美國微積分課程改革對(duì)高職工科高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)的啟示

牛西武，郭群虎

摘 要 20世紀(jì)80年代，美國微積分課程改革源于大學(xué)入學(xué)新生增加、計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展，以及學(xué)生、數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家等對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變更提出的新要求。哈佛大學(xué)以分析、圖像、數(shù)值、語言四規(guī)則重構(gòu)完整的微積分課程相關(guān)概念，其他一些大學(xué)采取開發(fā)專門數(shù)學(xué)計(jì)算軟件、創(chuàng)設(shè)問題并分組合作尋求解決方法、編寫微積分教材等經(jīng)驗(yàn)，對(duì)我國高職工科高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)具有重構(gòu)課程體系、確定合理要求、突出工具作用等方面的啟示。

關(guān)鍵詞 美國；微積分；高等職業(yè)教育；工科；高等數(shù)學(xué)；課程建設(shè)

中圖分類號(hào) G719.712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1008-3219（2014）14-0089-04

從20世紀(jì)60年代開始，大學(xué)入學(xué)新生的增加、數(shù)學(xué)應(yīng)用日益普及和廣泛，以及計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展引發(fā)了美國微積分課程的改革。這些改革所要面對(duì)和解決的問題與近20年來困擾我國高等數(shù)學(xué)課程教育教學(xué)的問題有相似之處，了解和借鑒美國微積分課程改革進(jìn)程和取得的成果，有助于我國高職工科高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)與改革。

一、美國微積分課程改革的主要?jiǎng)右?/p>

（一）大學(xué)入學(xué)新生的增加

美國人口統(tǒng)計(jì)署資料顯示，從1946年到1965年的20年間，高等院校招生數(shù)量從184.1萬人增至384萬人；而從1965年到1985年的21年間則快速增加到1086.3萬人。美國大學(xué)入學(xué)新生的急速增加， 使得越來越多的微積分課程要采用大班集中上課的方式講授。面對(duì)不同基礎(chǔ)的學(xué)生，以同樣的方式和速度講授同樣的內(nèi)容，并以統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)考核，導(dǎo)致大量學(xué)生考試不及格。對(duì)此，美國各高等院校也采用了一些新的舉措以應(yīng)對(duì)這一問題。比如，很多院校根據(jù)學(xué)生的不同基礎(chǔ)、不同需要和不同發(fā)展方向，分別采用“榮譽(yù)班”和“常規(guī)班”組織課程教學(xué)。另外，編寫一批內(nèi)容更為豐富、趣味性更強(qiáng)的教科書，以便于學(xué)生閱讀。同時(shí)，大量增加了例題和習(xí)題數(shù)量，大多數(shù)教材的習(xí)題都達(dá)6000題以上，解答也更加詳細(xì)、完備，以幫助學(xué)生強(qiáng)化常規(guī)訓(xùn)練。但是，直到20世紀(jì)80年代后期，仍然只有不到半數(shù)的學(xué)生能夠通過課程考試。

（二）計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展

計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展影響著數(shù)學(xué)課程教學(xué)。一是數(shù)學(xué)軟件強(qiáng)大的計(jì)算和符號(hào)運(yùn)算功能使人們不得不考慮數(shù)學(xué)運(yùn)算和運(yùn)算技巧的訓(xùn)練是否還那么重要，哪些內(nèi)容才應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)。二是數(shù)學(xué)課程教學(xué)原有的知識(shí)體系變得不那么嚴(yán)格。比如，可以不用講完不定積分的所有運(yùn)算技巧后才講授定積分。事實(shí)上，數(shù)學(xué)軟件不但能夠完成眾多的定積分運(yùn)算，同時(shí)能完成數(shù)值積分的計(jì)算。三是數(shù)學(xué)軟件為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供技術(shù)支持，使數(shù)學(xué)正在從傳統(tǒng)的以演繹推理為主的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐婚T演繹與實(shí)驗(yàn)并重的科學(xué)。四是數(shù)學(xué)軟件不單是運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的工具，也提供了問題解決的途徑和方法?？茖W(xué)研究是少數(shù)人從事的事業(yè)，而技術(shù)是可以，也應(yīng)該能夠被公眾所掌握和運(yùn)用[1]。數(shù)學(xué)軟件作為數(shù)學(xué)技術(shù)的重要載體，大學(xué)數(shù)學(xué)教育在何種程度讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握這一技術(shù)就成為必需考慮的問題。

