鎳基合金超聲疲勞裂紋擴展壽命預測研究

薛紅前，姜祎君，封 碩

（西北工業(yè)大學 現代設計與集成制造技術教育部重點實驗室，西安710072）

超聲疲勞試驗的工作頻率高達20kHz，用于進行109cycle循環(huán)次數的疲勞試驗只需要不到1天的時間，使超長壽命疲勞試驗得以開展，超聲疲勞試驗技術已成為金屬材料超高周疲勞性能測試的有效手段，近年來，有關金屬材料超高周疲性能的研究得以廣泛開展[1，2］。同樣，20kHz的超聲高頻加載條件，使得材料在10－8mm／cycle疲勞裂紋擴展速率的測量成為可能，這對于研究疲勞裂紋門檻值附近短裂紋的擴展速率尤為重要，進而可以大大提高裂紋擴展門檻值的計算精度，完善疲勞裂紋擴展機制。Bathias等[3］率先開展了超聲疲勞加載條件下裂紋擴展速率的試驗研究，并考慮超聲高頻振動位移加載的特點，通過對裂紋尖端位移場的有限元計算，采用位移法求解裂尖應力強度因子，最終建立裂紋擴展模型。近年來，Sch?nbauer等[4］針對多種材料的裂紋擴展機理進行了深入分析。

實際上，由于超聲疲勞試驗中振動頻率高、變形速度大，使得試樣裂紋尖端處內摩擦導致的生熱加劇，顯著的裂尖溫升現象始終伴隨超聲疲勞裂紋擴展過程，該溫度分布不同于常規(guī)疲勞試驗的外載均勻加熱，而是呈現以裂尖為中心的梯度分布，在裂尖處會引起很大的應力集中。超聲高頻加載條件下，高頻載荷與顯著的溫度變化，都會影響疲勞試樣的裂紋擴展機制。目前，許多學者針對超聲高頻加載的特點，開展了大量的超聲疲勞裂紋擴展實驗研究，分析了加載頻率對材料疲勞裂紋擴展機制的影響，研究發(fā)現：高頻循環(huán)加載能夠顯著削弱裂紋閉合效應，從而減小疲勞裂紋擴展門檻值。然而，目前有關的疲勞裂紋擴展速率模型，都沒有充分考慮超聲疲勞熱效應對裂紋擴展機制的影響[4，5］。因此建立一種符合超聲疲勞試驗加載特點，充分考慮溫度影響的裂紋擴展模型顯得非常緊要。

鎳基合金作為常用的航空發(fā)動機高溫合金，考慮該結構材料實際承載高頻、超高周循環(huán)載荷的特點，因此，開展超聲高頻載荷下鎳基合金的疲勞裂紋擴展試驗研究，獲得該合金材料在高頻載荷下的裂紋擴展機理，完善超聲疲勞裂紋擴展壽命預測模型具有重要的意義。本工作基于超聲疲勞試驗技術，開展鎳基合金的超聲疲勞裂紋擴展試驗研究，研究溫度對超聲疲勞裂紋擴展機制的影響，最終建立考慮溫度影響的鎳基合金超聲疲勞裂紋擴展模型。

1 超聲振動疲勞試驗

超聲疲勞試驗系統(tǒng)主要由功率發(fā)生器、超聲振動系統(tǒng)及計算機控制系統(tǒng)組成。由功率發(fā)生器提供激振電源并控制激振頻率，作為試驗動力裝置。超聲疲勞振動系統(tǒng)主要由超聲換能器、位移放大器、疲勞試樣組成。超聲換能器將交變電信號轉換為同頻率的機械振動，通過位移放大器放大輸出振動位移，并傳遞給疲勞試樣，從而控制試樣進行穩(wěn)定的超聲振動。計算機控制系統(tǒng)主要由數據采集裝置、D／A、A／D組成，完成試驗數據的采集和試驗進程的控制。試驗前，采用非接觸位移傳感器對試驗系統(tǒng)的振動位移進行標定。實驗中，分別采用數字攝像機、紅外溫度儀監(jiān)測疲勞試樣的裂紋擴展及表面溫度的變化。

1.1 試樣設計

試驗所用疲勞試樣的材料為鎳基耐熱合金，這是一種發(fā)動機用高溫合金材料，其化學成分如表1所示。其物理性能參數如表2所示：由于彈性模量隨溫度的升高而減小，試驗前通過試驗測得該材料彈性模量隨溫度變化的規(guī)律如圖1所示。

