夾持邊界條件下表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

曹淑森 賀小帆 楊博霄 劉文珽

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

航空結(jié)構(gòu)的損傷容限性能主要由含裂紋結(jié)構(gòu)的剩余強(qiáng)度和裂紋擴(kuò)展性能決定［1］.表面裂紋是飛機(jī)結(jié)構(gòu)在使用中可能出現(xiàn)的一種典型裂紋形態(tài)，研究表面裂紋的擴(kuò)展規(guī)律、進(jìn)行裂紋擴(kuò)展壽命預(yù)測對保證飛機(jī)結(jié)構(gòu)的使用安全具有十分重要的意義，其中表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF，Stress Intensity Factor)求解是一個關(guān)鍵的問題［2］.針對有限板的半橢圓形表面裂紋，Newman和Raju利用有限元法給出了拉伸載荷和彎矩作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子的經(jīng)驗公式［3］，F(xiàn)ett估算了任意分布載荷下的表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子［4］，Wang和Lambert等利用權(quán)函數(shù)法求解了高形狀比和低形狀比情況下的表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子［5-6］，但這些結(jié)果主要針對載荷作用條件，如均勻拉伸、純彎或線性加載及其線性疊加，沒有考慮位移約束.當(dāng)考慮試件兩端固支時，針對表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，Wang和Lambert等進(jìn)行了求解［7-8］.

試驗是研究表面裂紋擴(kuò)展的重要手段，通常需要在試驗室進(jìn)行模擬試件的表面裂紋擴(kuò)展試驗，這種條件下有限尺寸的試件往往直接夾持在試驗機(jī)上，其邊界條件為復(fù)雜的載荷和位移邊界條件，已有的載荷或位移邊界條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解不適用，必須模擬實(shí)際夾持邊界條件尋求應(yīng)力強(qiáng)度因子解.John和Rigling分析了夾持邊界條件對矩形板單邊穿透裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響［9］.John等利用權(quán)函數(shù)法求解了夾持邊界條件下單邊穿透裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子［10］.針對夾持邊界條件下單邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，Blatt等利用柔度法和有限元法進(jìn)行了分析［11］，Jones利用權(quán)函數(shù)法進(jìn)行了求解［12］.但是針對試驗機(jī)夾持邊界條件下表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解還鮮有報道.為此，本文擬針對試驗室表面裂紋擴(kuò)展試驗這一問題，進(jìn)行夾持邊界條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解，并與有限元計算結(jié)果進(jìn)行對比，在此基礎(chǔ)上，討論了試件幾何和裂紋尺寸對應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.

1 等效模型的建立

1.1 試驗機(jī)夾持邊界條件分析

典型的疲勞試驗示意圖見圖1.特點(diǎn)如下:①與試件相比，夾具的幾何尺寸很大，可近似為剛性體;②由于機(jī)架的約束，作動筒只能沿軸向運(yùn)動.與自由均勻拉伸加載條件相比，剛性夾具的軸向運(yùn)動對試件端部造成位移和轉(zhuǎn)角約束，試件端部只能沿軸向方向運(yùn)動且轉(zhuǎn)角為0°.

圖1 疲勞試驗夾持條件Fig.1 Clamped ends condition in fatigue tests

1.2 等效模型

由于夾持邊界條件非常復(fù)雜，直接對夾持邊界條件下表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行求解難以實(shí)現(xiàn)，雖然有限元方法(FEM)是一種有效的工具，但是計算量太大，并不實(shí)用.為此，本文對夾持邊界條件進(jìn)行等效簡化，示意圖見圖2.在夾持條件下，試件除了受到沿軸向的載荷外，由于端部的自由度受到約束，等效為在端部施加了一個yz平面內(nèi)的彎矩，方向如圖2中所示，彎矩使試件端部的轉(zhuǎn)角為0°.從而夾持邊界條件可等效為均勻拉力和彎矩作用，兩者的共同作用使試件端部的轉(zhuǎn)角為0°.

圖2 等效模型建立Fig.2 Establishment of the equivalent model

2 基于等效模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

2.1 應(yīng)力強(qiáng)度因子疊加

在線彈性條件下，應(yīng)力強(qiáng)度因子等于各載荷作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子之和.顯然，一旦均勻拉伸和彎矩作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解已知，即可由式(1)得到均勻拉伸和彎矩共同作用下的應(yīng)力強(qiáng)度因子.

式中，Kσ為均勻拉伸作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子;KM為彎矩作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子.