（三）對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變更的要求

對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容變更的要求是多個(gè)方面共同促成的。一是學(xué)生。漢普希爾學(xué)院的學(xué)生向數(shù)學(xué)教師反映，數(shù)學(xué)課程沒有教給他們?cè)陂喿x和理解自己專業(yè)論文時(shí)所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具。通過對(duì)相關(guān)領(lǐng)域的期刊、文獻(xiàn)進(jìn)行查閱，教師發(fā)現(xiàn)微積分的使用遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于統(tǒng)計(jì)學(xué)的使用。即便是微積分的使用也不會(huì)是分部積分和洛必達(dá)法則等內(nèi)容，微分方程、積分方程的數(shù)值方法處理則更多地被用到。二是數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家。他們認(rèn)為，在計(jì)算機(jī)時(shí)代，離散數(shù)學(xué)要比微積分更具有應(yīng)用價(jià)值，在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中離散數(shù)學(xué)應(yīng)該占有與微積分同等的地位。三是數(shù)學(xué)教育家。美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)基金組織前主席Roger How教授指出，很多學(xué)校課程長時(shí)期以來一直沒變動(dòng)，人們自然會(huì)問是否有不合適的部分需要變動(dòng)。從統(tǒng)計(jì)數(shù)字可明顯看出，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和離散數(shù)學(xué)也應(yīng)該在課程中獲得一席之地[2]。

二、美國微積分課程改革實(shí)踐

從1985年起，美國政府、專業(yè)團(tuán)體、大學(xué)開始致力于微積分課程的改革。1986年，在新奧爾良州圖蘭（Tulane）大學(xué)舉行的微積分改革專題會(huì)議把“走向精簡活潑的微積分學(xué)”作為會(huì)議主題。1987年，在華盛頓召開了以“新世紀(jì)的微積分學(xué)：水泵而非濾器”為主題的第二次微積分改革會(huì)議。會(huì)議提出了進(jìn)行改革的想法和目標(biāo)：要使微積分課程能夠吸引住學(xué)生，并使學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)；微積分課程不應(yīng)成為把學(xué)生淘汰出通向科學(xué)管道的“過濾器”，而應(yīng)作為鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)，并為之提供必需數(shù)學(xué)工具的“助推器”；要將更多現(xiàn)實(shí)生活的例子、數(shù)學(xué)模型、近似和數(shù)值方法以及與離散思想的聯(lián)系納入新的微積分課程教學(xué)中，并在這一轉(zhuǎn)變中更多地使用計(jì)算機(jī)[3]。1987年，國家科學(xué)基金會(huì)（NSF）宣布啟動(dòng)微積分改革計(jì)劃，提出“培養(yǎng)學(xué)生概念性理解能力、解決問題技巧、分析與舉一反三的技能。同時(shí)，要通過實(shí)行新方法減少冗長乏味計(jì)算”的改革建議[4]。1989年，有25個(gè)微積分教改項(xiàng)目獲得了NSF的資助，一些改革項(xiàng)目及所取得的成果如下。

（一）哈佛大學(xué)的“Calculus Consortium”項(xiàng)目

哈佛大學(xué)的改革項(xiàng)目十分強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)概念的理解，提出每個(gè)概念都要通過圖像、數(shù)值、符號(hào)、語言4種方式加以呈現(xiàn)，也被稱為哈佛“4規(guī)則”（The Rule of Four）?！?規(guī)則”認(rèn)為，對(duì)微積分課程每個(gè)重要概念的理解，都應(yīng)該以分析方式、圖像方式、數(shù)值方式和語言方式（包括描述性語言和形式化的數(shù)學(xué)語言）4種途徑加以建構(gòu)，以幫助學(xué)生能從不同角度構(gòu)建起對(duì)每個(gè)重要概念的完整理解。

（二）依利諾斯大學(xué)和俄亥俄州立大學(xué)的“Calculus & Math- ematica”項(xiàng)目

1988年，美國Wolfram Res- earch公司開發(fā)了一套專門進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算的軟件（Mathematica）。該軟件擁有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算能力，可以進(jìn)行解析計(jì)算和公式推導(dǎo)、證明以及算法研究。該軟件是一個(gè)交互式的計(jì)算系統(tǒng)，系統(tǒng)在接受一個(gè)表達(dá)式之后就會(huì)進(jìn)行處理，計(jì)算結(jié)果以人們習(xí)慣的數(shù)學(xué)符號(hào)形式表達(dá)，具有人機(jī)界面友好、命令輸入方便、易于尋求幫助的特點(diǎn)?！癈 & M”項(xiàng)目組運(yùn)用Mathematica軟件，編寫電子教科書和人機(jī)對(duì)話的學(xué)生練習(xí)課本， 全部在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行教學(xué)。學(xué)生上課時(shí)，可以通過課程軟件直接向計(jì)算機(jī)提出問題，由計(jì)算機(jī)提供問題的答案或作出所要求的解釋。

