“函數(shù)單調(diào)性”教學(xué)應(yīng)處理好“三個(gè)矛盾”

楊興軍

章建躍博士指出：“高水平的教學(xué)設(shè)計(jì)要建立在如下三個(gè)基本點(diǎn)上：理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué).其中，理解數(shù)學(xué)是指對數(shù)學(xué)的思想、方法及其精神的理解；理解學(xué)生是指對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)規(guī)律的理解，核心是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律；理解教學(xué)是指對數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律、特點(diǎn)的理解.‘三個(gè)理解是數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的基石.”

數(shù)學(xué)教學(xué)過程總是充滿了矛盾，如教與學(xué)的矛盾、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的矛盾、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的矛盾等.有矛盾才能有發(fā)展，其中，學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平與教學(xué)要求之間的矛盾是數(shù)學(xué)教學(xué)的決定性動(dòng)力.作為教師，應(yīng)努力做到敏銳地發(fā)現(xiàn)、深刻地認(rèn)識(shí)各種矛盾，進(jìn)而在教學(xué)中科學(xué)合理地暴露、“創(chuàng)設(shè)”甚至“激化”矛盾，以幫助學(xué)生在解決矛盾的過程中發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這可以充分體現(xiàn)出教師的專業(yè)水平、教學(xué)能力與教學(xué)智慧.

“函數(shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)最基本的性質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念后研究的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是學(xué)生在高中階段遇到的第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言刻畫的概念，對學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)具有示范和引領(lǐng)作用.本節(jié)課匯集了數(shù)學(xué)教學(xué)的諸多矛盾，如何在教學(xué)中處理好這些矛盾，特別是其中的主要矛盾，對每個(gè)數(shù)學(xué)教師都是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的任務(wù).筆者認(rèn)為，“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，關(guān)鍵是要深刻認(rèn)識(shí)、科學(xué)處理以下“三個(gè)矛盾”.1 “上升”、“下降”、“單調(diào)”等名詞的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生的生活理解之間的矛盾

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，通常是從現(xiàn)實(shí)生活入手——展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象等，然后讓學(xué)生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢，而在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢，此時(shí)教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性，接下來引導(dǎo)學(xué)生用自然語言進(jìn)行描述，并體驗(yàn)單調(diào)性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調(diào)區(qū)間”等名詞）.

這里，“上升”、“下降”、“單調(diào)”的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若從A到B是“上升”，則從B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那樣，僅僅考慮了鉛垂方向；而在數(shù)學(xué)中，若x增大時(shí)y也隨之增大，則稱函數(shù)y=f（x）“上升”，若x增大時(shí)y隨之減小，則稱函數(shù)y=f（x）“下降”，是水平與鉛垂這兩個(gè)方向的“合成”.在生活中，“單調(diào)”是指“重復(fù)而缺少變化”；而在數(shù)學(xué)中，“單調(diào)”是指“隨著自變量的增大，函數(shù)值始終增大或始終減小”，是不斷變化的.對此，有些學(xué)生可能會(huì)因區(qū)分不清而產(chǎn)生錯(cuò)誤理解.例如，對于函數(shù)y=x2（x≥0），有學(xué)生認(rèn)為：x由小到大時(shí)，y是“上升”的，x由大到小時(shí)，y是“下降”的；又如，對于函數(shù)y=2，有學(xué)生認(rèn)為它是“單調(diào)”的，理由是“y始終沒有變化”.

因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)明確地指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)名詞與日常概念區(qū)分開：

（1）對于同一段函數(shù)圖象來說，在數(shù)學(xué)上它究竟是“上升”還是“下降”，應(yīng)該是確定的，不能產(chǎn)生歧義.因此，我們選擇x軸正方向作為參照，從左往右，沿著圖象“策馬前行”，函數(shù)圖象的“上升”“下降”就有了統(tǒng)一的規(guī)則和統(tǒng)一的結(jié)論；

（2）數(shù)學(xué)上的“單調(diào)”，其本身也含有“重復(fù)而缺少變化”的意味，但它不是指函數(shù)值始終保持不變，而是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間“上升”“下降”（或“增加”“減少”）具有不變的規(guī)律性，反映的是一種“變中的不變性”，當(dāng)然也顯得“單調(diào)”.