表1 鎳基合金化學成分 （質量分數／%）Table 1 Chemical composition of nickel－based alloy（mass fraction／%）

表2 鎳基合金物理性能參數Table 2 The physical performance parameters of nickel－based alloy

圖1 鎳基合金彈性模量隨溫度變化趨勢Fig.1 The modulus of elasticity of the nickel－based alloys varies with temperature

超聲疲勞試驗中，超聲疲勞試樣需滿足20kHz的諧振頻率，超聲疲勞裂紋擴展試樣設計成中間為變截面圓弧過渡（圓弧半徑為R0），寬度W，厚度為H的板狀試樣，試樣中間最窄處厚度H0；過渡段長度2L2，可根據R0和H0計算得到。依據材料的彈性模量與溫度變化的關系（圖1）及材料的基本物理參數，基于振動力學微分方程（式1），經過解析計算可確定圖2所示試樣等截面段的長度L1及試樣全長2L[6］。本工作采用的試樣的基本尺寸列于表3。

圖2 超聲疲勞試樣設計Fig.2 Ultrasonic fatigue specimen design

式中：Ed為動態(tài)彈性模量；S（x）為沿試樣長度方向的橫截面積；U（x，t）為與時間和位置有關的軸向振動位移；ρ為材料密度。

表3 超聲疲勞試樣尺寸／mmTable 3 Geometrical dimension of ultrasonic fatigue specimen／mm

超聲疲勞試驗通過調節(jié)輸入振動位移幅值來控制試樣的疲勞加載，本試驗加載振動位移幅值范圍為5.5～6.5μm，應力比R＝－1，疲勞試樣在超聲振動載荷下做縱向諧振動。試驗在常溫下進行，試驗中疲勞試樣不需要冷卻，以保證能準確測得裂尖附近試樣表面的溫度。根據超聲疲勞工作特點，按照數字攝像機測量精度20μm的要求，為了檢測到小于10－8m／cycle裂紋擴展速率，循環(huán)應力幅值必須降至足夠小以保證疲勞循環(huán)次數在2×106cycle未出現裂紋擴展，為了消除載荷效應、節(jié)省試件，試驗過程中每次對循環(huán)位移幅值增大或減少量均為0.1μm。試驗中，在監(jiān)測疲勞裂紋擴展的同時，紅外溫度儀實時記錄裂紋擴展過程中，裂尖附近試樣表面溫度的變化。

根據要求，超聲疲勞裂紋擴展試驗記錄的主要參數包括：（1）試樣端部位移幅值，由位移傳感器測定；（2）疲勞裂紋擴展長度a＝f（N），用攝像監(jiān)測系統(tǒng)記錄全程；（3）裂紋擴展過程中溫度變化，由紅外溫度儀來記錄。

1.2 試驗結果

圖3 裂紋長度隨疲勞循環(huán)數N變化Fig.3 Crack length changes with the number of fatigue cycles

在9.90×106次循環(huán)后開始進行試樣的裂紋長度記錄，試驗過程中出現明顯裂尖溫升現象，且隨著裂紋擴展，裂尖溫度呈上升趨勢，試驗循環(huán)次數達到1.09×107次時停止。裂紋擴展長度隨超聲疲勞試驗循環(huán)周期次數的變化關系曲線如圖3所示。在裂紋擴展初期，擴展速度較為平穩(wěn)和緩慢，當裂紋長度擴展到2.2mm，約為試樣寬度的16%（a／W ＝0.16），進入裂紋穩(wěn)定擴展階段，擴展速度大幅度增加，直至試樣發(fā)生斷裂。圖4顯示的是裂紋附近試樣表面溫度隨裂紋擴展的變化，熱能在裂尖處產生，通過熱傳導向周圍傳遞熱量，隨著裂紋的擴展，裂尖附近試樣的表面溫度達220℃以上。

圖4 試樣溫度隨裂紋擴展的變化Fig.4 The temperature of specimen increases with the crack growth

2 疲勞裂紋擴展壽命模型

現今描述疲勞裂紋擴展速率的模型主要有Paris－Erdogan模 型、Forman－Kearney－Engle模 型[7］和 Elber模型[8］。最早的裂紋擴展模型由Paris提出：

式中：B，m都是材料常數；da／dN 為裂紋擴展率；ΔK為應力強度因子范圍，該式描述理想狀態(tài)下裂紋穩(wěn)定擴展階段的行為，存在很多局限性。為考慮疲勞裂紋擴展與疲勞循環(huán)應力比R的關系，Walker在Paris模型的基礎上建立了如下模型：

