等效法處理重力場(chǎng)和電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)問題

趙鵬飛

物體僅在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是最常見、最基本的運(yùn)動(dòng)，但是對(duì)處在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的帶電物體而言，它的周圍不僅有重力場(chǎng)，還有勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)研究這兩種場(chǎng)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，問題就會(huì)變得復(fù)雜一些.此時(shí)，若能將重力場(chǎng)與電場(chǎng)合二為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場(chǎng)”（可形象稱之為“等效重力場(chǎng)”）來代替，不僅能得到“柳暗花明”的效果，同時(shí)也是一種思想的體現(xiàn).那么，如何實(shí)現(xiàn)這一思想方法呢？

一、概念的全面類比

為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場(chǎng)”中的部分概念與之前的相關(guān)概念之間關(guān)系.具體對(duì)應(yīng)如下：

等效重力場(chǎng)是重力場(chǎng)、電場(chǎng)疊加而成的復(fù)合場(chǎng)

等效重力是重力、電場(chǎng)力的合力

等效重力加速度等于等效重力與物體質(zhì)量的比值

等效“最低點(diǎn)”是物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置

等效“最高點(diǎn)”是物體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對(duì)稱的位置

等效重力勢(shì)能等于等效重力大小與物體沿等效重力場(chǎng)方向“高度”的乘積

二、等效重力場(chǎng)中的典型模型

1.類平拋運(yùn)動(dòng)

例1如圖1所示，傾角α=37°的光滑絕緣斜面處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E=103N/C，有一個(gè)質(zhì)量為m=3×10-3kg的帶電小球，以速度v=1 m/s沿斜面勻速下滑，求：（1）小球帶何種電荷？電荷量為多少？（2）在小球勻速下滑的某一時(shí)刻突然撤去斜面，此后經(jīng)t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）

解析（1）由于小球勻速運(yùn)動(dòng)，所受重力與電場(chǎng)力的合力和斜面對(duì)小球的支持力平衡，如圖2可知，小球必帶正電，且tanα=Eqmg，所以； q=mgtanαE=2.25×10-5C.

從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，實(shí)際上就是小球所受等效重力與斜面對(duì)小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分別表示為G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

（2）撤去斜面后，小球僅受等效重力作用，且具有與等效重力方向垂直的初速度，所以小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，處理的基本方法是運(yùn)動(dòng)的分解.

如圖3，小球在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做“自由落體運(yùn)動(dòng)”，則有x=vt

y=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s， g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m，所以t=0.2 s內(nèi)的總位移大小為s=x2+y2=0.32 m.

考慮到分析習(xí)慣，實(shí)際處理時(shí)可將上述示意圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過α角，讓小球的運(yùn)動(dòng)和重力場(chǎng)中的平拋運(yùn)動(dòng)更接近.

2.單擺類問題

例2如圖4所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下段拴一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向水平向右.已知當(dāng)細(xì)線偏離豎直位置的夾角為α?xí)r，小球處于平衡狀態(tài)，如果使細(xì)線的偏轉(zhuǎn)角由α增大到φ，然后將小球由靜止開始釋放，則：（1）φ應(yīng)為多大，才能使細(xì)線到達(dá)豎直位置時(shí)小球的速度恰好為零？（2）若α≤5°，那么（1）問中帶電小球由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要多少時(shí)間？

解析（1）從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，小球原來的平衡位置是它的等效“最低點(diǎn)”，初始釋放點(diǎn)M和幾何最低點(diǎn)N是小球在等效“最低點(diǎn)”兩側(cè)做機(jī)械振動(dòng)的兩個(gè)端點(diǎn)，如圖4所示，它們應(yīng)該關(guān)于等效“最低點(diǎn)”對(duì)稱，所以φ=2α；

（2）α≤5°時(shí)，小球的振動(dòng)可近似看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要的時(shí)間為周期的一半，即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g(shù)′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球從釋放至第一次到達(dá)豎直位置的時(shí)間為t=πLcosαg.

