中學(xué)生數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的幾點(diǎn)探討

朱斌

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用現(xiàn)已成為當(dāng)今各國(guó)課程內(nèi)容改革的共同特點(diǎn).美國(guó)提出了“用數(shù)學(xué)于現(xiàn)實(shí)世界”的口號(hào).近年來(lái)，我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用給予了高度重視，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也開(kāi)始進(jìn)行建模教學(xué)的探索，北京、上海等地每年還開(kāi)展中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)，不少地方也開(kāi)展了中學(xué)生數(shù)學(xué)小論文評(píng)比活動(dòng).然而，相對(duì)于全國(guó)乃至全球參與度最大、開(kāi)展最為廣泛的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，中學(xué)建模活動(dòng)還相差甚遠(yuǎn)，因此，有必要對(duì)比中學(xué)數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)建模，探討中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)如何更進(jìn)一步開(kāi)展。1 幾個(gè)例題談中學(xué)數(shù)學(xué)建模的滲透

在這里，以幾個(gè)中學(xué)教材以及高考題為例，探討中學(xué)數(shù)學(xué)建模與大學(xué)數(shù)學(xué)建模的區(qū)別和聯(lián)系.

例1 北師大版數(shù)學(xué)必修1函數(shù)一章引例中的加油站儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量v與高度h、油面寬度w的函數(shù)關(guān)系（北師大版數(shù)學(xué)必修1第24頁(yè)）與2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題[1]（CUMCM 2010A：儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定）不謀而合，體現(xiàn)了中學(xué)數(shù)學(xué)建模與大學(xué)建模目的的統(tǒng)一，即應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.這里將兩個(gè)題目摘要如下：

2010年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題“儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定”：為加油站儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐設(shè)計(jì)“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況.圖1是一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖1 儲(chǔ)油罐正面示意圖教材例題：圖2是某高速公路加油站儲(chǔ)油罐的圖片（見(jiàn)北師大版必修一第24頁(yè)），加油站常用圓柱體儲(chǔ)油罐儲(chǔ)存汽油.儲(chǔ)油罐的長(zhǎng)度d、截面半徑r是常量；油面高度h、油面寬度w、儲(chǔ)油量v是變量.儲(chǔ)油量v與油面高度h和油面寬度w存在著依賴(lài)關(guān)系.在這里，主要討論變量之間的依賴(lài)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系.

圖2 加油站圓柱形儲(chǔ)油罐示意圖可以看出，這道大學(xué)生建模競(jìng)賽題與中學(xué)教材的例題殊途同歸，具有異曲同工之妙.二者都是研究加油站儲(chǔ)油罐儲(chǔ)油量與油面高度和油面寬度的關(guān)系，從而給出儲(chǔ)油量v與油面高度h和油面寬度w之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而在大學(xué)生建模中更深入的要求給出地下儲(chǔ)油罐“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）的實(shí)時(shí)變化情況，并且深入研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響.顯然中學(xué)教材中出現(xiàn)的例題只是要求研究簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系，符合中學(xué)生的能力水平；大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽則根據(jù)大學(xué)生的實(shí)際能力，考慮實(shí)際問(wèn)題的需求，直接設(shè)計(jì)可供加油站應(yīng)用的罐容對(duì)照表.

例2 引用一道高考題敘述高中數(shù)學(xué)模型思想在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用，并分析與大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的聯(lián)系.

（2012年高考北京文）近年來(lái)，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類(lèi)處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類(lèi)，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類(lèi)投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類(lèi)垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表1.

表1：某市垃圾統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 單位：噸

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060

（Ⅰ）試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；

（Ⅱ）試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率；

（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>；0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差S2最大時(shí)，寫(xiě)出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)S2的值.

殊不知，這道題目取材于2011年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營(yíng)題目“垃圾分類(lèi)處理與清運(yùn)方案設(shè)計(jì)”[2].作為新課標(biāo)的高考題，題目結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)模型的思想，考查學(xué)生基本能力，立意貼近生活.

例3 （2012年高考陜西卷理科第20題）銀行服務(wù)窗口的業(yè)務(wù)辦理過(guò)程中的等待時(shí)間問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活氣息濃厚，它對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力的考查，起到良好的示范作用.同時(shí)，這道題目借用運(yùn)籌學(xué)排隊(duì)論[3]的思想，解決服務(wù)系統(tǒng)的排隊(duì)問(wèn)題.具體題目如下：

某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2.

