新型雙余度永磁無刷電機穩(wěn)態(tài)特性的等效磁路模型

羅戰(zhàn)強 梁得亮

（西安交通大學電氣工程學院 西安 710049）

1 引言

永磁無刷電機由于結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)速范圍寬，調(diào)速性能優(yōu)異，系統(tǒng)可靠性高，容錯性強，尤其是作為航空電力作動系統(tǒng)機電能量轉(zhuǎn)換的關鍵部件越來越受到人們重視[1-4]。以往的研究主要集中在單余度，而對于雙余度研究較少，尤其是本文所提出的新型結(jié)構(gòu)雙余度永磁無刷電機（DRPMBLM）研究更少。

DRPMBLM 是從可靠性、維護性、容錯性、環(huán)境適應性及容量、效率和功率密度等方面考慮而設計研究的一種新型電機。它在普通的永磁無刷電機基礎上，在定子槽內(nèi)嵌放兩套獨立的繞組，由兩套獨立的功率電路驅(qū)動形成新型的雙控制通道[5]。由于永磁無刷電機本身磁場就比較復雜，加上兩個余度之間還存在著強烈的互感和彼此間的干擾，使得DRPMBLM 成為一個多變量強耦合的非線性系統(tǒng)。

在現(xiàn)代控制理論的基礎上，利用電力電子技術(shù)和計算機技術(shù)，實現(xiàn)DRPMBLM 的高性能控制，首先就要建立其準確的數(shù)學模型。文獻[6-10]利用有限元軟件從場的角度對永磁無刷電機靜態(tài)特性進行了計算，利用等效磁路法進行了單余度永磁無刷電機的磁場分析。本文在現(xiàn)有文獻的基礎上，首先介紹了DRPMBLM 的原理和結(jié)構(gòu)，建立了等效磁路模型，推導出一個電周期范圍內(nèi)的磁導表達式，確定以磁路各部分磁導表示的磁通矩陣，利用高斯-賽德爾迭代法求解矩陣方程獲得氣隙磁通，并采取措施消弱諧波進而求得磁通密度和反電動勢。然后利用有限元軟件Ansoft 從磁場分析的角度計算了氣隙磁通、磁通密度和反電動勢特性，驗證了該數(shù)學模型的正確性。

2 DRPMBLM 結(jié)構(gòu)與原理

2.1 DRPMBLM 結(jié)構(gòu)與功率拓撲結(jié)構(gòu)

新型DRPMBLM 結(jié)構(gòu)形式如圖1 所示，采用兩套雙Y 三相繞組獨立輸出。雙余度永磁無刷電機雙Y 三相相對獨立的繞組，與文獻[11]隔槽嵌放兩套電樞繞組不同，按照磁極對數(shù)嵌放于定子鐵心內(nèi)。此雙余度永磁無刷電機的特點是齒槽轉(zhuǎn)矩小、諧波含量低、余度電機之間電氣同相位，使得電機換相簡單方便，提高了系統(tǒng)的控制性能[5]。定子結(jié)構(gòu)如圖1 所示，驅(qū)動電路如圖2 所示。

圖1 雙余度永磁無刷電機定子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Stator structure of DRPMBLM

圖2 雙余度永磁無刷電機系統(tǒng)電路圖Fig.2 Circuit diagram of DRPMBLM system

DRPMBLM 系統(tǒng)可以采用雙控制通道工作方式或者單通道工作方式。當一個控制通道經(jīng)檢測并確認故障時能夠轉(zhuǎn)換為單通道工作，成為容錯工作方式。

2.2 驅(qū)動模式

采用圖2 所示的驅(qū)動電路。雙余度電機驅(qū)動電路中開關管的導通規(guī)律見表1。

表1 兩相導通星形六狀態(tài)開關邏輯Tab.1 Two phase conduction star six state switch logic

3 DRPMBLM 數(shù)學模型

首先按照圖3 所示磁場分布圖分析DRPMBLM的等效磁路模型，在此基礎上推導以磁導表示的磁通矩陣，然后通過磁場分割法得到磁路中各部分的磁導解析式，將磁導的解析式代入磁通矩陣，通過高斯-賽德爾迭代法求得各部分磁通大小，最后得到電機的氣隙磁通[12-17]。

圖3 雙余度永磁無刷電機磁場分布Fig.3 Magnetic field distribution of DRPMBLM

3.1 等效磁路

圖4 表DRPMBLM 空載等效磁路圖，圖5 表示DRPMBLM 雙余度加載等效磁路圖。圖中，F(xiàn)r是稀土磁鋼的磁動勢；Gr是稀土磁鋼內(nèi)磁導；Gm是稀土磁鋼漏磁導；Gry是轉(zhuǎn)子軛部磁導；Gu是氣隙磁導；Gsp1、Gsp2和Gsp3是定子齒部磁導；Gsy1、Gsy2和Gsy3是定子軛部磁導；Φ0、Φ1、Φ2和Φ3分別是回路磁通，NI是電機加載所產(chǎn)生的去磁磁動勢。