與傳統(tǒng)的處理方法相比較，等效重力場(chǎng)法回避了復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式化簡(jiǎn)和三角函數(shù)變換的過程，達(dá)到了事半功倍的效果.

3.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)

例3光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球受到的的電場(chǎng)力大小為33mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v0大小.

解析小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力作用，可認(rèn)為小球處在等效重力場(chǎng)中.小球所受的等效重力大小為

G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，

其中g(shù)′=233g，且如圖5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向與豎直方向成30°.

故圖6中B為等效“最低點(diǎn)”，C為等效“最高點(diǎn)”.小球能做完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰能通過等效“最高點(diǎn)”C，在C點(diǎn)等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，對(duì)小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過程應(yīng)用動(dòng)能定理

-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.

代入相關(guān)物理量解得 v0=2（3+1）gR

此處，借助等效重力勢(shì)能的概念使用等效機(jī)械能守恒定律也可以求解，不過需要準(zhǔn)確理解等效重力場(chǎng)中“參考面”和“高度”的含義.

物體僅在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是最常見、最基本的運(yùn)動(dòng)，但是對(duì)處在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的帶電物體而言，它的周圍不僅有重力場(chǎng)，還有勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)研究這兩種場(chǎng)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，問題就會(huì)變得復(fù)雜一些.此時(shí)，若能將重力場(chǎng)與電場(chǎng)合二為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場(chǎng)”（可形象稱之為“等效重力場(chǎng)”）來代替，不僅能得到“柳暗花明”的效果，同時(shí)也是一種思想的體現(xiàn).那么，如何實(shí)現(xiàn)這一思想方法呢？

一、概念的全面類比

為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場(chǎng)”中的部分概念與之前的相關(guān)概念之間關(guān)系.具體對(duì)應(yīng)如下：

等效重力場(chǎng)是重力場(chǎng)、電場(chǎng)疊加而成的復(fù)合場(chǎng)

等效重力是重力、電場(chǎng)力的合力

等效重力加速度等于等效重力與物體質(zhì)量的比值

等效“最低點(diǎn)”是物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置

等效“最高點(diǎn)”是物體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對(duì)稱的位置

等效重力勢(shì)能等于等效重力大小與物體沿等效重力場(chǎng)方向“高度”的乘積

二、等效重力場(chǎng)中的典型模型

1.類平拋運(yùn)動(dòng)

例1如圖1所示，傾角α=37°的光滑絕緣斜面處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E=103N/C，有一個(gè)質(zhì)量為m=3×10-3kg的帶電小球，以速度v=1 m/s沿斜面勻速下滑，求：（1）小球帶何種電荷？電荷量為多少？（2）在小球勻速下滑的某一時(shí)刻突然撤去斜面，此后經(jīng)t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）

解析（1）由于小球勻速運(yùn)動(dòng)，所受重力與電場(chǎng)力的合力和斜面對(duì)小球的支持力平衡，如圖2可知，小球必帶正電，且tanα=Eqmg，所以； q=mgtanαE=2.25×10-5C.

從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，實(shí)際上就是小球所受等效重力與斜面對(duì)小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分別表示為G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

（2）撤去斜面后，小球僅受等效重力作用，且具有與等效重力方向垂直的初速度，所以小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，處理的基本方法是運(yùn)動(dòng)的分解.

如圖3，小球在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做“自由落體運(yùn)動(dòng)”，則有x=vt

y=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s， g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m，所以t=0.2 s內(nèi)的總位移大小為s=x2+y2=0.32 m.

考慮到分析習(xí)慣，實(shí)際處理時(shí)可將上述示意圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過α角，讓小球的運(yùn)動(dòng)和重力場(chǎng)中的平拋運(yùn)動(dòng)更接近.