2 學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知習(xí)慣與新知學(xué)習(xí)的必要性之間的矛盾

我們知道，“精確定量思維方式”是數(shù)學(xué)教育所能給予學(xué)生的最重要和最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的最好體現(xiàn).在高中階段，“函數(shù)的單調(diào)性”定義之所以要進(jìn)一步符號(hào)化（形式化），正是基于數(shù)學(xué)精確化、嚴(yán)謹(jǐn)性的要求.只有這樣，學(xué)生才可以通過準(zhǔn)確的計(jì)算進(jìn)行推理論證，以保證結(jié)論的嚴(yán)密性，在此過程中逐漸培養(yǎng)并形成“算法的思維”.

然而，學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過一次、二次、反比例函數(shù)，對函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)初步有了直觀形象的認(rèn)識(shí)：圖象從左往右上升（y隨x的增大而增大）是增函數(shù)，圖象從左往右下降（y隨x的增大而減?。┦菧p函數(shù).他們會(huì)覺得這種定義通俗易懂、易于接受，用它解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)也沒遇到過什么困難，進(jìn)而產(chǎn)生疑問：為什么還要費(fèi)盡周折地去學(xué)習(xí)符號(hào)化（形式化）定義呢？豈不是“多此一舉”！學(xué)生一旦在心理上排斥新知，那么教與學(xué)的效果都將大打折扣，這是一個(gè)很重要的問題.

因此，在學(xué)習(xí)抽象的定義之前，教師應(yīng)針對性地設(shè)置“認(rèn)知沖突”，以便讓學(xué)生充分體驗(yàn)到學(xué)習(xí)新知的必要性，增強(qiáng)研究的興趣和積極主動(dòng)性.例如，可讓學(xué)生依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的圖象特征或自然語言描述，嘗試判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.由于學(xué)生對該函數(shù)的圖象性質(zhì)并不熟悉，因此無法判斷函數(shù)圖象呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢，也難以根據(jù)函數(shù)解析式描述其變化規(guī)律.此時(shí)，學(xué)生就會(huì)自然意識(shí)到自己知識(shí)上的欠缺，認(rèn)識(shí)到用精確的數(shù)學(xué)語言刻畫定義的必要性，從而進(jìn)入一種“憤悱狀態(tài)”，產(chǎn)生較強(qiáng)勁的學(xué)習(xí)動(dòng)力.

3 學(xué)生現(xiàn)有的思維水平與函數(shù)單調(diào)性定義的思維要求之間的矛盾

這是本節(jié)課教學(xué)的核心矛盾.剛進(jìn)入高一的學(xué)生，其思維處于從經(jīng)驗(yàn)型水平向理論型水平轉(zhuǎn)變的階段，仍然偏于簡單化、直觀化，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng).函數(shù)單調(diào)性的定義，是數(shù)學(xué)概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.從“隨著x增大，y也增大”這一自然語言轉(zhuǎn)換到“對于某區(qū)間上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”這一數(shù)學(xué)符號(hào)語言，跳躍性較大，學(xué)生非常不習(xí)慣，特別是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1<；x2，通過比較f（x1）與f（x2）的大小來刻畫函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生更是感到難以理解，容易產(chǎn)生思維障礙.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問題，讓學(xué)生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號(hào)化過程，感悟數(shù)學(xué)的研究方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).首先，要緊緊抓住新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎(chǔ)上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個(gè)林妹妹”.其次，對于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點(diǎn)），應(yīng)及時(shí)喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，應(yīng)引導(dǎo)他們結(jié)合具體例子（最好是由學(xué)生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時(shí)的具體設(shè)計(jì)：

