舵葉固定式液壓球形關(guān)節(jié)運(yùn)動學(xué)及性能分析

方守龍 王 亮 丁 帥

(北京航空航天大學(xué) 自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

球面運(yùn)動機(jī)構(gòu)是一種介于平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)之間的特殊機(jī)構(gòu)，其特點(diǎn)為機(jī)構(gòu)末端的輸出軌跡都在一個(gè)球面上.球面機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、靈活可靠等諸多優(yōu)點(diǎn)，因此在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，如可用作微創(chuàng)手術(shù)機(jī)器人［1］、球面點(diǎn)定位設(shè)備［2］、機(jī)械加工的回轉(zhuǎn)工作臺等.近年來，國內(nèi)外對球面運(yùn)動機(jī)構(gòu)的構(gòu)形理論、性能等展開了大量的研究.文獻(xiàn)［3］采用了球面三自由度的串聯(lián)機(jī)構(gòu)研制了機(jī)器人的手腕;文獻(xiàn)［4］詳細(xì)闡述了具有運(yùn)動學(xué)各向同性特性的四轉(zhuǎn)軸三自由度球面串聯(lián)機(jī)構(gòu);文獻(xiàn)［5］介紹了一類球面四桿運(yùn)動機(jī)構(gòu)，給出了該類機(jī)構(gòu)的構(gòu)型分類及曲柄存在條件;文獻(xiàn)［6］討論了非對稱球面5R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并且給出了曲柄存在的條件;文獻(xiàn)［7］研究了非對稱三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)綜合問題，討論了非對稱三自由度球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的類型及達(dá)到所需球面運(yùn)動的機(jī)構(gòu)安裝幾何條件;文獻(xiàn)［8］提出了一類新的3-RRPRR結(jié)構(gòu)的新型球面機(jī)構(gòu)，分析了該類機(jī)構(gòu)的幾何構(gòu)型條件、奇異軌跡及工作空間等.類球鉸機(jī)構(gòu)是球面機(jī)構(gòu)的另一熱點(diǎn)研究領(lǐng)域，其中最有代表性的是球形電機(jī).文獻(xiàn)［9］分析了磁極設(shè)計(jì)對于球形電機(jī)定位轉(zhuǎn)矩的影響;文獻(xiàn)［10］介紹了一種具有雙氣隙特性的多自由度球形電機(jī).鑒于上述機(jī)構(gòu)中串聯(lián)機(jī)構(gòu)末端剛度小、承載力弱及并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間小、奇異位形多、靈活性差等問題，本文提出了一種新型的基于液壓驅(qū)動二自由度類球鉸關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)采用了液壓驅(qū)動，兼有結(jié)構(gòu)緊湊、大負(fù)載和大工作空間等特點(diǎn)，有效地彌補(bǔ)了上述串并聯(lián)機(jī)構(gòu)中存在的不足.

1 機(jī)構(gòu)模型及工作原理

1.1 機(jī)構(gòu)簡介

圖1為該球形機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖.該機(jī)構(gòu)由定子、球形轉(zhuǎn)子、超全周轉(zhuǎn)動馬達(dá)、舵葉、滑軌、碼盤等構(gòu)成，機(jī)構(gòu)的輸出部件為球形轉(zhuǎn)子.

圖1 球形關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic drawing of spherical joint

圖2給出了球形關(guān)節(jié)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).球形轉(zhuǎn)子與上定子、舵葉間均為球面約束，舵葉軸上安裝超全周液壓轉(zhuǎn)動馬達(dá)［11］，所有球面共球心.球形轉(zhuǎn)子位置測量系統(tǒng)采用滑軌支撐框架結(jié)構(gòu)，包括2個(gè)圓形滑軌支架、1個(gè)滑塊和3個(gè)碼盤，兩滑軌安裝于下定子且各滑軌轉(zhuǎn)軸過球心.碼盤Ⅰ和Ⅱ測量值為X和Y滑軌轉(zhuǎn)角值，碼盤Ⅲ測量值為超全周馬達(dá)輸出轉(zhuǎn)角值.圖3為舵葉及上定子結(jié)構(gòu)圖.

圖2 關(guān)節(jié)內(nèi)部結(jié)構(gòu)Fig.2 Interior structure of joint

圖3 零件示意圖Fig.3 Schematic drawing of parts

1.2 坐標(biāo)系建立

以球心O為原點(diǎn)，分別建立與定子相連的固定坐標(biāo)系OXYZ和與舵葉及球形轉(zhuǎn)子相連的動坐標(biāo)系Ox1y1z1和Ox2y2z2，如圖4所示.

圖4 球形關(guān)節(jié)坐標(biāo)系Fig.4 Coordinates of spherical joint

固定坐標(biāo)系中的X和Y軸分別與X滑軌及Y滑軌的轉(zhuǎn)軸軸線重合(Z軸由右手定則確定);舵葉坐標(biāo)系中的x1與舵葉兩端圓柱面軸線重合，z1軸與Z軸重合;球形轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系z2與轉(zhuǎn)子軸軸線重合，x2軸與初始位置時(shí)的x1軸重合.在初始位置，所有坐標(biāo)系重合(初始位置如圖1所示).