2.單擺類問題

例2如圖4所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下段拴一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向水平向右.已知當(dāng)細(xì)線偏離豎直位置的夾角為α?xí)r，小球處于平衡狀態(tài)，如果使細(xì)線的偏轉(zhuǎn)角由α增大到φ，然后將小球由靜止開始釋放，則：（1）φ應(yīng)為多大，才能使細(xì)線到達(dá)豎直位置時(shí)小球的速度恰好為零？（2）若α≤5°，那么（1）問中帶電小球由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要多少時(shí)間？

解析（1）從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，小球原來的平衡位置是它的等效“最低點(diǎn)”，初始釋放點(diǎn)M和幾何最低點(diǎn)N是小球在等效“最低點(diǎn)”兩側(cè)做機(jī)械振動(dòng)的兩個(gè)端點(diǎn)，如圖4所示，它們應(yīng)該關(guān)于等效“最低點(diǎn)”對(duì)稱，所以φ=2α；

（2）α≤5°時(shí)，小球的振動(dòng)可近似看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要的時(shí)間為周期的一半，即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g(shù)′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球從釋放至第一次到達(dá)豎直位置的時(shí)間為t=πLcosαg.

與傳統(tǒng)的處理方法相比較，等效重力場(chǎng)法回避了復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式化簡(jiǎn)和三角函數(shù)變換的過程，達(dá)到了事半功倍的效果.

3.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)

例3光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球受到的的電場(chǎng)力大小為33mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v0大小.

解析小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力作用，可認(rèn)為小球處在等效重力場(chǎng)中.小球所受的等效重力大小為

G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，

其中g(shù)′=233g，且如圖5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向與豎直方向成30°.

故圖6中B為等效“最低點(diǎn)”，C為等效“最高點(diǎn)”.小球能做完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰能通過等效“最高點(diǎn)”C，在C點(diǎn)等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，對(duì)小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過程應(yīng)用動(dòng)能定理

-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.

代入相關(guān)物理量解得 v0=2（3+1）gR

此處，借助等效重力勢(shì)能的概念使用等效機(jī)械能守恒定律也可以求解，不過需要準(zhǔn)確理解等效重力場(chǎng)中“參考面”和“高度”的含義.

物體僅在重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是最常見、最基本的運(yùn)動(dòng)，但是對(duì)處在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的帶電物體而言，它的周圍不僅有重力場(chǎng)，還有勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)研究這兩種場(chǎng)對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響，問題就會(huì)變得復(fù)雜一些.此時(shí)，若能將重力場(chǎng)與電場(chǎng)合二為一，用一個(gè)全新的“復(fù)合場(chǎng)”（可形象稱之為“等效重力場(chǎng)”）來代替，不僅能得到“柳暗花明”的效果，同時(shí)也是一種思想的體現(xiàn).那么，如何實(shí)現(xiàn)這一思想方法呢？

一、概念的全面類比

為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場(chǎng)”中的部分概念與之前的相關(guān)概念之間關(guān)系.具體對(duì)應(yīng)如下：

等效重力場(chǎng)是重力場(chǎng)、電場(chǎng)疊加而成的復(fù)合場(chǎng)

等效重力是重力、電場(chǎng)力的合力

等效重力加速度等于等效重力與物體質(zhì)量的比值

等效“最低點(diǎn)”是物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置

等效“最高點(diǎn)”是物體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對(duì)稱的位置

等效重力勢(shì)能等于等效重力大小與物體沿等效重力場(chǎng)方向“高度”的乘積

二、等效重力場(chǎng)中的典型模型

1.類平拋運(yùn)動(dòng)

例1如圖1所示，傾角α=37°的光滑絕緣斜面處于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度E=103N/C，有一個(gè)質(zhì)量為m=3×10-3kg的帶電小球，以速度v=1 m/s沿斜面勻速下滑，求：（1）小球帶何種電荷？電荷量為多少？（2）在小球勻速下滑的某一時(shí)刻突然撤去斜面，此后經(jīng)t=0.2 s小球的位移是多大？（g取10 m/s2）

解析（1）由于小球勻速運(yùn)動(dòng)，所受重力與電場(chǎng)力的合力和斜面對(duì)小球的支持力平衡，如圖2可知，小球必帶正電，且tanα=Eqmg，所以； q=mgtanαE=2.25×10-5C.

