方程根的解法探究

趙中華

題目 已知函數(shù)f（x）=lnx+x，g（x）=ax-x-1（a>；0）.

（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；

（Ⅱ）對(duì)于正實(shí)數(shù)m，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，求m的值.

這是高三周測(cè)試題，對(duì)于第（Ⅰ）問學(xué)生都能掌握，第（Ⅱ）問能做完整的學(xué)生卻寥寥無(wú)幾，但是呈現(xiàn)了學(xué)生從不同思維角度的三種常見解法，筆者將過程整理如下：

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1 （作差構(gòu)造函數(shù)）考慮方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化成函數(shù)h（x）=x2-2mf（x）有唯一的零點(diǎn).

令h（x）=x2-2mf（x）=x2-2mlnx-2mx（x>；0），則h′（x）=2x-2mx-2m=2x2-2mx-2mx=2（x2-mx-m）x.

令M（x）=x2-mx-m，易知函數(shù)M（x）恒過（0，-m）.依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)存在定理知：存在唯一的x0>；0滿足h′（x0）=2（x20-mx0-m）x0=0，即：x20-mx0-m=0. ①

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞所以要使函數(shù)h（x）在（0，+∞）有唯一的零點(diǎn)，只需滿足h（x0）=0.

即x20-2mlnx0-2mx0=0. ②

由①②可得，2lnx0+x0=1，解得x0=1，代入①式，m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法思路自然，大部分學(xué)生在考場(chǎng)中也是這樣來(lái)處理的，但最終都無(wú)功而返，究其原因，主要是令h′（x）=0時(shí)，解得x1=m+m2+4m2，x2=m-m2+4m2（舍），再求h（x1）=0時(shí)帶來(lái)了計(jì)算困難，不得已而放棄，因此采用了“虛擬設(shè)根，整體轉(zhuǎn)換”方法處理，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的！這種方法告訴我們，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求，甚至有時(shí)不可求時(shí)，采用虛擬設(shè)根的方法“繞道而行”.所謂的虛擬設(shè)根，并非導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不存在，相反而是先判斷零點(diǎn)存在，只是求解過程復(fù)雜（甚至有時(shí)無(wú)法具體解出x0，例如2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（2）問在解答過程中需要求函數(shù)h′（x）=ex-1x+2的零點(diǎn)），既然如此，可以不必正面強(qiáng)求，而是虛設(shè)其零點(diǎn)為x0，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)化和過度.讀者可以體會(huì)一下此方法在高考題目中的作用：

1.（2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（Ⅱ）問）

已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>；0.

2.（2012年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷文科第21題第（Ⅱ）問）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>；0時(shí)，（x-k）·f′（x）+x+1>；0，求k的最大值.

解法2 （分離常數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想）

當(dāng)f（x）=0時(shí)，即lnx+x=0，顯然不符合題意：

當(dāng)f（x）≠0時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，等價(jià)于2m=x2lnx+x有唯一實(shí)數(shù)根.令h（x）=x2lnx+x （x>；0），則h′（x）=x（2lnx+x-1）（lnx+x）2，顯然x=1是導(dǎo)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（1）是函數(shù)h（x）極小值也是它的最小值，又可證當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以原命題等價(jià)于函數(shù)y=2m與函數(shù)h（x）圖象在（0，+∞）有唯一的交點(diǎn)，所以2m=h（1）=1，解得m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)一個(gè)問題的表面看起來(lái)很復(fù)雜時(shí)，能否利用與其對(duì)應(yīng)的等價(jià)命題來(lái)處理就顯得難能可貴了，本題將方程有唯一實(shí)數(shù)根問題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而優(yōu)化了解題過程.

解法3 （數(shù)形結(jié)合的思想）由方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可得12mx2-x=lnx.

記M（x）=12mx2-x，N（x）=lnx，則上述問題等價(jià)于M（x）與N（x）的圖象有唯一的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則由題意知：M′（x0）=N′（x0），

M（x0）=N（x0），即1mx0-1=1x0，

12mx20-x0=lnx0，

化簡(jiǎn)得2lnx0+x0=1，顯然此方程只有一個(gè)根x0=1，此時(shí)m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀，將研究的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)，從函數(shù)圖象上清晰呈現(xiàn)了方程的唯一實(shí)根即為兩圖象相切這一幾何形態(tài)，但是無(wú)論哪種解法都沒有繞開解超越方程：2lnx+x-1=0，顯然y=2lnx+x-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，x=1是方程的唯一實(shí)數(shù)根.

總之，數(shù)學(xué)能力的提高歸根結(jié)底還是解題能力的提高，一題多解并不是目的.目的是通過思想方法的逐一呈現(xiàn)，從學(xué)生最易上手的方式方法入手，逐步逐級(jí)給予引導(dǎo)與批判，不畏艱難，不斷優(yōu)化解題思維品質(zhì)，從而最終達(dá)到提升自身解題的能力.

題目 已知函數(shù)f（x）=lnx+x，g（x）=ax-x-1（a>；0）.

（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；

（Ⅱ）對(duì)于正實(shí)數(shù)m，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，求m的值.