其中Cm為材料常數。

Elber引入有效應力強度因子（ΔKeff）的概念，提出如下裂紋擴展方程：

考慮溫度影響的疲勞裂紋擴展模型中最具有代表性的是Jeglic提出的 Arrhenius模型[10］，如式（5），模型中引入了與裂紋擴展密切相關的參數——激活能Q0和表觀激活能Q（Q＝Q0－C2lnΔK）的概念，且該模型能夠直觀的表達溫度T與材料常數C，m之間的關系（溫度升高，C值增加，m值減小），且變形后得到的式（6）能直觀表明表觀激活能與da／dN的關系

式中：C1，C2為材料常數；R為氣體常數；T為材料溫度。

上述模型都是基于常規(guī)疲勞試驗建立的，與超聲疲勞試驗系統(tǒng)在試驗加載方式上存在差異，鑒于超聲疲勞試驗過程顯著的熱效應和對短裂紋擴展（門檻值附近）疲勞機制研究的重要性，本工作研究一種充分考慮溫度影響的超聲疲勞裂紋擴展模型。

3 溫度影響下超聲疲勞壽命模型

溫度是影響疲勞裂紋擴展機制的主要因素之一，由于超聲疲勞試驗中振動頻率高、變形速度大，使得材料的熱效應增強。動態(tài)熱彈性變形中，擴展中的裂紋尖端相當于一個隨動的點熱源，通過熱傳導向周圍連續(xù)介質中擴展，使得試樣中的溫度呈現以裂尖為中心的梯度分布。

鎳基耐熱合金具有抗高溫耐疲勞的特性，在試驗溫度（大約在400℃以內）下，可忽略熱效應對微觀結構的影響[11，12］，本工作從力學角度對溫度的影響開展研究。

3.1 位移法求解應力強度因子

超聲疲勞試驗是通過位移控制實現試樣振幅控制的，試驗過程中試樣位移的控制和監(jiān)測較為方便且精確，采用位移法求解裂尖應力強度因子，該方法求解方便，試驗數據容易記錄，且可排除裂紋尖端奇異場的影響。

對于線彈性斷裂力學中的平面應力Ⅰ型裂紋問題，已知裂紋表面，靠近裂紋尖端的法向位移u（r）時，可以通過式（7）來計算距離裂紋尖端r處的應力強度因子KI，式中Ed為試樣材料常溫下的動態(tài)彈性模量[3］：

通過數值模擬與有限元分析，分別計算了裂紋表面距離裂尖不同位置處的應力強度因子，然后根據位移外推法（式8），確定裂紋尖端（r＝0）處的應力強度因子，為了避免裂紋尖端奇異場的影響，在選擇r1（節(jié)點距裂尖的長度）數據時不能太靠近裂紋尖端（圖5）。

圖5 位移外推法求裂尖（r＝0）應力強度因子Fig.5 Displacement extrapolation method is employed to calculate of SIF of crack tip（r＝0）

3.2 彈性模量影響分析

彈性模量是描述材料抵抗形變能力的物理量，通常會隨著溫度變化。本工作所用試樣鎳基高溫合金彈性模量隨溫度的升高而降低，如圖1所示。當溫度升高時，彈性模量隨之減小，材料的抗變形能力下降，裂紋尖端處的塑性降低，張開位移變大，應力強度因子增加，裂紋擴展速率加快。

建立動態(tài)彈性超聲疲勞裂紋擴展有限元模型，應用熱應力耦合有限元方法進行數值分析，并采用位移外推法進行應力強度因子求解，得到考慮溫度對彈性模量影響下，裂尖應力強度因子隨裂紋擴展的變化，以及溫度升高對試樣諧振頻率的影響。如圖6所示，彈性模量降低會導致試樣諧振頻率顯著降低，從而使得試樣諧振頻率提早超出超聲疲勞試驗系統(tǒng)的工作頻率范圍，使疲勞試驗被迫中斷。因此，提前掌握裂紋擴展中試樣固有頻率變化規(guī)律，可以準確計算出不同溫度下，裂尖的位移變化值，同時，可根據高溫下材料的動態(tài)彈性模量，計算并確定疲勞試樣的最佳幾何尺寸，因而，可以盡可能記錄超聲疲勞裂紋的整個擴展過程。