2.2 均勻拉伸和彎矩作用下應(yīng)力強(qiáng)度因子解

Newman-Raju公式［2］給出了在均勻拉伸應(yīng)力和彎矩共同作用下表面裂紋在全范圍內(nèi)應(yīng)力強(qiáng)度因子解，見下式:

其中，2w為試件寬度;t為試件厚度;b為裂紋深度;E(k)為第二類完全橢圓積分;FI為形狀系數(shù);H為與裂紋形狀相關(guān)的系數(shù)［2］.試件幾何及裂紋尺寸定義見圖3，其中2a為裂紋長軸.

圖3 含裂紋截面示意圖Fig.3 Schematic diagram of the intersecting surface including the crack

2.3 等效彎矩求解

在試驗條件下，試件所受的拉力是已知的，但等效彎矩是未知的.當(dāng)拉力越大時，端部產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角也越大，使端部轉(zhuǎn)角恢復(fù)為0的彎矩也越大，反之亦然.所以等效彎矩由拉力大小決定，兩者成函數(shù)關(guān)系.

根據(jù)I型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子與能量釋放率之間的關(guān)系可知能量釋放率為

式中，G為能量釋放率;平面應(yīng)力狀態(tài)時E'=E，平面應(yīng)變狀態(tài)E'=E/(1-ν2)，其中E為彈性模量，ν為泊松比.

彈性位能Π和能量釋放率G之間有如下關(guān)系:

式(7)積分與裂紋擴(kuò)展路徑無關(guān)［7］，受拉伸載荷和彎曲疲勞載荷下表面裂紋形狀近似為橢圓形［14］，為了求解方便，假定在裂紋擴(kuò)展中，裂紋前緣成比例擴(kuò)展［15］，裂紋在擴(kuò)展后仍然為橢圓形，如圖4所示.

圖4 裂紋等比擴(kuò)展Fig.4 Crack growth in proportion

從而有

其中df為比例常數(shù).根據(jù)投影原理，從圖4可見，法向位移dr和弧長ds為

考慮到表面裂紋前緣隨著角度的變化應(yīng)力狀態(tài)不同，所以沿著裂紋前緣E'值是變化的，在沿表面方向(θ=0°)是平面應(yīng)力狀態(tài)，E'=E;沿深度方向(θ=90°)是平面應(yīng)變狀態(tài)，E'=E/(1-ν2).參考文獻(xiàn)［12］取

2.4 基于等效模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子

將式(17)代入式(1)可得夾持條件下表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子為

顯然，夾持邊界條件下的表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子是在Newman-Raju公式的基礎(chǔ)上乘上參數(shù)1+χ.夾持邊界條件下表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子可由自由均勻拉伸條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子得到，即

3 等效模型的有限元驗證

3.1 有限元驗證的目的

在選取E'時采用了文獻(xiàn)［15］給出的近似公式，等效模型是否能很好地符合夾持邊界條件，能否反映真實(shí)的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)有待驗證.

由于上述問題的存在，等效模型的合理性需要驗證.有限元方法是一種精度很高的數(shù)值方法，因此本文采用Abaqus軟件對等效模型進(jìn)行驗證.Abaqus采用三維J積分法計算應(yīng)力強(qiáng)度因子，計算精度較高［16］.

3.2 有限元建模

建立自由拉伸條件下的有限元模型如圖5所示，材料彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3.在試驗條件下，夾塊夾持試件，拉伸載荷施加在夾塊上，通過夾塊傳遞給試件.采用剛體來代替試驗機(jī)的夾塊以模擬夾持邊界條件，如圖6所示.剛體與夾塊夾持部位相同;同時約束剛體的橫向位移和轉(zhuǎn)動，使之只能沿著載荷施加的方向移動.在剛體的約束下，試件端部只能沿載荷施加方向移動，這樣試件與真實(shí)試驗機(jī)夾持條件下的位移邊界條件基本一致.

圖5 自由拉伸條件下試件模型Fig.5 Specimen model unde free uniform tension

圖6 夾持條件的建模Fig.6 Model of the clamped ends conditions

網(wǎng)格劃分如圖7和圖8所示.劃分網(wǎng)格時，在裂紋前緣處分為3個部分，如8中區(qū)域1，2，3所示.區(qū)域1為裂紋前緣所在區(qū)域，以裂紋前緣為軸線，橫截面沿圓周設(shè)置24個種子，沿裂紋前緣設(shè)置60個種子，網(wǎng)格形狀為楔形，類型為C3D6，網(wǎng)格劃分方法采用掃掠;區(qū)域2以裂紋前緣為軸線，橫截面沿圓周設(shè)置24個種子，沿徑向設(shè)置4個種子，單向等比擴(kuò)展，最大與最小的比值為2，沿裂紋前緣方向設(shè)置60個種子，網(wǎng)格形狀為六面體，類型為C3D8R，網(wǎng)格劃分方法為掃掠;過渡區(qū)域(區(qū)域3)采用自由網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格類型為四面體網(wǎng)格C3D4;剩余部分采用六面體單元C3D8R，自由網(wǎng)格劃分.