這是高三周測(cè)試題，對(duì)于第（Ⅰ）問學(xué)生都能掌握，第（Ⅱ）問能做完整的學(xué)生卻寥寥無(wú)幾，但是呈現(xiàn)了學(xué)生從不同思維角度的三種常見解法，筆者將過程整理如下：

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1 （作差構(gòu)造函數(shù)）考慮方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化成函數(shù)h（x）=x2-2mf（x）有唯一的零點(diǎn).

令h（x）=x2-2mf（x）=x2-2mlnx-2mx（x>；0），則h′（x）=2x-2mx-2m=2x2-2mx-2mx=2（x2-mx-m）x.

令M（x）=x2-mx-m，易知函數(shù)M（x）恒過（0，-m）.依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)存在定理知：存在唯一的x0>；0滿足h′（x0）=2（x20-mx0-m）x0=0，即：x20-mx0-m=0. ①

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞所以要使函數(shù)h（x）在（0，+∞）有唯一的零點(diǎn)，只需滿足h（x0）=0.

即x20-2mlnx0-2mx0=0. ②

由①②可得，2lnx0+x0=1，解得x0=1，代入①式，m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法思路自然，大部分學(xué)生在考場(chǎng)中也是這樣來(lái)處理的，但最終都無(wú)功而返，究其原因，主要是令h′（x）=0時(shí)，解得x1=m+m2+4m2，x2=m-m2+4m2（舍），再求h（x1）=0時(shí)帶來(lái)了計(jì)算困難，不得已而放棄，因此采用了“虛擬設(shè)根，整體轉(zhuǎn)換”方法處理，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的！這種方法告訴我們，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求，甚至有時(shí)不可求時(shí)，采用虛擬設(shè)根的方法“繞道而行”.所謂的虛擬設(shè)根，并非導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不存在，相反而是先判斷零點(diǎn)存在，只是求解過程復(fù)雜（甚至有時(shí)無(wú)法具體解出x0，例如2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（2）問在解答過程中需要求函數(shù)h′（x）=ex-1x+2的零點(diǎn)），既然如此，可以不必正面強(qiáng)求，而是虛設(shè)其零點(diǎn)為x0，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)化和過度.讀者可以體會(huì)一下此方法在高考題目中的作用：

1.（2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（Ⅱ）問）

已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>；0.

2.（2012年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷文科第21題第（Ⅱ）問）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>；0時(shí)，（x-k）·f′（x）+x+1>；0，求k的最大值.

解法2 （分離常數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想）

當(dāng)f（x）=0時(shí)，即lnx+x=0，顯然不符合題意：

當(dāng)f（x）≠0時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，等價(jià)于2m=x2lnx+x有唯一實(shí)數(shù)根.令h（x）=x2lnx+x （x>；0），則h′（x）=x（2lnx+x-1）（lnx+x）2，顯然x=1是導(dǎo)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（1）是函數(shù)h（x）極小值也是它的最小值，又可證當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以原命題等價(jià)于函數(shù)y=2m與函數(shù)h（x）圖象在（0，+∞）有唯一的交點(diǎn)，所以2m=h（1）=1，解得m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)一個(gè)問題的表面看起來(lái)很復(fù)雜時(shí)，能否利用與其對(duì)應(yīng)的等價(jià)命題來(lái)處理就顯得難能可貴了，本題將方程有唯一實(shí)數(shù)根問題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而優(yōu)化了解題過程.

解法3 （數(shù)形結(jié)合的思想）由方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可得12mx2-x=lnx.

記M（x）=12mx2-x，N（x）=lnx，則上述問題等價(jià)于M（x）與N（x）的圖象有唯一的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則由題意知：M′（x0）=N′（x0），

M（x0）=N（x0），即1mx0-1=1x0，

12mx20-x0=lnx0，

化簡(jiǎn)得2lnx0+x0=1，顯然此方程只有一個(gè)根x0=1，此時(shí)m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀，將研究的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)，從函數(shù)圖象上清晰呈現(xiàn)了方程的唯一實(shí)根即為兩圖象相切這一幾何形態(tài)，但是無(wú)論哪種解法都沒有繞開解超越方程：2lnx+x-1=0，顯然y=2lnx+x-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，x=1是方程的唯一實(shí)數(shù)根.

總之，數(shù)學(xué)能力的提高歸根結(jié)底還是解題能力的提高，一題多解并不是目的.目的是通過思想方法的逐一呈現(xiàn)，從學(xué)生最易上手的方式方法入手，逐步逐級(jí)給予引導(dǎo)與批判，不畏艱難，不斷優(yōu)化解題思維品質(zhì)，從而最終達(dá)到提升自身解題的能力.

題目 已知函數(shù)f（x）=lnx+x，g（x）=ax-x-1（a>；0）.

（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；

（Ⅱ）對(duì)于正實(shí)數(shù)m，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，求m的值.

這是高三周測(cè)試題，對(duì)于第（Ⅰ）問學(xué)生都能掌握，第（Ⅱ）問能做完整的學(xué)生卻寥寥無(wú)幾，但是呈現(xiàn)了學(xué)生從不同思維角度的三種常見解法，筆者將過程整理如下：

解 （Ⅰ）略.

