整系數(shù)多項式有理根存在性的新判別法

趙元翔

(揚州職業(yè)大學(xué) 師范學(xué)院，江蘇 揚州 225009)

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整系數(shù)多項式有理根存在性的新判別法

趙元翔

(揚州職業(yè)大學(xué) 師范學(xué)院，江蘇 揚州 225009)

給出了一種與艾森斯坦判別法截然不同的判斷整系數(shù)多項式無有理根的方法，這種判別法不僅能夠解決一類不能由艾森斯坦判別法直接判別的整系數(shù)多項式，而且對于復(fù)雜的整系數(shù)多項式能夠做出迅速判斷，對判斷整系數(shù)多項式有理根的存在性有重要意義。

整系數(shù)多項式; 艾森斯坦判別法; 無有理根

在唐忠明、戴桂生教授主編、南京大學(xué)出版社出版的《高等代數(shù)》第73頁上有這樣一道題目[1]: 設(shè)f(x)是整系數(shù)多項式，且f(0)，f(1)都是奇數(shù)，證明f(x)沒有有理根.如果f(x)=2x+1，則f(0)=1,f(1)=3均是奇數(shù)，而f(x)仍存在有理根。因此，該題是錯誤的命題，通過進一步探究,我們得到了一個較為完整的判斷整系數(shù)多項式無有理根的方法如下：

定理1 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥2)，且滿足：

①首項系數(shù)an為奇數(shù);

②f(0)為奇數(shù);

③f(1)為奇數(shù);

則f(x)無有理根.

則有f(x)=(sx-r)h(x),h(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b0.

因為f(0)=-rb0為奇數(shù)，所以r為奇數(shù).

f(1)=(s-r)h(1)為奇數(shù)，故s-r為奇數(shù)，s為偶數(shù).

由于f(x)的首項系數(shù)an=sbn-1，故首項系數(shù)為偶數(shù)，與已知矛盾，定理1得證.

例1 設(shè)p(≠2)是質(zhì)數(shù)，證明f(x)=xp+xp-1+…+x+1無有理根.

(這是一條典型的通過變形利用艾森斯坦判別法判斷的習(xí)題，用定理1證明如下.)

證明：根據(jù)首項系數(shù)為1，f(0)=1,f(1)=p均為奇數(shù), 故f(x)無有理根.

將定理1做適當推廣得：

定理2 若f(x)是整系數(shù)多項式，首項系數(shù)為奇數(shù)，對任意一奇一偶的整數(shù)a1,a2，有f(a1),f(a2)均為奇數(shù)，則f(x)無有理根.

設(shè)f(x)=(sx-r)h(x),h(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b0是整系數(shù)多項式,

a2為偶數(shù)，f(a2)=(sa2-r)(bn-1a2n-1+bn-2a2n-2+…+b1a2+b0).

因為sa2,bn-1a2n-1,bn-2a2n-2,…,b1a2都是奇數(shù)，f(a2)也是奇數(shù), 所以r,b0都是奇數(shù).

a1為奇數(shù)，f(a1)=(sa1-r)(bn-1a1n-1+bn-2a1n-2+…+b1a1+b0).

因為f(a1)是奇數(shù), 所以sa1-r是奇數(shù), 又因為a1,r是奇數(shù), 所以s必為偶數(shù), 因此f(x)的首項系數(shù)sbn-1是偶數(shù)(矛盾), 故f(x)無有理根，證畢.

例2 試證明f(x)=(x-2013)2012(x-2012)2013+1001無有理根.

證： 因為f(2013)=f(2012)=1001為奇數(shù)，首項系數(shù)是1, 所以由定理2得f(x)無有理根.

觀察上面的定理1和定理2，均要求首項系數(shù)為奇數(shù)，然而首項系數(shù)是偶數(shù)時，何時成立？

定理3 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥2)，且滿足：

①2|an，4?an;

②f(0)，f(1)是奇數(shù)

③2|an-1;則f(x)無有理根.(條件①可以改為(an,2m)=2,其中m是無窮大的正整數(shù)).

