有強(qiáng)帶C－根的半群

李慧明， 高振林， 劉皖平

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 預(yù)備知識(shí)

半群S 上的格林關(guān)系L，R，D，H，J 定義［1］為

性質(zhì)1［1］a.對(duì)于半群S， （ ）R L 是S 上左（右）同余；

b.設(shè)H 是半群S 的子半群，則

若H 是半群S 的正則子半群，以上成相等包含關(guān)系.

半群S 稱 為Clifford 半 群［1］（簡(jiǎn) 稱 為C－半群），若S 是正則半群且冪等元均為中心冪等元，即E（S）?C（S）.半群S 稱為右（左）正則半群，若對(duì)右（左）正則半群S 稱為充足的，若對(duì)顯然，正則半群既為左正則半群又為右正則半群.半群S 稱為右（左）逆半群［2－3］，如果S 是正則半群，且對(duì)?a∈S，有

V（a）表示a 的所有正則逆元集.半群S 稱為左Clifford 半群［4］（簡(jiǎn)稱為左C－半群），若S 是充足右正則半群且aS?L（a）（?a∈S）.文獻(xiàn)［4］指出，C－半群S 是左C－半群，反之不必.左（右）零帶Iα（Λα）與群Gα的直積Iα×Gα（Λα×Gα）稱為左（右）群帶［2－3］.稱半群直積S1×S2為半格織積，記為S1×sspS2，若S1，S2有共同的半格同態(tài)像.文獻(xiàn)［1－6］證明了以下引理.

引理1 a.在充足左（右）正則半群S 中，對(duì)?a∈S，?｜冪等元，記為a＋（a＊），使得

b.左（右）逆半群S 為充足右（左）正則半群；

c.左C－半群S 為完全正則左群帶的半格，反之不必；

d.左（右）群帶的半格S 是右（左）逆半群，且S同構(gòu)于左正則帶I（ ）∧ 與C－半群T 的半格織積，記為S?I×sspT（Λ×sspT）；

e.半群S 是C－半群當(dāng)且僅當(dāng)S 是J－類子群的半格，即S＝∪α∈YGα

定義2 對(duì)于半群S，若S 上沒有任何C－同余，則定義S 上的泛關(guān)系S×S 為S 上的C－根同余，且稱S 為C－根半群.若S 上至少有一個(gè)C－同余，則定義S 上所有C－同余ρα（α∈ω）的交為S 上C－根同余，記作ρcr.即

C－根同余ρcr可能不再是C－同余.但以下結(jié)論是易見的.

引理2 若ρcr仍是S 上C－同余，則它是S 上最小C－同余.反之，若S 上C－同余ρ是S 上最小C－同余，則ρ＝ρcr.

定義3 設(shè)ρ是半群S 上一個(gè)同余，若存在S的子集H，使得S＝H∪C，且C 同構(gòu)于則稱H是S 的ρ－集.此時(shí)，將ρ記作ρH.

定義4 若半群S 上C－根同余ρcr有ρcr－集，則將ρcr－集記作N（S）.稱N（S）為S 的C－根集.這時(shí)有ρcr＝ρN（S）.因此可將C－根同余ρcr和C－根集N（S）統(tǒng)稱為S 的C－根.

定義5 如果ρcr仍是半群S上C－同余，且S的C－根集N（S）存在，則稱C－根ρcr是強(qiáng)C－根.

命題1 設(shè)半群S 有強(qiáng)C－根ρcr，則根集N（S）可表為是S 的C－同余ρα－集｝

由引理1知，左（右）逆半群與左C－半群均為正則半群.文獻(xiàn)［1－6］討論的均為這類半群的子類.本文試圖用文獻(xiàn)［1］中關(guān)于半群的根描述，引進(jìn)另－類正則半群，稱之為有強(qiáng)帶C－根的半群.證明左（右）群帶的半格半群、左C－半群均為有強(qiáng)帶C－根的半群.并用實(shí)例證明，存在這種半群，它不是以上半群.通過討論強(qiáng)（帶）C－根與有強(qiáng)帶C－根的半群的性質(zhì)，用織積手段給出有強(qiáng)帶C－根的半群的結(jié)構(gòu)特征.

2 有強(qiáng)帶C－根半群的概念及相關(guān)性質(zhì)

定義6 若半群S 有強(qiáng)C－根ρcr，且 （ ）N S ＝E（ ）S 是帶，則稱S 為有強(qiáng)帶C－根半群.

引理3 設(shè)S 為有零元的左（右）群帶的半格半群，則以下各條成立：

a.L＝J（R＝J）是S 上半格同余；

這里E（x＋）（E（x＊））（x∈S）表示元x＋（x＊）生成的矩形帶.

證明 由定義，設(shè)

這里Y 是半格，Sα＝Iα×Gα（α∈Y）是左群帶，令則I，T 分別是S的有零元左正則子帶與C－子半群，其中T＊＝∪Gα是S 的無零元C－子半群，且S＝E （S ） ∪

a.由式（1）知，在S 上

而在左群帶（?α∈Y）Sα上，由文獻(xiàn)［2］知，LSα是半格同余，且LSα＝JSα.因此，由式（2）得引理3中結(jié)論a.