從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，實(shí)際上就是小球所受等效重力與斜面對(duì)小球的支持力平衡，故等效重力大小、等效重力加速度大小可分別表示為G′=mg′=mgcosα、g′=gcosα.

（2）撤去斜面后，小球僅受等效重力作用，且具有與等效重力方向垂直的初速度，所以小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，處理的基本方法是運(yùn)動(dòng)的分解.

如圖3，小球在x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做“自由落體運(yùn)動(dòng)”，則有x=vt

y=12g′t2，其中v=1 m/s， t=0.2 s， g′=gcosα=1045m/s2=12.5 m/s2.

解得y=0.25 m，所以t=0.2 s內(nèi)的總位移大小為s=x2+y2=0.32 m.

考慮到分析習(xí)慣，實(shí)際處理時(shí)可將上述示意圖順時(shí)針轉(zhuǎn)過α角，讓小球的運(yùn)動(dòng)和重力場(chǎng)中的平拋運(yùn)動(dòng)更接近.

2.單擺類問題

例2如圖4所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下段拴一質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向水平向右.已知當(dāng)細(xì)線偏離豎直位置的夾角為α?xí)r，小球處于平衡狀態(tài)，如果使細(xì)線的偏轉(zhuǎn)角由α增大到φ，然后將小球由靜止開始釋放，則：（1）φ應(yīng)為多大，才能使細(xì)線到達(dá)豎直位置時(shí)小球的速度恰好為零？（2）若α≤5°，那么（1）問中帶電小球由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要多少時(shí)間？

解析（1）從“等效重力場(chǎng)”觀點(diǎn)看，小球原來的平衡位置是它的等效“最低點(diǎn)”，初始釋放點(diǎn)M和幾何最低點(diǎn)N是小球在等效“最低點(diǎn)”兩側(cè)做機(jī)械振動(dòng)的兩個(gè)端點(diǎn)，如圖4所示，它們應(yīng)該關(guān)于等效“最低點(diǎn)”對(duì)稱，所以φ=2α；

（2）α≤5°時(shí)，小球的振動(dòng)可近似看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，由靜止釋放至到達(dá)豎直位置需要的時(shí)間為周期的一半，即

t=T2=2πLg′2=πLg′

其中g(shù)′=G′m=mgcosαm=gcosα，所以小球從釋放至第一次到達(dá)豎直位置的時(shí)間為t=πLcosαg.

與傳統(tǒng)的處理方法相比較，等效重力場(chǎng)法回避了復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式化簡(jiǎn)和三角函數(shù)變換的過程，達(dá)到了事半功倍的效果.

3.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)

例3光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球受到的的電場(chǎng)力大小為33mg，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度v0，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求v0大小.

解析小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力作用，可認(rèn)為小球處在等效重力場(chǎng)中.小球所受的等效重力大小為

G′=mg′=（mg）2+（33mg）2=233mg，

其中g(shù)′=233g，且如圖5又有tanθ=33mgmg=33，即θ=30°，也就是等效重力的方向與豎直方向成30°.

故圖6中B為等效“最低點(diǎn)”，C為等效“最高點(diǎn)”.小球能做完整圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是恰能通過等效“最高點(diǎn)”C，在C點(diǎn)等效重力提供向心力，即Fn=G′=mv2cR，可得vc=g′R=233gR，對(duì)小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過程應(yīng)用動(dòng)能定理

-mg′（R+Rcosθ）=12mv2c-12mv20.

代入相關(guān)物理量解得 v0=2（3+1）gR

此處，借助等效重力勢(shì)能的概念使用等效機(jī)械能守恒定律也可以求解，不過需要準(zhǔn)確理解等效重力場(chǎng)中“參考面”和“高度”的含義.