設(shè)f(x)=(sx-r)h(x),h(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2+…+b0是整系數(shù)多項式,

則f(x)=sbn-1xn-1+(sbb-2-rbn-1)xn-2+…+(-rb0)=anxn+an-1xn-1+…+a0.

f(0)是奇數(shù)，則r,b0是奇數(shù).

f(1)是奇數(shù)，則s-r是奇數(shù)，s是偶數(shù), 因為2|an,4?an，an=sbn-1，所以bn-1是奇數(shù)，則an-1=sbn-2-rbn-1是奇數(shù)，與條件③矛盾，故f(x)無有理根.

定理4.1 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥3),

若 ①4|an，8?an;

②f(0)，f(1)是奇數(shù);

③4|an-1且2|an-2.

則f(x)無有理根.

定理4.2 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥3)，且滿足：

①4|an，8?an;

②f(0)，f(1)是奇數(shù);

③2|an-1，4?an-1且an-2是奇數(shù).

則f(x)無有理根.

由于an=sbn-1，(an,2m)=4,因此可將f(x)分為三類討論：

(1)2?s，4|bn-1(不成立，s必為時偶數(shù)),

(2)2|s，2|bn-1時,

i)bn-2為偶數(shù)?(an-1,2m)=2?an-2為偶數(shù),

ii)bn-2為奇數(shù)?4|an-1?an-2為奇數(shù).

(3)4|s，2?bn-1時, 此時an-1必為奇數(shù).

假設(shè)“4|an-1且2|an-2”.

分類(2)中 i)要求(an-1,2m)=2以及分類(3)與4|an-1矛盾；

分類(2)中ii)要求an-2為奇數(shù)與2|an-2矛盾，故f(x)無有理根.

假設(shè)“2|an-1，4?an-1且2?an-2”即“(an-1,2m)=2且2?an-2” .

分類(1)中ii)和分類(2)(3)與(an-1,2m)=2可，分類(1)中 i)與2?an-2矛盾，故f(x)無有理根.定理4.1和定理4.2獲證.

定理5 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥3)，且滿足：

①(an,2m)=2t(t≥0的偶數(shù)) ;

②f(0)，f(1)是奇數(shù);

設(shè)s=2ks′,bn-1=2t-kbn-1′,(s′,2)=1,(bn-1′,2)=1,0

定理6 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是整系數(shù)多項式(n≥3)，且滿足：

①(an,2m)=2t(t≥1的奇數(shù));

②f(0)，f(1)是奇數(shù);

證：由于an-2是奇數(shù)，故由an-2=sbn-3-rbn-2可知bn-2是奇數(shù).

設(shè)s=2ks′,bn-1=2t-kbn-1′,(s′,2)=1,(bn-1′,2)=1,0

在定理3到定理6這4個定理中，條件②“f(0)，f(1)是奇數(shù)” 換為“a,b為一奇一偶整數(shù)，f(a)，f(b)是奇數(shù)”，結(jié)論仍然成立(證明略).

例3 證明整系數(shù)多項式f(x)=2048x7+1993x5+9x+15無有理根.

證： 首項系數(shù)an=2048=211，選用定理6證明.

由于f(0)=15是奇數(shù)

f(1)=2048+1993+9+15=4065是奇數(shù)，an-1=0.26|0且an-2=9為奇數(shù), 根據(jù)定理6得f(x)無有理根．

[1] 唐忠明, 戴桂生.高等代數(shù)[M].南京大學(xué)出版社, 2000.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].高等教育出版社(第三版), 2003.

(李鑫)

A new criterion for judging the existence of rational roots of an integer polynomial

ZHAO Yuan-Xiang

(Yangzhou Polytechnic College，Yangzhou 225009, Jiangsu China)

A new criterion is given for recognizing whether or not an integer polynomial has rational roots. This criterion is not only absolutely different from Eisenstein Criterion, which cannot directly present judgment for some integer polynomials, but can also quickly produce decision for complex integer polynomials. Therefore, this new criterion possesses significance in judging the existence of rational roots of an integer polynomial.

integer polynomial; Eisenstein Criterion; no rational root

O151

A

1003-8078(2014)03-0016-03

2013-10-17 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2014.03.05

趙元翔，男，江蘇揚州人，揚州職業(yè)大學(xué)師范學(xué)院學(xué)生，研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。