表2：銀行顧客辦理業(yè)務(wù)時(shí)間統(tǒng)計(jì)

辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間/min12345頻率0.10.40.30.10.1

注：從第一個(gè)顧客開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí).

（Ⅰ）估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)的概率；

（Ⅱ）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

排隊(duì)論模型[4]是大學(xué)生數(shù)學(xué)建模的基本模型之一，模型基于概率論以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程，通過(guò)建立一些數(shù)學(xué)模型，以對(duì)隨即發(fā)生的需求服務(wù)提供系統(tǒng)預(yù)測(cè).現(xiàn)實(shí)生活中諸如排隊(duì)買(mǎi)票、病人排隊(duì)就醫(yī)、輪船進(jìn)港等等問(wèn)題服務(wù)系統(tǒng).

這道高考題基于銀行服務(wù)窗口的排隊(duì)問(wèn)題，出于排隊(duì)論思想命題，同時(shí)又考慮中學(xué)生實(shí)際能力，結(jié)合考點(diǎn)，成功地將題目適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化為一道具有實(shí)際背景的概率問(wèn)題.體現(xiàn)了中學(xué)建模與大學(xué)建模同樣是出于解決實(shí)際問(wèn)題的需求，卻又需要考慮題目使用對(duì)象，做出適當(dāng)改編.在全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（CUMCM）中應(yīng)用排隊(duì)論思想的題目也很多，例如CUMCM 2009 B題眼科病床的合理安排：醫(yī)院就醫(yī)排隊(duì)是大家都非常熟悉的現(xiàn)象，它以這樣或那樣的形式出現(xiàn)在我們面前，例如，患者到門(mén)診就診、到收費(fèi)處劃價(jià)、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊(duì)等待接受某種服務(wù).考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排，建立數(shù)學(xué)模型解決該問(wèn)題；又如CUMCM 2007 D題體能測(cè)試時(shí)間安排：根據(jù)學(xué)生人數(shù)和測(cè)試儀器數(shù)安排體能測(cè)試時(shí)間，使得學(xué)生等待時(shí)間最小。2 結(jié)論和建議

2.1 一些結(jié)論

通過(guò)以上幾個(gè)例題以及對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)建模和大學(xué)數(shù)學(xué)建模的分析，可以得到二者各自的特點(diǎn)：

中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或者建模競(jìng)賽：

①問(wèn)題背景涉及的知識(shí)領(lǐng)域的專(zhuān)業(yè)性比較基本、初級(jí)，問(wèn)題在專(zhuān)業(yè)和數(shù)學(xué)上都已經(jīng)做了較大的簡(jiǎn)化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問(wèn)題深入程度的層次少、擴(kuò)展小，學(xué)生容易找到切入點(diǎn).

③所用的數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)I(yè)知識(shí)的層次符合中學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)水平和學(xué)習(xí)能力.

④問(wèn)題的難度不大，遠(yuǎn)低于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模.

⑤數(shù)學(xué)模型或解決方案往往比較簡(jiǎn)單、現(xiàn)成，對(duì)信息查詢(xún)能力的要求不很高，模型計(jì)算不太復(fù)雜.

⑥學(xué)生的考慮及其實(shí)現(xiàn)都需要切合數(shù)學(xué)建模的基本模式，較高的數(shù)據(jù)處理及數(shù)據(jù)分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強(qiáng)調(diào)的.

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或建模競(jìng)賽

①問(wèn)題背景取材比較廣闊，例如：

有當(dāng)時(shí)社會(huì)或科學(xué)關(guān)注問(wèn)題：CUMCM 1998B災(zāi)情巡視路線(xiàn)、2002B彩票中的數(shù)學(xué)、2003A SARS的傳播、2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)、2010B 2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估；

有源于生物醫(yī)學(xué)環(huán)境類(lèi)的：DNA序列分類(lèi)、中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)、眼科病床的合理安排、長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)；還有源于交通運(yùn)輸管理類(lèi)的、源于經(jīng)濟(jì)管理與社會(huì)事業(yè)類(lèi)的、源于工程技術(shù)設(shè)計(jì)類(lèi)的等.