圖6 溫度對疲勞試樣模態(tài)頻率影響Fig.6 The effect of temperature on modal frequency of fatigue specimen

圖7中彈性模量的下降也引起裂尖應力強度因子ΔK的升高，對裂紋擴展起到促進作用，如果將彈性模量的變化對ΔK的影響，用一個影響系數t1表示，計算可得裂紋擴展長度對t1的影響（圖8）。該分布呈對數分布，并由方程（9）表示二者的關系：

式中：a／W 為裂紋長度與試樣寬度的比。

圖7 考慮溫度對彈性模量影響下的a／W－ΔKFig.7 a／W－ΔKvaries with elastic modulus influenced by temperature

圖8 影響系數t1隨裂紋長度a／W 分布Fig.8 The influence factor t1varies with a／W

在裂紋擴展初期，影響因子最大，約為0.035，隨著裂紋向內擴展，t1逐漸減小，并逐漸趨于平衡，在a／W 接近0.4時，試驗停止，此時t1值為0.01。可以得出，在超聲疲勞試驗過程中，由于彈性模量的變化，溫度對裂紋擴展起到小幅度的促進作用。

鑒于疲勞試驗中溫度對裂紋擴展的影響，在應力強度因子計算中引入溫度影響修正函數F（a／W），基于公式（7），對已有的ΔK的解析計算公式進行修正，得到考慮溫度對彈性模量影響的應力強度因子的計算公式：

式中：Am為試樣工作時的振動幅值；F（a／W）是試樣溫度影響修正函數；a為擴展裂紋長度。根據試驗數據和數值分析結果，可得到ΔK與F（a／W）的數據分布，將之用多項式擬合，確定F（a／W）為：

該式可用于初步計算鎳基合金超聲疲勞試驗變截面試樣考慮溫度對彈性模量影響下的裂尖應力強度因子。

3.3 熱膨脹效應影響分析

鎳基合金件在20～400℃下的熱膨脹系數α為16.6（單位：10－6／K），根據熱應變物理公式：

式中：ΔL為膨脹量，t1，t0為變化后的溫度和初始溫度，l為初始長度。裂紋尖端的最高溫度可達260℃，試樣長度為113.6mm，此時試樣的總位移變化量ΔL為0.37mm左右，是試樣工作振幅的65倍，這將在一定程度上影響疲勞裂紋擴展。

由于變截面試樣形狀和溫度載荷分布不規(guī)則，本工作建立有限元模型進行數值分析，計算了超聲疲勞試樣溫度場變化與裂紋擴展的關系。研究熱膨脹效應對裂紋擴展的影響，得到考慮熱膨脹效應下的裂尖應力強度因子隨裂紋擴展變化規(guī)律。如圖9所示，在熱膨脹效應的影響下，裂尖應力強度因子明顯下降。將熱膨脹效應的影響量記為影響因子t2，可以得到如圖10所示的分布曲線，可知該影響因子較大，在裂紋萌生初期影響因子達到0.23，隨著裂紋擴展，影響系數逐漸降低，在裂紋穩(wěn)定擴展階段影響因子為0.16左右。影響因子t2隨裂紋擴展的分布規(guī)律可用多項式（13）描述：

圖9 考慮熱膨脹效應影響下ΔK－a／WFig.9 a／W－ΔKconsidering the thermal expansion effect

圖10 影響因子t2隨裂紋長度a／W 的分布Fig.10 The influence factor t2varies with a／W

分析裂尖應力強度因子下降原因，是由于試樣中的溫度分布呈現以裂尖為動態(tài)熱源，溫度向周圍輻射降低，熱膨脹引起的熱應力在裂尖處起到極大的壓應力作用，裂尖應力強度因子下降，從而導致試樣裂紋尖端塑性區(qū)域減小，減緩疲勞裂紋擴展速率。

根據試驗數據和數值分析結果，考慮熱膨脹效應影響下，公式（9）中的溫度影響修正函數F（a／W）可描述為：

該式可用于初步計算鎳基合金超聲疲勞試驗變截面試樣考慮熱膨脹效應影響下的裂尖應力強度因子。

3.4 超聲疲勞裂紋擴展模型

應用有限元數值分析得到的ΔK數據與超聲疲勞試驗獲得的裂紋擴展da／dN，建立da／dN－ΔK 模型，并采用數學規(guī)劃法，以r最大為原則，擬合 Walker－Paris，Elber，Arrhenius三種裂紋擴展方程，獲得三種模型的描述結果如下：