1.3 機(jī)構(gòu)驅(qū)動描述

該球形關(guān)節(jié)采用舵葉擺動馬達(dá)及超全周轉(zhuǎn)動馬達(dá)進(jìn)行驅(qū)動.如圖2所示，舵葉、球形轉(zhuǎn)子和上下定子間構(gòu)成了兩個(gè)密封的油腔，由初始位置，當(dāng)兩腔存在壓差Δp時(shí)，球形轉(zhuǎn)子繞舵葉x1軸擺動γ角，構(gòu)成了舵葉擺動馬達(dá);超全周轉(zhuǎn)動馬達(dá)初級定葉片［11］嵌于下定子內(nèi)壁，這樣該馬達(dá)可以帶動舵葉繞Z軸轉(zhuǎn)動α角(α為碼盤Ⅲ測量值).當(dāng)超全周馬達(dá)帶動舵葉繞Z軸轉(zhuǎn)動α?xí)r，由于舵葉兩端圓柱面恒與球形轉(zhuǎn)子接觸且兩油腔存在壓差Δp，使得球形轉(zhuǎn)子繞Z軸旋轉(zhuǎn)α角(如圖4所示，∠XOx1=α，∠ZOz2=γ).

兩馬達(dá)需要兩套獨(dú)立的油路進(jìn)行配油.考慮使配油方式及油路簡潔，舵葉擺動馬達(dá)兩油路位于該機(jī)構(gòu)的舵葉軸;超全周馬達(dá)兩油路分別位于舵葉軸及下定子壁(如圖2b、圖5所示).

圖5 馬達(dá)油路示意圖Fig.5 Schematic drawing of motor oil circuit

舵葉擺動馬達(dá)兩油腔由上下定子、舵葉及球形轉(zhuǎn)子4部分構(gòu)成(圖2b).圖3中a，c，d處密封分別表示舵葉與球形轉(zhuǎn)子、舵葉與下定子、球形轉(zhuǎn)子與上定子間的密封.

球形轉(zhuǎn)子具有繞x1和Z軸兩個(gè)轉(zhuǎn)動自由度，這樣其末端能夠達(dá)到以坐標(biāo)系原點(diǎn)為球心的球面上任意一點(diǎn)，從而球形轉(zhuǎn)子能夠?qū)崿F(xiàn)全方位輸出.

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)及性能分析

2.1 正解分析

由運(yùn)動描述可知，球形轉(zhuǎn)子的運(yùn)動均可分解為繞x1和Z軸的轉(zhuǎn)動，球形轉(zhuǎn)子最終位姿為

式中，γ為舵葉擺動馬達(dá)轉(zhuǎn)角;α為超全周轉(zhuǎn)動馬達(dá)轉(zhuǎn)角;Rk(θ)為繞k軸旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣［12］.

如圖6所示，B和C分別為X滑軌和Y滑軌的中間位置點(diǎn)，D為兩滑軌的交點(diǎn)，下面推導(dǎo)滑軌支撐框架位置測量系統(tǒng)中兩碼盤轉(zhuǎn)角θx，θy與兩馬達(dá)轉(zhuǎn)角γ，α的關(guān)系.可將球形轉(zhuǎn)子最終位姿看作沿X滑軌運(yùn)動的x-y-z歐拉角變換;或者看做沿Y滑軌運(yùn)動的y-x-z歐拉角變換［12］.

圖6 滑軌支撐架示意圖Fig.6 Schematic drawing of support frame of slide rail

分別沿X滑軌和Y滑軌變換，球形轉(zhuǎn)子位姿分別如式(2)和式(3)所示.

式中，θx，θy為碼盤Ⅰ，Ⅱ轉(zhuǎn)角;ψz，βz為球形轉(zhuǎn)子繞z2軸轉(zhuǎn)角;ψy=∠BOD;βx=∠COD.

由式(1)、式(2)，式(1)、式(3)對應(yīng)相等，可得

式(4)給出了兩碼盤轉(zhuǎn)角θx，θy與兩馬達(dá)轉(zhuǎn)角γ，α角的關(guān)系.

2.2 逆解分析

將式(4)代入式(1)，消掉γ和α可得以兩碼盤轉(zhuǎn)角θx和θy表示的姿態(tài)矩陣T3.令T3=T，可得

式中，m=tanθx;n=tan θy;atan 2(m，n)為 4 個(gè)象限內(nèi)的反正切函數(shù)［12］.

由式(5)可知，逆解有兩組，即先轉(zhuǎn)γ角，再轉(zhuǎn)α角;或者先轉(zhuǎn)-γ角，再轉(zhuǎn)π+α角，球形轉(zhuǎn)子都將得到同一位姿.