②強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的建模和求解，對(duì)模型或方案設(shè)計(jì)的質(zhì)量、計(jì)算能力、建模仿真實(shí)現(xiàn)、模型及結(jié)果檢驗(yàn)的要求比較高.

③開(kāi)放性問(wèn)題逐漸增多，不好入手.

④從數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產(chǎn)生以上特點(diǎn)的原因可以總結(jié)如下：

第一，中學(xué)生和大學(xué)生起點(diǎn)不同.中學(xué)建模和大學(xué)建模是分別基于各自對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)以及其他知識(shí)基礎(chǔ)進(jìn)行的.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求差異很大.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模需要具有數(shù)學(xué)分析、數(shù)值分析、離散數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及常（偏）微分方程等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至在建模過(guò)程中還需要快速學(xué)習(xí)其他方面的知識(shí)；而對(duì)中學(xué)生則以初等數(shù)學(xué)知識(shí)為主，適合中學(xué)生的認(rèn)知水平，在建模過(guò)程中一般不需要大量的知識(shí)補(bǔ)充；

第二，需要研究的問(wèn)題不同.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對(duì)數(shù)學(xué)化的要求較高；而中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題大多貼近中學(xué)生的生活實(shí)際，具有一定的實(shí)踐性和趣味性，學(xué)生較易入手；

第三，二者側(cè)重點(diǎn)不同.中學(xué)生數(shù)學(xué)建模更多的是滲透建模思想、樹(shù)立建模觀念，學(xué)會(huì)處理實(shí)際問(wèn)題的思考方法和解決途徑；大學(xué)生數(shù)學(xué)建模則強(qiáng)調(diào)建立模型的實(shí)用性以及對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)性的分析和求解，對(duì)科學(xué)計(jì)算（計(jì)算機(jī)編程）的要求較高；

另外，一個(gè)客觀的原因，即二者組織形式不同.大學(xué)數(shù)學(xué)建模以課程形式走進(jìn)學(xué)生，同時(shí)開(kāi)展三級(jí)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（校內(nèi)競(jìng)賽、國(guó)家級(jí)競(jìng)賽、國(guó)際競(jìng)賽）引導(dǎo)學(xué)生參與.而中學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)尚未普及，只是在一些地方開(kāi)展過(guò)，因此只能從課堂教學(xué)和以教師為引導(dǎo)的實(shí)踐活動(dòng)展開(kāi).

當(dāng)然，同樣作為數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，二者都是對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析簡(jiǎn)化，基于數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，最終得出對(duì)實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解.而且二者在很多問(wèn)題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個(gè)例題也證實(shí)了這一點(diǎn)。

2.2 幾點(diǎn)建議

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中多處體現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用預(yù)示著數(shù)學(xué)模型思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中越來(lái)越重要，同時(shí)引用的幾個(gè)例題不但說(shuō)明了大學(xué)建模與中學(xué)建模的區(qū)別與聯(lián)系，還體現(xiàn)了中學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模思想的廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽作為全國(guó)開(kāi)展的最為廣泛的學(xué)生科技活動(dòng)，備受廣大師生關(guān)注，因此，這幾道例題也為平時(shí)的教育教學(xué)發(fā)出信號(hào)：

1.中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)建模的要求不可太高，重在參與.

2.數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中，千萬(wàn)不要搞一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué)，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”為度.

3.廣大師生日常中應(yīng)該注意以教材為藍(lán)本的知識(shí)挖掘，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題深入分析，以課題學(xué)習(xí)或者探究活動(dòng)形式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模.主動(dòng)關(guān)注大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的動(dòng)向，甚至大膽對(duì)大學(xué)生建模競(jìng)賽題目做出改編，作為中學(xué)建模題目或者考試試題.