問題1 如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來表述“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號(hào)表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個(gè)量比第一個(gè)量大，它是兩個(gè)數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個(gè)取值記為x1，第二個(gè)值記為x2，則將文字語言“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號(hào)語言表示即為“當(dāng)x1<；x2時(shí)，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗(yàn)證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學(xué)生思考討論，若學(xué)生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學(xué)生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必要時(shí)教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗(yàn)證多少次也無法窮盡.雖然當(dāng)-1<；2<；3<；…時(shí)，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗(yàn)證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當(dāng)時(shí)是怎么處理的？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個(gè)無窮集合，要證明AB，逐一驗(yàn)證A中的每一個(gè)元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個(gè)障礙，就一般性地“任取”一個(gè)元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學(xué)生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學(xué)生可能會(huì)有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學(xué)者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試?yán)蒙鲜龆x判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對前述“遺留問題”的呼應(yīng)，由學(xué)生盡量獨(dú)立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時(shí)予以指導(dǎo)，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學(xué)生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生從中可以獲取成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個(gè)分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

這是利用變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生繼續(xù)對概念進(jìn)行反思辨析、進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和外延，特別是如何才能否定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性尤為重要，可以加深對“任意”二字的理解，逐步實(shí)現(xiàn)對概念本質(zhì)意義的綜合貫通.

結(jié)語 當(dāng)前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”）是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.如何發(fā)展數(shù)學(xué)教師的MPCK？途徑之一就是致力于研究教學(xué)中的各種“矛盾”.一個(gè)數(shù)學(xué)教師，只有主動(dòng)地對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生特點(diǎn)等進(jìn)行廣泛而深入的獨(dú)立思考，多反思、多質(zhì)疑，才可能及時(shí)捕捉到其中的矛盾；只有對數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等有著科學(xué)的理解并內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)教育理念，才可能全面而深刻地剖析這些矛盾；只有遵循了數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，立足實(shí)踐性反思與反思性實(shí)踐，才可能創(chuàng)造性地處理好這些矛盾，不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾、分析矛盾與解決矛盾的過程，也正是教師自身的MPCK得以持續(xù)提升的過程.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問題，讓學(xué)生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號(hào)化過程，感悟數(shù)學(xué)的研究方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).首先，要緊緊抓住新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎(chǔ)上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個(gè)林妹妹”.其次，對于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點(diǎn)），應(yīng)及時(shí)喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，應(yīng)引導(dǎo)他們結(jié)合具體例子（最好是由學(xué)生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時(shí)的具體設(shè)計(jì)：

問題1 如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來表述“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號(hào)表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個(gè)量比第一個(gè)量大，它是兩個(gè)數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個(gè)取值記為x1，第二個(gè)值記為x2，則將文字語言“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號(hào)語言表示即為“當(dāng)x1<；x2時(shí)，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗(yàn)證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學(xué)生思考討論，若學(xué)生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學(xué)生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必要時(shí)教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗(yàn)證多少次也無法窮盡.雖然當(dāng)-1<；2<；3<；…時(shí)，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗(yàn)證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當(dāng)時(shí)是怎么處理的？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個(gè)無窮集合，要證明AB，逐一驗(yàn)證A中的每一個(gè)元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個(gè)障礙，就一般性地“任取”一個(gè)元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學(xué)生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學(xué)生可能會(huì)有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學(xué)者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試?yán)蒙鲜龆x判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對前述“遺留問題”的呼應(yīng)，由學(xué)生盡量獨(dú)立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時(shí)予以指導(dǎo)，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學(xué)生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生從中可以獲取成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個(gè)分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

這是利用變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生繼續(xù)對概念進(jìn)行反思辨析、進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和外延，特別是如何才能否定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性尤為重要，可以加深對“任意”二字的理解，逐步實(shí)現(xiàn)對概念本質(zhì)意義的綜合貫通.