（三）普杜大學(xué)的“Calculus， Concepts，Computers & Coope- rative Learning”項(xiàng)目

“C4 L”項(xiàng)目以皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)以合作學(xué)習(xí)的方式，借助于計(jì)算機(jī)開展微積分課程的學(xué)習(xí)。在教學(xué)形式上，項(xiàng)目組采用由教師向全班學(xué)生提出精心設(shè)計(jì)的問題，再通過分組合作學(xué)習(xí)和小組交流的方式尋求問題的解決方法。在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)上，項(xiàng)目組提出APOS理論，即通過操作或活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、概型（Scheme）4個(gè)階段建構(gòu)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念個(gè)性化的心智結(jié)構(gòu)。在學(xué)習(xí)手段上，項(xiàng)目組鼓勵(lì)學(xué)生通過執(zhí)行計(jì)算機(jī)任務(wù)，自我發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)結(jié)論，認(rèn)為計(jì)算機(jī)輔助學(xué)習(xí)具有使學(xué)習(xí)者“看到數(shù)學(xué)”（Seeing mathematics）、“做數(shù)學(xué)”（Doing mathematics）、“創(chuàng)作數(shù)學(xué)”（Making mathematics）以及“使用自己創(chuàng)造的心智結(jié)構(gòu)來做數(shù)學(xué)”（Using what you have made to do mathematics）等諸多優(yōu)勢(shì)。

（四）微積分課程教材建設(shè)

微積分課程教材建設(shè)是這次改革取得的重要成果之一。新編寫的微積分教材力圖貫徹改革初衷，吸納已經(jīng)取得的改革實(shí)踐成果。一是嚴(yán)格、抽象的公理體系和邏輯證明內(nèi)容被大大削弱， 甚至被取消。二是強(qiáng)調(diào)完整的概念性理解。在引入數(shù)學(xué)概念或定理時(shí)，通常是先通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)近似結(jié)果，再給出幾何直觀展示，在學(xué)生對(duì)抽象的知識(shí)建立感性認(rèn)識(shí)后，再運(yùn)用描述性語言和形式化的數(shù)學(xué)語言加以敘述。三是強(qiáng)調(diào)概念、知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。例如，突出導(dǎo)數(shù)作為變化率的實(shí)際意義，并配有大量實(shí)例加以說明等。四是配置大量緊密結(jié)合生產(chǎn)和生活實(shí)際的例題和習(xí)題。教材中的習(xí)題除了過去的幾何、物理外，還包括建筑、生物、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)發(fā)展等眾多方面。另外，教材中很多應(yīng)用題是基于實(shí)際數(shù)據(jù)的，比如，借助某個(gè)城市晝夜溫度變化數(shù)據(jù)討論函數(shù)平均值等。五是充分利用現(xiàn)代技術(shù)手段。借助數(shù)學(xué)軟件，教材中給出了大量圖形、數(shù)表，力求將微積分知識(shí)用圖形、數(shù)值的方式加以呈現(xiàn)；完成必要的計(jì)算、驗(yàn)證、分析或判斷，幫助學(xué)生研討課程內(nèi)容；把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模內(nèi)容引入教材，培養(yǎng)學(xué)生問題解決的能力。

三、對(duì)我國高職工科高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)與改革的啟示

美國這場(chǎng)改革所提出的改革原則、理念以及實(shí)踐舉措對(duì)尚處于起步階段的我國高職工科高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)與改革有許多值得借鑒的經(jīng)驗(yàn)。