圖7 整體網(wǎng)格劃分圖Fig.7 Mesh method of the whole model

圖8 含裂紋處網(wǎng)格劃分Fig.8 Mesh mehtod of the part including crack

3.3 夾持邊界條件對表面方向和深度方向應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

對于表面裂紋，裂紋前緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著角度不同而不同，在裂紋前緣為半橢圓形的假設(shè)下θ=0°和θ=90°的應(yīng)力強(qiáng)度因子最受關(guān)注.式(18)計算夾持條件和均勻拉伸條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，結(jié)果見表1.結(jié)果表明夾持條件對SIF的影響在θ=0°時非常明顯，而在θ=90°時則很小.利用有限元法進(jìn)行計算，結(jié)果如圖9所示，可以得到同樣的結(jié)論.因此為了減少計算量，在下一步的討論中，只研究夾持條件對θ=0°時應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，來檢驗本文提出的應(yīng)力強(qiáng)度因子解的合理性.

表1 夾持條件與均勻拉伸條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子KTable 1 Comparison of SIFs under free uniform tension and clamped ends condition

圖9 自由拉伸和夾持條件下K-θ曲線(h=20 mm，w=7.5 mm，t=5 mm，a=6 mm，b=4 mm)Fig.9 K-θ curves under free uniform tension and clamped ends condition(h=20 mm，w=7.5 mm，t=5 mm，a=6 mm，b=4 mm)

3.4 夾持邊界條件下應(yīng)力強(qiáng)度因子解的檢驗

由式(19)可知，試件及裂紋的尺寸都是影響修正因子1+χ的重要參數(shù).為了檢驗1+χ是否能正確反映應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，需要檢驗不同試件及裂紋尺寸下的1+χ的準(zhǔn)確性.選取典型尺寸的含表面裂紋試件，利用式(19)求出對應(yīng)的1+χ值，然后分別建立自由拉伸條件下和夾持邊界條件下的有限元模型，求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，得到1+χ;比較兩種方法求得的1+χ值，即可檢驗基于等效模型的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式是否正確.

取試件的尺寸不變，裂紋深度b不變，分別用式(19)和Abaqus軟件求解1+χ，計算結(jié)果見圖10a;取裂紋尺寸不變，改變試件長度h，求解1+χ，計算結(jié)果見圖10b、圖10c.

圖10 公式(19)與有限元計算所得修正因子結(jié)果比較(w=10 mm，t=5 mm，θ=0°)Fig.10 Comparison of the correction factor from equation solutions and finite element solutions(w=10 mm，t=5 mm，θ=0°)

計算結(jié)果表明，隨著表面裂紋寬度的改變，利用式(19)和有限元法計算的1+χ值差別很小;隨著裂紋深度的改變和試件長度的改變，兩種方法所求得的1+χ差別均小于2%.

顯然，式(19)的精度是滿足要求的.

4 影響因素分析

夾持邊界條件對表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響反映在參數(shù)1+χ上，影響1+χ的因素包括試件長度、寬度、厚度，裂紋尺寸等.為了研究夾持邊界條件對不同裂紋及試件尺寸時裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響，需要分別研究各個參數(shù)對1+χ的影響.各種因素的變化對1+χ的影響見圖11.

結(jié)果表明:a/w和b/t越大，即裂紋尺寸越大，修正因子越小;h/t越大，即試件的尺寸越大，修正因子越大;b/a越大，修正因子越大.

圖11 不同參數(shù)對修正因子的影響Fig.11 Curves of correction factor under deferent variables

5 結(jié)論

1)建立了夾持邊界條件下表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的等效模型，即將夾持條件等效為均勻拉伸與彎矩的共同作用，并且試件端部轉(zhuǎn)角為0°，給出了等效彎矩和均勻拉伸應(yīng)力的關(guān)系，采用疊加原理給出了夾持邊界條件下應(yīng)力強(qiáng)度因子解，其形式為自由均勻拉伸載荷作用應(yīng)力強(qiáng)度因子解乘以一個與試件和裂紋尺寸有關(guān)的修正因子;

2)與Abaqus有限元數(shù)值解的計算對比表明，基于該等效模型的夾持邊界條件下的應(yīng)力強(qiáng)度因子解是合理的;

3)分析了試件幾何和裂紋尺寸對修正因子的影響，當(dāng)裂紋尺寸較大或者試件長厚比(h/t)較小時，夾持條件會對沿寬度方向的應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生比較明顯的影響.

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