基于相平面法的變PID控制算法

楊 樂，樊澤明，王惠萌，閆鴻雁

（1.西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院，陜西 西安 710129；2.西北工業(yè)大學(xué)航海學(xué)院，陜西 西安 710129）

0 引言

PID 控 制 器 （proportional integral derivative controller，亦稱PID調(diào)節(jié)器）是目前控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的一種常規(guī)控制器，具有原理簡單、易于實現(xiàn)、魯棒性強等優(yōu)點。在工業(yè)過程控制中，PID類型的控制技術(shù)占有主導(dǎo)地位［1－2］。

PID控制器由比例單元P、積分單元I和微分單元D組成，通過Kp，Ki和Kd三個參數(shù)設(shè)定。PID控制器主要適用于基本線性和動態(tài)特性不隨時間變化的系統(tǒng)［3］。但傳統(tǒng)的數(shù)字PID控制算法針對某些非線性和動態(tài)特性差的系統(tǒng)，控制效果并不理想。本文針對此問題，提出了基于相平面法的變PID控制算法。

1 PID控制算法簡介

在計算機控制算法中，經(jīng)常用到理想微分的PID控制算法［4］。該控制算法是對連續(xù)生產(chǎn)過程中的PID控制算法進行離散化而得到的。在連續(xù)域中PID控制器的表達式［5］見公式（1）。

式（1）中：u為控制量；Kp，Ki和Kd為分別為比例、積分和微分參數(shù)；e為偏差。

對該式進行離散化，可分別得到位置型和增量型的理想微分的PID控制算法［5］。位置型算法見公式（2），增量型算法見公式（3）。

由于該離散差分方程是由一階差分近似法得到的，所以變換精度較差，變換后系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和頻率特性都有較大的差別，因此仍有很多待改進的地方。特別是在系統(tǒng)的動態(tài)特性較差的時候，傳統(tǒng)PID控制算法的運算結(jié)果并不理想；另一方面，積分項的不穩(wěn)定性，也使得控制器在穩(wěn)態(tài)誤差減小的同時，動態(tài)性能和穩(wěn)定性變差；同時，傳統(tǒng)的PID算法自始至終都使用相同的控制算法來進行控制，缺少相應(yīng)的對應(yīng)性，也使得系統(tǒng)的整體性能并不理想。

通過利用相平面分析法對傳統(tǒng)的PID算法進行了改進，得到了基于相平面法的PID變策略算法，這種算法利用相平面圖像對系統(tǒng)的響應(yīng)過程進行實時分析，在系統(tǒng)的不同狀態(tài)下使用不同的控制策略，達到“對癥下藥”效果，消除了傳統(tǒng)PID算法積分項帶來的不穩(wěn)定性，避免了傳統(tǒng)PID算法缺少對應(yīng)性的問題，使整個系統(tǒng)性能大幅提升。

2 基于相平面法的變PID控制算法

2.1 控制誤差的相平面法分析

相平面法（phase plane method）是 Poincare H于1885年首先提出來的，它是求解一、二階線性或非線性系統(tǒng)的一種圖解法，通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡，比較直觀、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度［6］。該方法主要用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性［7］。

以系統(tǒng)的誤差為橫坐標(biāo)，誤差的導(dǎo)數(shù)為縱坐標(biāo)（在相平面中分別用e和e′表示），可以利用相平面圖描繪出系統(tǒng)的響應(yīng)過程，根據(jù)響應(yīng)過程的不同階段，可以將相平面劃分成若干區(qū)域［8］，如圖1所示。

如果用M表示誤差上下界，ε和ε′分別表示e和e′要求的精度，根據(jù)一般系統(tǒng)的響應(yīng)，可對系統(tǒng)在不同時刻所處于的相平面的不同區(qū)域作以下分析［9］：

1）當(dāng)系統(tǒng)處于C1或C2區(qū)域時，即｜e（k）｜＞M時，表明系統(tǒng)誤差很大，此時應(yīng)該使系統(tǒng)誤差盡可能快地減小。

2）當(dāng)系統(tǒng)處于C3區(qū)域時，即e（k）＜ε且e′（k）＜ε′時，表明系統(tǒng)已經(jīng)達到控制要求，此時應(yīng)該保持該狀態(tài)，使系統(tǒng)誤差保持在規(guī)定范圍內(nèi)。