（一）重構(gòu)高職工科高等數(shù)學(xué)課程體系

近年來，各高職院校工科高等數(shù)學(xué)課程大都建立了由基礎(chǔ)、專業(yè)、選修三個(gè)模塊構(gòu)成的課程體系。但是基礎(chǔ)模塊仍然以微積分為主要內(nèi)容，存在重經(jīng)典輕現(xiàn)代、重連續(xù)輕離散、重理論輕應(yīng)用等問題。另外，將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)軟件作為選修模塊的主要內(nèi)容，有可能使那些沒有修習(xí)的學(xué)生難以了解，進(jìn)而掌握這一重要的數(shù)學(xué)技術(shù)和問題解決方法。因此，應(yīng)以實(shí)現(xiàn)課程培養(yǎng)技術(shù)型人才適應(yīng)現(xiàn)代社會(huì)必備的數(shù)學(xué)科學(xué)素養(yǎng)，奠定專業(yè)課程學(xué)習(xí)夠用的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，搭建終身學(xué)習(xí)必需的數(shù)學(xué)平臺(tái)三個(gè)基本功能為宗旨，系統(tǒng)設(shè)計(jì)高職工科高等數(shù)學(xué)課程體系。按照專業(yè)或?qū)I(yè)大類，統(tǒng)籌考慮、合理規(guī)劃基礎(chǔ)、專業(yè)兩個(gè)模塊中連續(xù)量、離散量、隨機(jī)量等課程內(nèi)容的選取與組織。同時(shí)將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)軟件融入基礎(chǔ)、專業(yè)兩個(gè)模塊的課程教學(xué)之中，構(gòu)建適用于不同專業(yè)（專業(yè)大類）需要的高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容體系。選修模塊根據(jù)學(xué)生的不同需求、不同發(fā)展方向及學(xué)習(xí)興趣，以選修課的形式面向全校學(xué)生開設(shè)。

（二）合理確定高職工科高等數(shù)學(xué)課程要求

高等教育的大眾化使得學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的差異性與以往相比更為顯著，對(duì)高等數(shù)學(xué)的需求也呈現(xiàn)出多樣化趨勢(shì)，必需合理確定高職工科高等數(shù)學(xué)課程要求。一是應(yīng)對(duì)作為基本要求部分的課程內(nèi)容在深度和廣度兩方面給予精簡，以便學(xué)生可以有更多時(shí)間與精力開展個(gè)性化的課程學(xué)習(xí)。二是在精簡內(nèi)容的同時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式中所包含的局部線性化、多項(xiàng)式逼近、元素法等數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景和意義，以及應(yīng)用性和方法性價(jià)值。同時(shí)要學(xué)習(xí)、借鑒哈佛“4規(guī)則”和普杜大學(xué)“APOS理論”，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念完整性的理解。三是將對(duì)數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)、掌握和使用納入高職工科高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容。一方面，由于數(shù)學(xué)軟件所具有的算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計(jì)算等方面的強(qiáng)大功能， 使得數(shù)學(xué)軟件成為數(shù)學(xué)建模最主要的方法與工具，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力具有十分重要的作用；另一方面，數(shù)學(xué)軟件可以將抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程以幾何直觀、數(shù)值分析等方式展現(xiàn)出來，不僅改變著數(shù)學(xué)教育的方式，更改變著數(shù)學(xué)教育觀和數(shù)學(xué)觀。四是要建立“人人需要數(shù)學(xué)，人人都應(yīng)學(xué)有用的數(shù)學(xué)，不同的人應(yīng)當(dāng)學(xué)不同的數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)教育理念，并以此指導(dǎo)高職工科高等數(shù)學(xué)課程從以往統(tǒng)一、嚴(yán)格的教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)變?yōu)闈M足不同層次、不同需求、不同發(fā)展方向?qū)W生需要的多元質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

（三）突出數(shù)學(xué)課程的工具作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

美國微積分課程的突出特征是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的工具作用，遵循“用數(shù)學(xué)于現(xiàn)實(shí)世界”的原則。事實(shí)上，對(duì)于絕大多數(shù)修習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)生而言，將來不是要成為數(shù)學(xué)家，而是要運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問題。突出課程的工具作用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力應(yīng)該從以下幾方面做起：一是與專業(yè)課教師、行業(yè)工程技術(shù)人員一起對(duì)各專業(yè)高等數(shù)學(xué)的課程目標(biāo)、內(nèi)容和基本要求進(jìn)行界定和描述，共同制定各專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。二是對(duì)數(shù)學(xué)在專業(yè)課程中的應(yīng)用案例進(jìn)行收集，將其轉(zhuǎn)化為可供數(shù)學(xué)課程教學(xué)運(yùn)用的專業(yè)案例，為數(shù)學(xué)教師采用“實(shí)際問題—數(shù)學(xué)概念—實(shí)際問題”的方式開展教學(xué)建立充足的案例庫。三是要重視數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展。一方面，教師要熟練掌握數(shù)學(xué)軟件，積極參與、指導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，提升自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；另一方面，要研究授課班級(jí)所在專業(yè)的專業(yè)知識(shí)，提高將專業(yè)案例轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)課程案例的能力。四是借鑒美國教材題例的編選方式，將社會(huì)中的實(shí)際問題及工程技術(shù)中的真實(shí)問題編入教材，讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于日常生活、工程技術(shù)、社會(huì)實(shí)踐的能力，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生作為“職業(yè)人”的初期塑造。

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