結(jié)語 當(dāng)前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”）是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.如何發(fā)展數(shù)學(xué)教師的MPCK？途徑之一就是致力于研究教學(xué)中的各種“矛盾”.一個(gè)數(shù)學(xué)教師，只有主動(dòng)地對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生特點(diǎn)等進(jìn)行廣泛而深入的獨(dú)立思考，多反思、多質(zhì)疑，才可能及時(shí)捕捉到其中的矛盾；只有對數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等有著科學(xué)的理解并內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)教育理念，才可能全面而深刻地剖析這些矛盾；只有遵循了數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，立足實(shí)踐性反思與反思性實(shí)踐，才可能創(chuàng)造性地處理好這些矛盾，不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾、分析矛盾與解決矛盾的過程，也正是教師自身的MPCK得以持續(xù)提升的過程.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問題，讓學(xué)生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號(hào)化過程，感悟數(shù)學(xué)的研究方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).首先，要緊緊抓住新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語言描述的基礎(chǔ)上自然“生長”出來的，而不是“天上掉下個(gè)林妹妹”.其次，對于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點(diǎn)），應(yīng)及時(shí)喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使他們自然想到用“任意”突破“無限”.最后，對于學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，應(yīng)引導(dǎo)他們結(jié)合具體例子（最好是由學(xué)生自己舉出）、分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析，以逐步形成對概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時(shí)的具體設(shè)計(jì)：

問題1 如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語言來表述“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號(hào)表示，得出：增大，刻畫的是一種相對性，說明第二個(gè)量比第一個(gè)量大，它是兩個(gè)數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個(gè)取值記為x1，第二個(gè)值記為x2，則將文字語言“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號(hào)語言表示即為“當(dāng)x1<；x2時(shí)，f（x1）<；f（x2）”.

問題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗(yàn)證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學(xué)生思考討論，若學(xué)生作肯定回答，則追問“為什么”；

若學(xué)生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必要時(shí)教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無限”，因此，不論驗(yàn)證多少次也無法窮盡.雖然當(dāng)-1<；2<；3<；…時(shí)，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見，具體驗(yàn)證是不可靠的.

問題3 在此之前，你有沒有遇到過“無法窮盡”的情況？當(dāng)時(shí)是怎么處理的？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個(gè)無窮集合，要證明AB，逐一驗(yàn)證A中的每一個(gè)元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無限”這個(gè)障礙，就一般性地“任取”一個(gè)元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學(xué)生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來刻畫函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過程中，學(xué)生可能會(huì)有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過程，對初學(xué)者來說是正常的，也是必要的.

問題5 請你嘗試?yán)蒙鲜龆x判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對前述“遺留問題”的呼應(yīng)，由學(xué)生盡量獨(dú)立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時(shí)予以指導(dǎo)，解決該問題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學(xué)生對定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生從中可以獲取成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和心理上的滿足感.

問題6 判斷下列說法是否正確，并說明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），若取x1=0，且對于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個(gè)分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

這是利用變式教學(xué)和構(gòu)造反例幫助學(xué)生繼續(xù)對概念進(jìn)行反思辨析、進(jìn)一步理解概念的內(nèi)涵和外延，特別是如何才能否定一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性尤為重要，可以加深對“任意”二字的理解，逐步實(shí)現(xiàn)對概念本質(zhì)意義的綜合貫通.

結(jié)語 當(dāng)前，MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge，即“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”）是數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題.如何發(fā)展數(shù)學(xué)教師的MPCK？途徑之一就是致力于研究教學(xué)中的各種“矛盾”.一個(gè)數(shù)學(xué)教師，只有主動(dòng)地對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生特點(diǎn)等進(jìn)行廣泛而深入的獨(dú)立思考，多反思、多質(zhì)疑，才可能及時(shí)捕捉到其中的矛盾；只有對數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等有著科學(xué)的理解并內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)教育理念，才可能全面而深刻地剖析這些矛盾；只有遵循了數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)律，立足實(shí)踐性反思與反思性實(shí)踐，才可能創(chuàng)造性地處理好這些矛盾，不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾、分析矛盾與解決矛盾的過程，也正是教師自身的MPCK得以持續(xù)提升的過程.