2.3 奇異位形分析

根據(jù)旋量理論［13］，球形轉(zhuǎn)子在固定坐標(biāo)系OXYZ中的角速度為

式中，s1=［cosα sinα 0］T;s2=［0 0 1］T.

式中，Gv為3×2階雅可比矩陣:

當(dāng)γ=0時(shí)，機(jī)構(gòu)處在奇異位形，此時(shí)超全周馬達(dá)帶動舵葉旋轉(zhuǎn)α?xí)r，球形轉(zhuǎn)子末端p點(diǎn)位置不變，即機(jī)構(gòu)失去了一個(gè)自由度，如圖7所示.此時(shí)，舵葉的運(yùn)動可由碼盤Ⅲ進(jìn)行觀測.

圖7 關(guān)節(jié)奇異位形Fig.7 Singular configuration of joint

由于機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的限制，γ＜π.

2.4 靈巧度評價(jià)指標(biāo)

機(jī)構(gòu)的靈巧度反應(yīng)了機(jī)構(gòu)的輸入與輸出之間的傳遞關(guān)系的失真程度，文獻(xiàn)［14］定義了機(jī)構(gòu)的角速度各向同性指標(biāo):

式中，||||為矩陣Frobenius范數(shù);G+為速度雅可比矩陣廣義逆;kG＞1［15］，為了描述方便，通常取1/kG作為機(jī)構(gòu)的靈巧度指標(biāo):

1/kG的取值范圍為(0，1］，該值越接近1，說明機(jī)構(gòu)各向同性就越好，靈巧度就越高.

3 仿真

3.1 運(yùn)動分析

由初始位置，假設(shè)關(guān)節(jié)的擺動馬達(dá)轉(zhuǎn)速為π/40rad/s，超全周馬達(dá)轉(zhuǎn)速為π/5 rad/s，仿真時(shí)間10s.取球形轉(zhuǎn)子末端點(diǎn)p(設(shè)=100 mm)為觀測點(diǎn)，利用式(1)計(jì)算p點(diǎn)在基坐標(biāo)系中X，Y，Z位置坐標(biāo)值，在Matlab及Pro/E中的仿真曲線如圖8所示;利用式(4)計(jì)算兩碼盤轉(zhuǎn)角θ(單位:(°))，碼盤轉(zhuǎn)角在Matlab及Pro/E中仿真圖線如圖9所示.

圖8 p點(diǎn)位置曲線Fig.8 Position curves of point p

由圖8、圖9可以看出，推導(dǎo)的運(yùn)動學(xué)正解公式及兩碼盤轉(zhuǎn)角公式在Matlab中仿真與Pro/E中模型運(yùn)動仿真結(jié)果一致，證明了理論分析的正確性.

3.2 機(jī)構(gòu)性能分析

由式(6)～式(9)可求得該機(jī)構(gòu)靈巧度性能指標(biāo)，如圖10所示.

圖9 碼盤旋轉(zhuǎn)角度曲線Fig.9 Rotation angle curves of code wheel

圖10 靈巧度性能指標(biāo)曲線Fig.10 Dexterity index curve

由圖10可知，機(jī)構(gòu)的靈巧度指標(biāo)取決于擺動馬達(dá)轉(zhuǎn)角γ，而與超全周轉(zhuǎn)動馬達(dá)轉(zhuǎn)角α無關(guān).γ越大，靈巧度指標(biāo)越高;在奇異點(diǎn)位置(γ=0 rad)，機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)接近于0，此時(shí)馬達(dá)輸入轉(zhuǎn)角與球形轉(zhuǎn)子末端點(diǎn)位置輸出關(guān)系嚴(yán)重失真.對該指標(biāo)的分析可以得到機(jī)構(gòu)良好工作空間為γ≥0.7 rad的區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)接近且達(dá)到最大值，機(jī)構(gòu)各方向運(yùn)動傳遞性能類似，有利于該關(guān)節(jié)控制.

4 結(jié)論

1)提出了一種新型的基于液壓驅(qū)動二自由度球面運(yùn)動關(guān)節(jié)，該關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)采用了液壓驅(qū)動，可以承受大負(fù)載;通過兩馬達(dá)轉(zhuǎn)角的疊加，可以實(shí)現(xiàn)球面上任意位置的輸出.

2)γ=0 rad時(shí)，該機(jī)構(gòu)處于奇異位形狀態(tài);γ和α的取值決定了球形轉(zhuǎn)子的最終位姿，其值可由位置測量系統(tǒng)中的碼盤進(jìn)行測量，由此為關(guān)節(jié)控制創(chuàng)造了條件.

3)在奇異點(diǎn)位置，機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)接近于0.γ越大，靈巧度指標(biāo)越高.在γ≥0.7 rad的區(qū)域，機(jī)構(gòu)靈巧度指標(biāo)接近且達(dá)到最大值，機(jī)構(gòu)各方向運(yùn)動傳遞性能類似，有利于該關(guān)節(jié)控制.

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