（1）Walker－Paris模型方程：

（2）Elber模型方程：

（3）Arrhenius模型方程：

其中激活能Q0由試驗數據可推算得到82379J·mol－1，氣體常數R 取為8.31J（mol·K）－1。以上三個方程擬合試驗數據的相關系數r分別為0.9152，0.9658和0.9163，對數據的表征效果如圖11。根據相關系數和表征圖可以得到：

（1）Walker方程為直線，向上不能描述高ΔK范圍數據，疲勞壽命預測偏于危險，向下不能描述門檻值ΔKth附近裂紋擴展行為，壽命過于保守，且相關系數偏小，精確度低。

（2）Elber方程可較好描述近門檻值附近的裂紋擴展行為，相關系數也較高，與試驗數據擬合較好，但不能表征溫度對裂紋擴展行為的影響。

圖11 基于Elber，Arrhenius及新模型的鎳基合金裂紋擴展速率Fig.11 The crack propagation rate of nickel－based alloy obtained by new model comparing with Elber and Arrhenius models

（3）Arrhenius方程曲線非常接近于 Walker模型，同樣只能描述裂紋擴展第二階段的行為，但它引入了溫度T和激活能Q0等參數，可有效應用于溫度影響情況下的裂紋擴展速率研究，但相關系數偏低。

因此，要研究溫度對超聲疲勞裂紋的影響，需要同時具有近裂紋門檻值描述能力和表征溫度影響特性的疲勞裂紋擴展模型。

綜合考慮Elber模型和Arrhenius模型，提出如下新的疲勞裂紋擴展模型：

根據試驗數據分析得到鎳基合金超聲疲勞裂紋擴展速率的新模型：

如圖11所示，式（19）對試驗數據擬合的相關系數為r＝0.966。新模型能夠準確描述短裂紋和裂紋穩(wěn)定擴展兩個階段的裂紋擴展行為，且包含溫度T和激活能Q0參數，既能表征溫度對疲勞試驗的影響，更能準確描述門檻值附近裂紋的擴展行為。

上述裂紋擴展模型中，應力強度因子（ΔK）的計算沒有考慮溫度變化對材料彈性模量和熱膨脹效應的影響，為研究超聲疲勞實驗中的熱效應對裂紋擴展行為的影響，計算了超聲疲勞實驗條件下，動態(tài)彈性模量及熱膨脹系數變化對應力強度因子的影響，給出了考慮彈性模量變化及熱膨脹效應下的關系（如圖12），建立了新的超聲疲勞裂紋擴展模型，測定了新模型參數。

圖12 鎳基合金超聲疲勞裂紋擴展模型Fig.12 Ultrasonic fatigue crack propagation model of nickel－based alloy

考慮彈性模量影響下的新模型方程：

考慮熱膨脹效應影響下的新模型方程：

鎳基合金超聲疲勞疲勞裂紋擴展新模型顯示，在裂尖高溫影響下，彈性模量的減小使得裂紋模型中C1減小，C2增加，幅度都比較小，說明在實際裂紋擴展率下，裂尖ΔK要比理論值大，起到促進裂紋擴展的作用。而熱膨脹效應的影響下，裂尖在熱應力的作用下一直承受壓應力的作用，裂紋擴展方程描述時直接表現為C1顯著增加和C2值的明顯降低，裂尖ΔK較理論值大，且幅度較大，影響不可忽略。

4 結論

（1）試驗測得了鎳基合金動態(tài)彈性模量隨溫度變化規(guī)律，通過試驗測定了超聲疲勞載荷下，裂紋門檻值附近短裂紋以10－8mm／cycle的速率擴展。

（2）超聲疲勞試驗過程中，裂紋擴展引起的溫升變化會使材料動態(tài)彈性模量逐漸減小，使得裂尖應力強度因子有了小幅度的增加，促進裂紋擴展。疲勞試樣內部呈梯度分布的溫度由于熱膨脹效應會在裂尖處產生顯著的壓應力作用，導致裂紋閉合程度加深，裂尖應力強度因子減小，明顯抑制裂紋擴展。

（3）本工作提出的Arrhenius修改模型充分考慮超聲疲勞裂紋擴展過程中溫度變化及高頻加載特點，該壽命預測模型更符合超聲疲勞實際加載狀態(tài)，可以準確地描述承受高頻載荷結構材料的裂紋擴展壽命預測。

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