4.建模教學(xué)對(duì)高考應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)當(dāng)有所涉及.鑒于當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，保持一定比例的高考應(yīng)用問(wèn)題是必要的，這樣更有助于調(diào)動(dòng)師生參與建模教學(xué)的積極性，保持建模教學(xué)的活動(dòng)，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營(yíng)題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)委員會(huì).數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或者建模競(jìng)賽：

①問(wèn)題背景涉及的知識(shí)領(lǐng)域的專(zhuān)業(yè)性比較基本、初級(jí)，問(wèn)題在專(zhuān)業(yè)和數(shù)學(xué)上都已經(jīng)做了較大的簡(jiǎn)化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問(wèn)題深入程度的層次少、擴(kuò)展小，學(xué)生容易找到切入點(diǎn).

③所用的數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)I(yè)知識(shí)的層次符合中學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)水平和學(xué)習(xí)能力.

④問(wèn)題的難度不大，遠(yuǎn)低于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模.

⑤數(shù)學(xué)模型或解決方案往往比較簡(jiǎn)單、現(xiàn)成，對(duì)信息查詢(xún)能力的要求不很高，模型計(jì)算不太復(fù)雜.

⑥學(xué)生的考慮及其實(shí)現(xiàn)都需要切合數(shù)學(xué)建模的基本模式，較高的數(shù)據(jù)處理及數(shù)據(jù)分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強(qiáng)調(diào)的.

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或建模競(jìng)賽

①問(wèn)題背景取材比較廣闊，例如：

有當(dāng)時(shí)社會(huì)或科學(xué)關(guān)注問(wèn)題：CUMCM 1998B災(zāi)情巡視路線(xiàn)、2002B彩票中的數(shù)學(xué)、2003A SARS的傳播、2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)、2010B 2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估；

有源于生物醫(yī)學(xué)環(huán)境類(lèi)的：DNA序列分類(lèi)、中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)、眼科病床的合理安排、長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)；還有源于交通運(yùn)輸管理類(lèi)的、源于經(jīng)濟(jì)管理與社會(huì)事業(yè)類(lèi)的、源于工程技術(shù)設(shè)計(jì)類(lèi)的等.

②強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的建模和求解，對(duì)模型或方案設(shè)計(jì)的質(zhì)量、計(jì)算能力、建模仿真實(shí)現(xiàn)、模型及結(jié)果檢驗(yàn)的要求比較高.

③開(kāi)放性問(wèn)題逐漸增多，不好入手.

④從數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產(chǎn)生以上特點(diǎn)的原因可以總結(jié)如下：

第一，中學(xué)生和大學(xué)生起點(diǎn)不同.中學(xué)建模和大學(xué)建模是分別基于各自對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)以及其他知識(shí)基礎(chǔ)進(jìn)行的.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求差異很大.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模需要具有數(shù)學(xué)分析、數(shù)值分析、離散數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及常（偏）微分方程等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至在建模過(guò)程中還需要快速學(xué)習(xí)其他方面的知識(shí)；而對(duì)中學(xué)生則以初等數(shù)學(xué)知識(shí)為主，適合中學(xué)生的認(rèn)知水平，在建模過(guò)程中一般不需要大量的知識(shí)補(bǔ)充；

第二，需要研究的問(wèn)題不同.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對(duì)數(shù)學(xué)化的要求較高；而中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題大多貼近中學(xué)生的生活實(shí)際，具有一定的實(shí)踐性和趣味性，學(xué)生較易入手；

第三，二者側(cè)重點(diǎn)不同.中學(xué)生數(shù)學(xué)建模更多的是滲透建模思想、樹(shù)立建模觀念，學(xué)會(huì)處理實(shí)際問(wèn)題的思考方法和解決途徑；大學(xué)生數(shù)學(xué)建模則強(qiáng)調(diào)建立模型的實(shí)用性以及對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)性的分析和求解，對(duì)科學(xué)計(jì)算（計(jì)算機(jī)編程）的要求較高；

另外，一個(gè)客觀的原因，即二者組織形式不同.大學(xué)數(shù)學(xué)建模以課程形式走進(jìn)學(xué)生，同時(shí)開(kāi)展三級(jí)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（校內(nèi)競(jìng)賽、國(guó)家級(jí)競(jìng)賽、國(guó)際競(jìng)賽）引導(dǎo)學(xué)生參與.而中學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)尚未普及，只是在一些地方開(kāi)展過(guò)，因此只能從課堂教學(xué)和以教師為引導(dǎo)的實(shí)踐活動(dòng)展開(kāi).