圖4 雙余度永磁無刷電機空載等效磁路圖Fig.4 DRPMBLM no-load equivalent magnetic circuit diagram

3.2 氣隙磁導

氣隙磁導計算公式如下：

式中μ0——空氣導磁率，μ0=4π×10-7H/m；

lδ——氣隙的軸向計算長度，lδ=la+2δ；

αm——氣隙磁場的計算極弧系數(shù)；

τ——極距；

kδ——氣隙系數(shù)。

圖5 雙余度永磁無刷電機雙余度加載等效磁路圖Fig.5 DRPMBLM dual redundancy load equivalent magnetic circuit diagram

3.3 定子軛部磁導

定子軛部磁通管的截面積為Ssy，長度為Lsy，則定子軛部磁導為

式中μrs——定子鐵心相對磁導率；

hj1——定子鐵心軛高；

la——定子鐵心長度；

αm——氣隙磁場的計算極弧系數(shù)；

Da——定子鐵心內(nèi)徑；

p——極對數(shù)。

3.4 轉(zhuǎn)子軛部磁導

轉(zhuǎn)子軛部磁通管的截面積為Sry，長度為Lry，則轉(zhuǎn)子軛部磁導為

式中μrr——轉(zhuǎn)子鐵心相對磁導率；

lt——轉(zhuǎn)子鐵心長度；

De2——轉(zhuǎn)子鐵心外徑；

Di2——轉(zhuǎn)子鐵心內(nèi)徑；

bj——轉(zhuǎn)子磁軛寬度。

3.5 定子齒部磁導

定子齒部磁通管的截面積為Ssp，長度為ht

3.6 稀土永磁體內(nèi)磁導

由于稀土釤鈷永磁體回復線是直線，則內(nèi)磁導可視為常量，其值為

式中μr——稀土磁鋼相對磁導率；

lm——稀土磁鋼的軸向長；

bm——產(chǎn)生每極磁通并與磁力線相垂直的稀土磁鋼的計算中性截面寬度；

Lm——稀土磁鋼沿磁力線方向一對磁極的計算長度。

3.7 漏磁導

稀土磁鋼漏磁的大小對電機性能有多方面的影響，使得必須進行漏磁分析。在相同條件下漏磁大的稀土磁鋼材料消耗多，使電機體積、重量增加，成本提高。轉(zhuǎn)子漏磁的大小還影響電機的工作特性。

徑向勵磁漏磁場分為：

（1）磁鋼側(cè)面極間漏磁導G1。

（2）磁鋼軸向端面極間漏磁導G2。

（3）磁鋼側(cè)面與端面相交線之間的漏磁導G3。

（4）磁鋼側(cè)面與極靴面之間漏磁導G4。

（5）磁鋼端面與極靴面相交線之間的漏磁導G5。

（6）磁鋼側(cè)面、端面與極靴間的交點之間漏磁導G6。

則總漏磁導為

G1、G2、G3、G4、G5、G6對應的漏磁通分別為Φσ1、Φσ2、Φσ3、Φσ4、Φσ5、Φσ6，漏磁通如圖6 所示。

3.7.1 稀土磁鋼側(cè)面極間漏磁導G1

磁通管的截面積S1和磁路長l1，則

圖6 漏磁簡圖Fig.6 Magnetic flux leakage diagram

當S1和l1變化時采用平均值法，依照上圖互成角度的兩個極面構(gòu)成的氣隙，可認為磁力線都是以兩極面延長線后的交線o-o為軸心的圓弧。可見外圈磁力線的長度比內(nèi)圈長，則其B就不相同，但是沿軸線方向B還是相等的。等效截面積為lahm，而等效長度為αhm/2，則在這一微小磁通管內(nèi)認為B是常數(shù)，求得稀土磁鋼側(cè)面極間漏磁導公式

式中hm——稀土磁鋼厚度；

α——稀土磁鋼側(cè)面間的夾角。

3.7.2 稀土磁鋼軸向端面極間漏磁通導G2

式中Dm——稀土磁鋼外徑。

3.7.3 稀土磁鋼側(cè)面與端面相交線（側(cè)棱邊）之間的漏磁導G3

磁路平均長

平均截面積

3.7.4 稀土磁鋼側(cè)面與極靴面（棱邊）之間漏磁導G4

磁路平均長

平均截面積

3.7.5 稀土磁鋼端面與極靴面相交線（棱邊）之間的漏磁導G5

磁路平均長

平均截面積

3.7.6 稀土磁鋼側(cè)面、端面與極靴間的交點之間漏磁導G6

磁路平均長

磁通管體積

3.8 非線性磁路計算

根據(jù)以上各部分磁導的計算公式，可以得到雙余度永磁無刷電機空載等效磁路如圖4 所示，圖4中一個磁極的四個回路磁路方程可寫成矩陣形式（23）；雙余度加載等效磁路如圖5 所示，圖5中一個磁極的四個回路磁路方程可寫成矩陣形式（24）。

