn). 若雙曲線C上一點(diǎn)P滿足∠F1PF2=90°，且PF1=3PF2，則雙曲線C的漸近線方程為________.

7. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，點(diǎn)M，N在棱CC1，BB1上，且CM=B1N，則四棱錐A-BCMN的體積為________.

8. 已知奇函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f（x2）+f（2-kx）（x∈R）有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為________.

9. 函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）ω>0，φ<■的圖象如圖4所示，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移■個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的解析式為_________.

10. 如圖5，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE=2，則■的最小值等于________.

11. 如圖6，半圓的直徑AB=6，O為圓心，C為半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（■+■）·■的取值范圍為________.

12. 若函數(shù)F（x）為二次函數(shù)，且F（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），若存在實(shí)數(shù)a∈（-2，-1），使f（-a）=-f（a）>0，則不等式F（2x-1）>F（x）的解集為________.

13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y=k（x+2■）和點(diǎn)A（-■，0），B（■，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=■PB，且存在兩點(diǎn)P到直線l的距離等于1，則k的取值范圍是________.

14. 已知數(shù)列{an}滿足a■=0，an≤a■≤an+1（n∈N？鄢），記Sn=■（-1）k-1a■（0

二、解答題：本題共6道題，計(jì)90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15. （本小題滿分14分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=（sinB-sinA，sinC），n=（sinB-sinC，sinB+sinA），且m∥n.

（1）求角A的值；

（2）若△ABC為銳角三角形，且a=2，求b-■c的取值范圍.

16. （本小題滿分14分）如圖7，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，∠BAF=■，M為BD的中點(diǎn)，平面ABCD⊥平面ABEF. 求證：

（1）BF⊥平面DAF；

（2）ME∥平面DAF.

17. （本小題滿分14分）某商場為促銷要準(zhǔn)備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10 cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達(dá)到三棱錐的頂點(diǎn)，如圖8所示. 設(shè)正三棱錐的底面邊長為x cm，體積為V cm3. 在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時(shí)x的值.

18. （本小題滿分16分）已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）上任一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的和為2■，P與橢圓長軸兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為-■. 設(shè)直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）若■·■=■（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求y1-y2的值；

（2）當(dāng)直線l與兩坐標(biāo)軸都不垂直時(shí)，在x軸上是否總存在點(diǎn)Q，使得直線QA，QB的傾斜角互為補(bǔ)角？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19. （本小題滿分16分）設(shè)n∈N？鄢，函數(shù)f■（x）=xnx-a（x≠a），其中常數(shù)a>0.

（1）求函數(shù)f■（x）的極值.

（2）設(shè)一直線與函數(shù)f■（x）的圖象切于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有S■=（Sn）3成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時(shí)間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分. 請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對(duì)應(yīng)特征向量α1=11，且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個(gè)特征值.

C. [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數(shù)），設(shè)P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn). 以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標(biāo)方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設(shè)整數(shù)n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個(gè)非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù).

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函數(shù)f■（x）的極值.

（2）設(shè)一直線與函數(shù)f■（x）的圖象切于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有S■=（Sn）3成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時(shí)間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分. 請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對(duì)應(yīng)特征向量α1=11，且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個(gè)特征值.

C. [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數(shù)），設(shè)P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn). 以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標(biāo)方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設(shè)整數(shù)n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個(gè)非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù).

（1）求a3；

（2）求an.

（1）求函數(shù)f■（x）的極值.

（2）設(shè)一直線與函數(shù)f■（x）的圖象切于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

①求x■■+x■■的值；

②求證：y■

20. （本小題滿分16分）已知無窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)n都有S■=（Sn）3成立，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）對(duì)任意正整數(shù)n，從集合{a1，a2，…，an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)之間經(jīng)過加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù)，且這些正整數(shù)與a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合.

①求a1，a2的值；

②求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時(shí)間30分鐘）

21. 【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分. 請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A. [選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）

如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證：BE平分∠ABC.

B. [選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

已知矩陣M有特征值λ1=8及對(duì)應(yīng)特征向量α1=11，且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）變換成（4，0），求矩陣M的另一個(gè)特征值.

C. [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）

圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosθ，y=■+2sinθ（θ為參數(shù)），設(shè)P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn). 以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標(biāo)方程.

D. [選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）

已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求■+■+■的最大值.

22. （本小題滿分10分）如圖10，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=90°，AD=■，EF=2，BE=3，CF=4.

（1）求證：平面DEF⊥平面DCE；

（2）若AB=■，求二面角A-EF-C的大小.

23. （本小題滿分10分）設(shè)整數(shù)n≥3，集合P={1，2，3，…，n}，A，B是P的兩個(gè)非空子集. 記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)（A，B）的個(gè)數(shù).

（1）求a3；

（2）求an.