當(dāng)然，同樣作為數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，二者都是對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析簡(jiǎn)化，基于數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，最終得出對(duì)實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解.而且二者在很多問(wèn)題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個(gè)例題也證實(shí)了這一點(diǎn)。

2.2 幾點(diǎn)建議

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中多處體現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用預(yù)示著數(shù)學(xué)模型思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中越來(lái)越重要，同時(shí)引用的幾個(gè)例題不但說(shuō)明了大學(xué)建模與中學(xué)建模的區(qū)別與聯(lián)系，還體現(xiàn)了中學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模思想的廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽作為全國(guó)開(kāi)展的最為廣泛的學(xué)生科技活動(dòng)，備受廣大師生關(guān)注，因此，這幾道例題也為平時(shí)的教育教學(xué)發(fā)出信號(hào)：

1.中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)建模的要求不可太高，重在參與.

2.數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中，千萬(wàn)不要搞一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué)，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”為度.

3.廣大師生日常中應(yīng)該注意以教材為藍(lán)本的知識(shí)挖掘，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題深入分析，以課題學(xué)習(xí)或者探究活動(dòng)形式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模.主動(dòng)關(guān)注大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的動(dòng)向，甚至大膽對(duì)大學(xué)生建模競(jìng)賽題目做出改編，作為中學(xué)建模題目或者考試試題.

4.建模教學(xué)對(duì)高考應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)當(dāng)有所涉及.鑒于當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，保持一定比例的高考應(yīng)用問(wèn)題是必要的，這樣更有助于調(diào)動(dòng)師生參與建模教學(xué)的積極性，保持建模教學(xué)的活動(dòng)，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營(yíng)題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)委員會(huì).數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

中學(xué)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或者建模競(jìng)賽：

①問(wèn)題背景涉及的知識(shí)領(lǐng)域的專(zhuān)業(yè)性比較基本、初級(jí)，問(wèn)題在專(zhuān)業(yè)和數(shù)學(xué)上都已經(jīng)做了較大的簡(jiǎn)化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問(wèn)題深入程度的層次少、擴(kuò)展小，學(xué)生容易找到切入點(diǎn).

③所用的數(shù)學(xué)知識(shí)或?qū)I(yè)知識(shí)的層次符合中學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)水平和學(xué)習(xí)能力.

④問(wèn)題的難度不大，遠(yuǎn)低于大學(xué)生數(shù)學(xué)建模.

⑤數(shù)學(xué)模型或解決方案往往比較簡(jiǎn)單、現(xiàn)成，對(duì)信息查詢(xún)能力的要求不很高，模型計(jì)算不太復(fù)雜.

⑥學(xué)生的考慮及其實(shí)現(xiàn)都需要切合數(shù)學(xué)建模的基本模式，較高的數(shù)據(jù)處理及數(shù)據(jù)分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強(qiáng)調(diào)的.

全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模問(wèn)題或建模競(jìng)賽

①問(wèn)題背景取材比較廣闊，例如：

有當(dāng)時(shí)社會(huì)或科學(xué)關(guān)注問(wèn)題：CUMCM 1998B災(zāi)情巡視路線(xiàn)、2002B彩票中的數(shù)學(xué)、2003A SARS的傳播、2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)、2010B 2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估；

有源于生物醫(yī)學(xué)環(huán)境類(lèi)的：DNA序列分類(lèi)、中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測(cè)、眼科病床的合理安排、長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)；還有源于交通運(yùn)輸管理類(lèi)的、源于經(jīng)濟(jì)管理與社會(huì)事業(yè)類(lèi)的、源于工程技術(shù)設(shè)計(jì)類(lèi)的等.

②強(qiáng)調(diào)對(duì)問(wèn)題的建模和求解，對(duì)模型或方案設(shè)計(jì)的質(zhì)量、計(jì)算能力、建模仿真實(shí)現(xiàn)、模型及結(jié)果檢驗(yàn)的要求比較高.

③開(kāi)放性問(wèn)題逐漸增多，不好入手.