3）當(dāng)系統(tǒng)處于C4到C9區(qū)域時，表明系統(tǒng)正在趨于一個由誤差較大到規(guī)定誤差范圍內(nèi)的過程中（系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下），在該過程中根據(jù)e（k）／e′（k）的大小，對系統(tǒng)響應(yīng)的不同時刻的誤差特征進行分類，確定該時刻系統(tǒng)所在的相平面，根據(jù)所在的相平面采用不同的控制策略。

圖1 相平面區(qū)域的劃分Fig.1 The division of phase plane area

2.2 基于相平面法的變PID控制算法簡介

一般的被控對象都具有自平衡能力，在控制過程中不同時間段會有不同的特征，通過對這些特征的分析，可以改變PID控制算法的控制策略［10］。即，可以通過其響應(yīng)的不同階段，反映在相平面的不同區(qū)域，采用P（比例）控制，PI（比例、積分）控制，PD（比例、微分）控制和PID（比例、積分、微分）控制等不同策略，對當(dāng)前情況進行控制，以達到比例、積分、微分三個控制項的最優(yōu)化利用。其算法的控制過程［11］，如圖2所示。

圖2 PID控制過程框圖Fig.2 PID control process block diagram

2.3 基于相平面法的變PID控制算法設(shè)計

由于系統(tǒng)在不同的響應(yīng)階段需要有不同的控制算法，通過對每個控制周期的誤差進行分析，得到相應(yīng)的控制效果最好的控制策略，并確定該時刻的控制算法：

1）若誤差值的絕對值大于設(shè)定誤差閾值M，即｜e（k）｜＞M時，說明系統(tǒng)處于C1或C2區(qū)，這時控制器應(yīng)該采用最大（或最?。┹敵?，使系統(tǒng)以最快速度減小當(dāng)前誤差。

2）若誤差值和誤差導(dǎo)數(shù)值同時小于目標(biāo)誤差，即e（k）＜ε且e′（k）＜ε′時，說明系統(tǒng)處于C1區(qū)，表明系統(tǒng)誤差已經(jīng)達到控制系統(tǒng)的精度要求，這時控制器使用PI控制，引入積分控制以控制穩(wěn)態(tài)誤差。

3）在穩(wěn)定過程中，若系統(tǒng)處于C4區(qū)，說明此時誤差相對較大，仍使用全功率輸出可能會造成超調(diào)過大；同時，C4區(qū)沒有引入積分項和微分項，是由于在誤差大的情況下引入積分項可能導(dǎo)致積分飽和，影響系統(tǒng)的動態(tài)性能；過早地引入微分也會使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定，因此只采用比例控制，即P控制。

4）C5和C8兩個區(qū)域同處于一個誤差和誤差導(dǎo)數(shù)不是很大的范圍，因此采用PID控制，這樣可以有效避免由于積分分離而導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生過大的殘差。

5）C6和C7兩個區(qū)域同處于一個誤差的導(dǎo)數(shù)較大而誤差較小的范圍，在此范圍加入微分項可以有效抑制系統(tǒng)的超調(diào)，使得系統(tǒng)的超調(diào)有所減小。

6）C9區(qū)域是一個有較大反向誤差的區(qū)域，在此引入PI控制可以達到消除積分飽和的目的，減小積分項的累積量，使得系統(tǒng)的快速性有所改善。

綜上所述，各個相平面區(qū)域的控制模式見表1。表1中，U表示當(dāng)前控制量的輸出；e（k）表示該時刻系統(tǒng)誤差，e（k－1）表示上一個控制周期的系統(tǒng)誤差，e（k－2）類推。

表1 各個相平面區(qū)域的控制模式Tab.1 The control mode of each phase plane area

3 Matlab仿真設(shè)計

3.1 控制對象

系統(tǒng)的離散方程組見公式（4）。

式（4）中：e（k）—k時刻的偏差；r（k）—k時刻的輸入量；y（k）—k時刻的輸出量；u（k）—k時刻的控制量。

對同一系統(tǒng)使用不同的控制方案進行控制分析，選取相同的Kp，Ki和Kd參數(shù)進行仿真控制，并對結(jié)果進行對比分析。

3.2 實驗結(jié)果及分析

3.2.1 比例項實驗

選取Kp＝10，Ki＝0，Kd＝0，得到的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 Kp＝10，Ki＝0，Kd＝0時的仿真結(jié)果Fig.3 The simulation result when Kp ＝10，Ki ＝0，Kd ＝0

