主瓣約束下的零陷加深波束形成算法

李鵬飛，劉 喆，陶業(yè)榮，謝 軻

（中國洛陽電子裝備試驗中心，河南 洛陽 471003）

0 引言

基于陣列信號處理的波束形成技術(shù)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信、聲納等領(lǐng)域［1－4］。隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展，空間的電磁信號環(huán)境日益復(fù)雜。波束形成技術(shù)成為在復(fù)雜戰(zhàn)場環(huán)境下對抗強(qiáng)信號干擾的有效手段之一，它能夠根據(jù)干擾信號的波達(dá)方向在天線方向圖上形成零陷來抵消干擾。J.Capon［5］基于最小方差無畸變響應(yīng)準(zhǔn)則，提出一種叫做MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）的波束形成器，該波束形成器能根據(jù)干擾信號的波達(dá)方向自適應(yīng)地在干擾方向形成零陷來抵消干擾。隨后，Reed等［6］提出著名的采樣協(xié)方差矩陣求逆（SMI）方法來實現(xiàn)MVDR波束形成器，成為波束形成領(lǐng)域最經(jīng)典的算法之一。SMI算法雖然能在干擾方向形成一個穩(wěn)定的零陷，但是協(xié)方差矩陣包含期望信號信息，特別是在快拍較少時，協(xié)方差矩陣的估計存在誤差而形成一個病態(tài)矩陣，產(chǎn)生的方向圖零陷的深度不足，旁瓣電平較高［7］。同時SMI方法很難對主瓣的寬度進(jìn)行控制，設(shè)計方法的靈活性不夠。針對這些問題，本文提出了一種基于凸優(yōu)化的主瓣約束下的零陷加深波束形成算法。

1 背景和信號模型

假設(shè)M元均勻線陣，在t時刻陣列接收到的信號為：

其中xs（t），xi（t），n（t）分別是統(tǒng)計獨(dú)立的期望信號、干擾信號和噪聲。xs（t）＝as（t），s（t）是期望信號波形，a是期望信號的實際導(dǎo)向矢量。自適應(yīng)波束形成器的輸出

其中w＝［w1，…，wM］T∈CM是波束形成權(quán)值復(fù)向量，（·）T和（·）H分別代表矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

基于輸出功率最小準(zhǔn)則，則自適應(yīng)波束形成可以寫成以下優(yōu)化問題：

理論上最優(yōu)的波束形成器輸出權(quán)值為：

其中Ri＋n是干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，在實際條件下無法得到Ri＋n，通常用Rx的估計值來代替，即通過多次快拍采樣 X（i）XH（i）求平均來完成，N 為快拍數(shù)，則Rx的估計值可以表示為：

一般情況下，都是采用樣本矩陣直接求逆的方法（SMI），其解為：

2 主瓣約束下的零陷加深波束形成算法

2.1 算法原理

通過式（6）樣本矩陣直接求逆的方法雖然能夠得到波束形成器的輸出權(quán)值，但是該方法利用陣列接收信號的協(xié)方差矩陣來近似代替干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣，會造成零陷的深度不夠，同時采用上述的方法形成的波束，很難對主瓣的寬度進(jìn)行控制。因此論文提出了一種新的零陷加深自適應(yīng)波束形成算法，主要思想是構(gòu)建副瓣電平和零陷電平的聯(lián)合凸函數(shù)，最后利用序列二次規(guī)劃凸函數(shù)得到最優(yōu)的波束形成權(quán)值，算法描述如下。

假設(shè)期望信號的波達(dá)方向為θ，主瓣寬度為Δθ，干擾信號的波達(dá)方向是φ。定義As＝ ［a1，…，aθ－0.5Δθ，aθ＋0.5Δθ，…，a360］，表示副瓣所有方向?qū)蚴噶拷M成的矩陣。為了使副瓣電平盡可能的低，可以建立下面的目標(biāo)函數(shù)：