磁路方程表示為矩陣形式如下：

式中，R為磁阻矩陣；Φ為磁通向量；F為磁動勢向量。

對于式（25）的求解過程如圖7 所示，假設空氣和鐵心的相對磁導率分別為1 和1 000，采用高斯-賽德爾迭代法計算式（23）和式（24），求得向量Φ；然后計算各部分磁通密度B，根據(jù)鐵心材料μ-B特性獲得鐵心材料磁導率μ，重新計算各組成部分磁導，求解式（25），求得新的向量Φ；重復以上過程n次，如果第n次的Φn與第n-1 次的Φn-1誤差值小于設定的誤差容限ε，即|Φn-Φn-1|≤ε，則停止計算過程，求得最終的向量Φ。

稀土磁鋼剩磁對應的磁通為

式中Br——稀土磁鋼的剩磁；

Sm——稀土磁鋼的截面積。

圖7 矩陣方程非線性求解過程Fig.7 Flow chart of nonlinear solution procedure

氣隙磁通為

氣隙磁通密度為

氣隙磁通密度如圖8 所示。

圖8 氣隙磁通密度Fig.8 Air gap flux density

由圖8 可以得出氣隙磁通密度波形由基波和一些奇次諧波組成，按照圖9 所示的梯形波進行分析，波形平頂寬度為π-2θ。氣隙磁通密度表示成如下傅里葉級數(shù)

式中ω——基波角頻率。

圖9 氣隙磁通密度分布梯形波Fig.9 Air gap flux density distribution trapezoidal wave

線反電動勢為

為使線反電動勢波形為正弦波，在星形繞組接法的基礎上采取整距分布相繞組和定子斜槽消弱諧波，繞組系數(shù)見表2。

表2 電樞繞組系數(shù)Tab.2 Armature winding coefficient

相反電動勢合成線反電動勢，3 次諧波合成系數(shù)為零，消除諧波主要是5 次諧波。

式中kck——電樞繞組斜槽系數(shù)；

kp——電樞繞組分布系數(shù)；

kw——電樞繞組系數(shù)；

q——每極每相槽數(shù)；

v——諧波次數(shù)；

γ——槽距角；

m——每余度電機電樞繞組相數(shù)。

由表2 可見，q=1 時5 次諧波基本沒有被削弱，而q=2 時5 次諧波被削弱到1/4～1/5，線電動勢接近正弦波。

4 數(shù)學模型的有限元驗證及結(jié)果分析

4.1 雙余度永磁無刷電機參數(shù)及磁場分析

對一臺額定電壓DC270V，額定轉(zhuǎn)速9 400r/min雙余度永磁無刷電機進行仿真計算，參數(shù)見表3，雙余度額定功率和單余度額定功率分別為3.6kW 和1.8kW。

表3 雙余度永磁無刷電機主要設計參數(shù)Tab.3 Main design parameters of DRPMBLM

4.2 數(shù)學模型計算結(jié)果的有限元數(shù)值驗證

圖10 和圖11 分別為等效磁路法和有限元法的仿真相反電動勢和法線反電動勢。從圖10a 和圖10b可以看出，上述等效磁路模型的解析計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果一致。

圖10 等效磁路法和有限元法的仿真相反電動勢Fig.10 Phase back electromotive force result from MEC and FEA

圖11 等效磁路法和有限元法的仿真法線反電動勢Fig.11 Normal line back electromotive force result from MEC and FEA

從圖11 可以看出，相反電動勢接近梯形波，而線反電動勢并非平頂波而是接近正弦波。

圖12 是電機達到穩(wěn)態(tài)時相電流的計算值。此時負載轉(zhuǎn)矩為3.8N·m。實際中的電流波形不是平滑的曲線，是由于PWM 控制的影響。工作狀態(tài)的切換直接影響了相電流的波形，這正反映了永磁無刷電機本身固有的局限性。

圖12 等效磁路法和有限元法穩(wěn)態(tài)電流仿真Fig.12 Steady state winding current result from MEC and FEA

5 結(jié)論

本文針對航空電力作動系統(tǒng)用DRPMBLM 系統(tǒng)，建立了DRPMBLM 的等效磁路模型，對各組成部分的磁導進行了詳細分析計算，并用高斯-賽德爾迭代法求解了磁通矩陣方程，獲得了DRPMBLM 的氣隙磁通。由于該數(shù)學模型考慮了DRPMBLM 定、轉(zhuǎn)子軛部磁路和材料非線性磁飽和的影響，因而大大提高了模型的實用性。在得到氣隙磁通密度的基礎上，對幾種消弱諧波的方式進行了對比分析。在此基礎上利用有限元軟件Ansoft 驗證了該數(shù)學模型的正確性。該數(shù)學模型為DRPMBLM 的性能分析以及控制系統(tǒng)設計提供了堅實的模型基礎。

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