由圖3可以看到，如果僅使用P控制，相平面PID和普通PID動態(tài)性能相當(dāng)，但穩(wěn)態(tài)誤差有所減少，說明當(dāng)僅有P控制時，該控制器性能相對優(yōu)越。

3.2.2 積分項實驗

圖4 Kp＝10，Ki＝0.15，Kd＝0時的仿真結(jié)果Fig.4 The simulation result when Kp ＝10，Ki＝0.15，Kd＝0

選取Kp＝10，Ki＝0.15，Kd＝0，得到的仿真結(jié)果如圖4所示。由圖4可見，該控制狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)誤差較大，為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，又引入了積分項進行控制。當(dāng)控制器引入積分項時，普通PID控制系統(tǒng)發(fā)生明顯的震蕩，動態(tài)性能變差，但相平面的PID控制器控制動態(tài)性能好，超調(diào)小，調(diào)節(jié)時間短。

進一步增加積分項，選取Kp＝10，Ki＝0.3，Kd＝0，得到的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 Kp＝10，Ki＝0.3，Kd＝0時的仿真結(jié)果Fig.5 The simulation result when Kp＝10，Ki＝0.3，Kd＝0

由圖5可見，普通PID控制器已經(jīng)發(fā)散，不能達到控制效果，而相平面的PID控制器控制效果仍然良好。當(dāng)普通PID控制器有較大改變時，偏差較大，在積分項的作用下，往往會產(chǎn)生過大超調(diào)和長時間波動，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定；而相平面PID控制器采用了積分分離，這樣就使得僅當(dāng)誤差相對較小時才引入積分項，對普通PID的積分項進行了改進。

3.2.3 微分項實驗

選取Kp＝10，Ki＝0.15，Kd＝3，得到的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 Kp＝10，Ki＝0.15，Kd＝3時的仿真結(jié)果Fig.6 The simulation result when Kp ＝10，Ki＝0.15，Kd ＝3

由圖6可見，該控制狀態(tài)下的動態(tài)性能還不是很理想，為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，再加入微分項。選取Kp＝10，Ki＝0.2，Kd＝8，得到的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 Kp＝10，Ki＝0.2，Kd＝8時的仿真結(jié)果Fig.7 The simulation result when Kp ＝10，Ki＝0.2，Kd＝8

由圖7可見，加入微分項，使得控制系統(tǒng)的動態(tài)特性有所增強，當(dāng)持續(xù)增大微分項時，雖然相平面的PID控制超調(diào)會比普通PID控制大，但此過程中，普通PID控制器的控制曲線向右移動，動態(tài)性能變差，而相平面PID非但不會，反而震蕩幅值變小。

4 結(jié)論

通過對系統(tǒng)響應(yīng)的不同時段進行相應(yīng)的誤差分析，得到了一種基于相平面的變PID控制算法，該算法通過系統(tǒng)所處的不同時刻，采用不同的控制策略，其性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。并對兩種算法進行了仿真對比，得到以下結(jié)論：

1）改進的控制器相對于普通PID控制器有更好的穩(wěn)定性，對積分項的處理優(yōu)于傳統(tǒng)PID，積分項的分離也使得控制器在消除靜態(tài)誤差時的能力更強，并且不存在殘差，其控制效果明顯優(yōu)于普通PID控制。

2）該算法可以根據(jù)控制人員的不同需要，靈活地改變M，ε和相平面區(qū)域線的斜率等的大小，從而達到不同的控制精度，同時使得控制方法和控制手段更加靈活，針對某些非線性和動態(tài)特性差的系統(tǒng)有更好的適應(yīng)性，可滿足不同工程的控制需求。

3）根據(jù)控制的不同需要，控制人員可以自行設(shè)定相平面中不同區(qū)域的控制策略，這就使得該控制算法的改進方式更多，且改進簡單易行，以便適應(yīng)不同工程領(lǐng)域的不同控制特點。

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