考慮到干擾信號，需要在其入射方向上形成一個較低的零陷來抵消干擾?？梢越⑷缦碌哪繕?biāo)函數(shù)：

基于零陷和副瓣電平最小準(zhǔn)則，則自適應(yīng)波束形成可以寫成以下優(yōu)化問題：

式（9）是一個凸優(yōu)化［8］問題，可以使用內(nèi)點法進(jìn)行有效地求解。

2.2 算法流程

至此，算法流程總結(jié)如下：

1）根據(jù)期望信號的波達(dá)方向和主瓣寬度構(gòu)造副瓣導(dǎo)向矢量矩陣As。

2）估計干擾信號的波達(dá)方向φ，并根據(jù)陣列結(jié)構(gòu)生成干擾方向的導(dǎo)向矢量aφ。

3）根據(jù)式（9）將波束形成問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題。

4）利用內(nèi)點法對第3）步建立的優(yōu)化問題求解得到波束形成的最優(yōu)權(quán)系數(shù)w。

3 仿真實驗

為了驗證理論分析的正確性和算法的有效性，進(jìn)行了如下的仿真實驗。仿真實驗中假設(shè)陣列為半波長均勻線陣，陣元數(shù)M＝30，噪聲為零均值的高斯白噪聲。

實驗一：不同主瓣寬度下的波束形成

假設(shè)干擾信號的波達(dá)方向為60°，信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）為30dB，期望信號的方向角為100°?？炫臄?shù)N＝500，實驗結(jié)果來自1 000次獨(dú)立的蒙特卡洛實驗。圖1和圖2是不同主瓣寬度下的陣列方向圖。

圖1 主瓣寬度為20°時的方向圖Fig.1 The pattern when the width ofmain lobe is 20°

從圖1和圖2可以看出，和SMI方法相比本文方法能形成更低的零陷電平，比SMI方法形成的零陷加深了100多dB，并且對于副瓣電平的控制明顯優(yōu)于SMI方法。本文方法將波束形成問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，因此對于主瓣寬度的控制較為靈活，可以保證主瓣在一定寬度下干擾方向形成零陷，而SMI方法則無法對主瓣寬度進(jìn)行約束。

對比圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)主瓣寬度較大時，副瓣電平能控制的較低，同時形成的零陷也較深。

圖2 主瓣寬度為10°時的方向圖Fig.2 The pattern when the width ofmain lobe is 10°

實驗二：主瓣內(nèi)存在干擾的方向圖

假設(shè)期望信號的波達(dá)方向為100°，主瓣寬度為20°，在主瓣內(nèi)存在一干擾信號，其入射方向為105°。信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為10dB，干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）為30dB?？炫臄?shù)N＝500，圖3為主瓣內(nèi)存在干擾時形成的方向圖。

從圖3可以看出，本文方法能夠保證主瓣形狀基本不變的情況下，在主瓣內(nèi)（105°）形成一個較深的零陷，同時對副瓣電平抑制的較好，優(yōu)于SMI方法。

圖3 主瓣內(nèi)存在干擾的方向圖Fig.3 The pattern with interfering signals in main lobe

實驗三：不同信、干噪比下波束形成

假設(shè)干擾信號的波達(dá)方向為60°，期望信號的波達(dá)方向為100°，主瓣寬度為20°?？炫臄?shù)N＝500。圖4—圖6是不同信、干噪比下的陣列方向圖。

從圖4—圖6可以看出，SMI方法形成的波束受SNR和INR影響較大，當(dāng)INR較大時能形成較深的零陷。由于SMI方法利用陣列接收信號的協(xié)方差矩陣來近似代替干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣，當(dāng)SNR大于INR時，在期望方向不能形成主瓣，并且零陷深度較淺（如圖6所示）。而本文方法受SNR和INR的影響較小。

4 結(jié)論

本文聯(lián)合副瓣電平和零陷電平建立凸目標(biāo)函數(shù)，提出一種主瓣約束下的零陷加深波束形成算法。該方法建立副瓣導(dǎo)向矢量矩陣靈活地對主瓣的寬度進(jìn)行設(shè)計、利用干擾方向的導(dǎo)向矢量建立的最小化目標(biāo)函數(shù)實現(xiàn)了零陷的加深。理論分析和仿真實驗證明了本文方法不需要估計陣列的協(xié)方差矩陣，在設(shè)計的靈活度、副瓣電平控制、零陷深度等方面明顯優(yōu)于SMI方法，非常適合于強(qiáng)干擾下的波束形成。下一步將對陣列存在誤差情況下的魯棒波束形成算法展開研究。

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［6］Reed L S，Mallett J D.Rapid convergence rate in adaptive arrays.IEEE Trans on Aerospace Electronics System［J］.1974，10（6）：853－863.

［7］Miller T W.Introduction to adaptive arrays［M］.US：John Wiley and Sons Inc.，1980.

［8］博賽無斯.凸優(yōu)化理論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2011.