（Ⅱ）解法1 （作差構(gòu)造函數(shù)）考慮方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可轉(zhuǎn)化成函數(shù)h（x）=x2-2mf（x）有唯一的零點(diǎn).

令h（x）=x2-2mf（x）=x2-2mlnx-2mx（x>；0），則h′（x）=2x-2mx-2m=2x2-2mx-2mx=2（x2-mx-m）x.

令M（x）=x2-mx-m，易知函數(shù)M（x）恒過（0，-m）.依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)存在定理知：存在唯一的x0>；0滿足h′（x0）=2（x20-mx0-m）x0=0，即：x20-mx0-m=0. ①

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，又當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞所以要使函數(shù)h（x）在（0，+∞）有唯一的零點(diǎn)，只需滿足h（x0）=0.

即x20-2mlnx0-2mx0=0. ②

由①②可得，2lnx0+x0=1，解得x0=1，代入①式，m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法思路自然，大部分學(xué)生在考場(chǎng)中也是這樣來(lái)處理的，但最終都無(wú)功而返，究其原因，主要是令h′（x）=0時(shí)，解得x1=m+m2+4m2，x2=m-m2+4m2（舍），再求h（x1）=0時(shí)帶來(lái)了計(jì)算困難，不得已而放棄，因此采用了“虛擬設(shè)根，整體轉(zhuǎn)換”方法處理，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的目的！這種方法告訴我們，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求，甚至有時(shí)不可求時(shí)，采用虛擬設(shè)根的方法“繞道而行”.所謂的虛擬設(shè)根，并非導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不存在，相反而是先判斷零點(diǎn)存在，只是求解過程復(fù)雜（甚至有時(shí)無(wú)法具體解出x0，例如2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（2）問在解答過程中需要求函數(shù)h′（x）=ex-1x+2的零點(diǎn)），既然如此，可以不必正面強(qiáng)求，而是虛設(shè)其零點(diǎn)為x0，然后謀求一種整體的轉(zhuǎn)化和過度.讀者可以體會(huì)一下此方法在高考題目中的作用：

1.（2013年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ理科第21題第（Ⅱ）問）

已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>；0.

2.（2012年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷文科第21題第（Ⅱ）問）設(shè)函數(shù)f（x）=ex-ax-2.

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>；0時(shí)，（x-k）·f′（x）+x+1>；0，求k的最大值.

解法2 （分離常數(shù)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想）

當(dāng)f（x）=0時(shí)，即lnx+x=0，顯然不符合題意：

當(dāng)f（x）≠0時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，等價(jià)于2m=x2lnx+x有唯一實(shí)數(shù)根.令h（x）=x2lnx+x （x>；0），則h′（x）=x（2lnx+x-1）（lnx+x）2，顯然x=1是導(dǎo)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn).當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<；0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>；0，即函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（1）是函數(shù)h（x）極小值也是它的最小值，又可證當(dāng)x→0+時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞，所以原命題等價(jià)于函數(shù)y=2m與函數(shù)h（x）圖象在（0，+∞）有唯一的交點(diǎn)，所以2m=h（1）=1，解得m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)一個(gè)問題的表面看起來(lái)很復(fù)雜時(shí)，能否利用與其對(duì)應(yīng)的等價(jià)命題來(lái)處理就顯得難能可貴了，本題將方程有唯一實(shí)數(shù)根問題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而優(yōu)化了解題過程.

解法3 （數(shù)形結(jié)合的思想）由方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根，可得12mx2-x=lnx.

記M（x）=12mx2-x，N（x）=lnx，則上述問題等價(jià)于M（x）與N（x）的圖象有唯一的交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，則由題意知：M′（x0）=N′（x0），

M（x0）=N（x0），即1mx0-1=1x0，

12mx20-x0=lnx0，

化簡(jiǎn)得2lnx0+x0=1，顯然此方程只有一個(gè)根x0=1，此時(shí)m=12.

故m=12時(shí)，方程2mf（x）=x2有唯一實(shí)數(shù)根.

點(diǎn)評(píng) 上述解法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何直觀，將研究的問題轉(zhuǎn)化成我們熟悉的函數(shù)，從函數(shù)圖象上清晰呈現(xiàn)了方程的唯一實(shí)根即為兩圖象相切這一幾何形態(tài)，但是無(wú)論哪種解法都沒有繞開解超越方程：2lnx+x-1=0，顯然y=2lnx+x-1在（0，+∞）單調(diào)遞增，x=1是方程的唯一實(shí)數(shù)根.

總之，數(shù)學(xué)能力的提高歸根結(jié)底還是解題能力的提高，一題多解并不是目的.目的是通過思想方法的逐一呈現(xiàn)，從學(xué)生最易上手的方式方法入手，逐步逐級(jí)給予引導(dǎo)與批判，不畏艱難，不斷優(yōu)化解題思維品質(zhì)，從而最終達(dá)到提升自身解題的能力.