④從數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產(chǎn)生以上特點(diǎn)的原因可以總結(jié)如下：

第一，中學(xué)生和大學(xué)生起點(diǎn)不同.中學(xué)建模和大學(xué)建模是分別基于各自對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)以及其他知識(shí)基礎(chǔ)進(jìn)行的.對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的要求差異很大.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模需要具有數(shù)學(xué)分析、數(shù)值分析、離散數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及常（偏）微分方程等高等數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至在建模過(guò)程中還需要快速學(xué)習(xí)其他方面的知識(shí)；而對(duì)中學(xué)生則以初等數(shù)學(xué)知識(shí)為主，適合中學(xué)生的認(rèn)知水平，在建模過(guò)程中一般不需要大量的知識(shí)補(bǔ)充；

第二，需要研究的問(wèn)題不同.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對(duì)數(shù)學(xué)化的要求較高；而中學(xué)生數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題大多貼近中學(xué)生的生活實(shí)際，具有一定的實(shí)踐性和趣味性，學(xué)生較易入手；

第三，二者側(cè)重點(diǎn)不同.中學(xué)生數(shù)學(xué)建模更多的是滲透建模思想、樹(shù)立建模觀念，學(xué)會(huì)處理實(shí)際問(wèn)題的思考方法和解決途徑；大學(xué)生數(shù)學(xué)建模則強(qiáng)調(diào)建立模型的實(shí)用性以及對(duì)問(wèn)題實(shí)質(zhì)性的分析和求解，對(duì)科學(xué)計(jì)算（計(jì)算機(jī)編程）的要求較高；

另外，一個(gè)客觀的原因，即二者組織形式不同.大學(xué)數(shù)學(xué)建模以課程形式走進(jìn)學(xué)生，同時(shí)開(kāi)展三級(jí)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（校內(nèi)競(jìng)賽、國(guó)家級(jí)競(jìng)賽、國(guó)際競(jìng)賽）引導(dǎo)學(xué)生參與.而中學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)尚未普及，只是在一些地方開(kāi)展過(guò)，因此只能從課堂教學(xué)和以教師為引導(dǎo)的實(shí)踐活動(dòng)展開(kāi).

當(dāng)然，同樣作為數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，二者都是對(duì)實(shí)際問(wèn)題分析簡(jiǎn)化，基于數(shù)學(xué)知識(shí)，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，最終得出對(duì)實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解.而且二者在很多問(wèn)題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個(gè)例題也證實(shí)了這一點(diǎn)。

2.2 幾點(diǎn)建議

中學(xué)數(shù)學(xué)教材中多處體現(xiàn)的數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用預(yù)示著數(shù)學(xué)模型思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中越來(lái)越重要，同時(shí)引用的幾個(gè)例題不但說(shuō)明了大學(xué)建模與中學(xué)建模的區(qū)別與聯(lián)系，還體現(xiàn)了中學(xué)教材中數(shù)學(xué)建模思想的廣泛應(yīng)用.近年來(lái)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽作為全國(guó)開(kāi)展的最為廣泛的學(xué)生科技活動(dòng)，備受廣大師生關(guān)注，因此，這幾道例題也為平時(shí)的教育教學(xué)發(fā)出信號(hào)：

1.中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)以創(chuàng)新性、現(xiàn)實(shí)性、真實(shí)性、合理性、有效性等幾個(gè)方面作為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)建模的要求不可太高，重在參與.

2.數(shù)學(xué)建模問(wèn)題難易應(yīng)適中，千萬(wàn)不要搞一些脫離中學(xué)生實(shí)際的建模教學(xué)，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來(lái)”為度.

3.廣大師生日常中應(yīng)該注意以教材為藍(lán)本的知識(shí)挖掘，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題深入分析，以課題學(xué)習(xí)或者探究活動(dòng)形式開(kāi)展數(shù)學(xué)建模.主動(dòng)關(guān)注大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的動(dòng)向，甚至大膽對(duì)大學(xué)生建模競(jìng)賽題目做出改編，作為中學(xué)建模題目或者考試試題.

4.建模教學(xué)對(duì)高考應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)當(dāng)有所涉及.鑒于當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，保持一定比例的高考應(yīng)用問(wèn)題是必要的，這樣更有助于調(diào)動(dòng)師生參與建模教學(xué)的積極性，保持建模教學(xué)的活動(dòng)，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營(yíng)題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)委員會(huì).數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.