ρ具有對(duì)稱性.若

使得x＝ey，y＝fz.

最后證ρ是S 上的最小C－同余，從而由引理2知ρ＝ρcr，且N（S）＝E（S）：設(shè)σ是S 上仼一個(gè)C－同余，若則于是

類似的可以證明對(duì)有零元右群帯的半格半群，相應(yīng)結(jié)論也成立.證畢.

下例證明，有強(qiáng)帶C－根的半群是借C－半群通過根理論真擴(kuò)張得到的半群類.

例1 取一個(gè)有零元的帶B，B 不是仼何特殊帶.由帶結(jié)構(gòu)，設(shè)B 表成矩形帶Bα的半格Bα，這里半格再用半格Y 作有零元C－半群其中是群，由于半格故令S＝B∪T，則規(guī)定S 上運(yùn)算

經(jīng)驗(yàn)證S 關(guān)于以上運(yùn)算成半群.釆用引理3完全相同證法，可證S 是有強(qiáng)帶C－根的半群，且

由于B 不是左、右正則帶，從而S 不是右或左逆半群，當(dāng)然不是右或左群帶的半格半群.

以下S 總表示含零元的有強(qiáng)帶C－根的半群.由文獻(xiàn)［1］中帶的結(jié)構(gòu)定理，設(shè)S 的C－根集N（S）是S 的J－類子矩形帶Bα（?α∈ω）的半格，即由引理1，設(shè)S 的沒有零元的C－子半群T＊是S 的J－類子群的半格，即T＊可表為由定義6，S 可表為

c.S 是充足右（左）正則半群，且

證明 a.因i∈Bα，1β∈Gβ且1β∈Bβ，由于Bα，Bβ是矩形帶，故1βi∈Bβα.又對(duì)?x∈Gβ，i1βx＝ix，若不可能，故

所以，i1β＝1αβ.由此推得i＝i1αi＝1αi.

b.因i∈Bα，a∈Gβ，則由性質(zhì)2中結(jié)論a得

c.對(duì)?a∈S，顯然a＝a＊a＝aa＊，a＊∈La成立.若有當(dāng)時(shí)，a可逆，由ae＝aa＊?e＝a＊＝1α.當(dāng)a∈Bα（α∈ω）時(shí)，由ae＝aa＊，ea＝a＊a?e＝eae＝a＊aa＊＝a＊.故S 是充足右正則半群.往證式（3）成立：設(shè)a，b∈S，分4種情形：Bβ.由性質(zhì)2 中結(jié)論a計(jì)算知，對(duì)情形有對(duì)情形（d）有

同樣可證S 是充足左正則半群.證畢.

性質(zhì)3 a.S 是正則半群；

b.該結(jié)論是易見的.

c.由性質(zhì)3中的結(jié)論a、性質(zhì)1得

這里JαH表示子半群H 上格林關(guān)系JH的一個(gè)JH－類.

d.先證L 是同余：由性質(zhì)1，L 是右同余.設(shè)

于是?α，β∈Y（orα，β∈ω，orα∈Y，β∈ω）?α＝αβ＝βα＝β.即可設(shè)

對(duì)以上情形分別證明如下：

（a）.若a，b∈Bα，由性質(zhì)3中的結(jié)論c知L｜N（S）＝J｜N（S），L｜T＊＝J｜T＊ 分別是N（S）與T＊上半格同余.若對(duì)T＊?jiǎng)tcaLcb成立.由性質(zhì)2知，情形?c∈S，ca∈N（或相反）不可能出現(xiàn).

（b）若a，b∈Gα，由性質(zhì)2知，對(duì)?c∈S，ca，cb∈T＊.同上，caLcb.

（c）若a∈Bα，b∈Gα（α∈Y∩ω）（或相反），由性質(zhì)2 知，對(duì)?c∈S，cb∈T＊.若c∈T＊，則ca∈T＊，從而caLcb成立.若則ca∈Bβα（?β∈Y?ω）.此時(shí)cb∈Gβα.由性質(zhì)3中結(jié)論c知，與ca，cb在同一個(gè)L－類，即caLcb.綜上，L 是S 上同余.

再證L＝J：顯然，L?J.只要證反包含.設(shè)aJb（a，b∈S），則

再證ρ是S 上最小C－同余，從而由引理2知ρN（S）＝ρ：設(shè)σ是S 上仼一個(gè)C－同余則有或x＝y(tǒng).若后者成立，顯然設(shè)前者成立，因?yàn)棣沂荢 上C－同余，故有xσ＝1ασ＝y(tǒng)σ，從而也有綜合得

由x ＝x＊yx＊得α ＝αβ.又 由y＊xy＊＝y(tǒng)＊x＊yx＊y＊＝y(tǒng)＊x＊y＊yy＊x＊y＊＝y(tǒng)＊yy＊＝y(tǒng)，得β＝αβ，β＝α，x，y ∈Bα∪Gα.若x，y ∈Bα，則

若1α≠x，1α≠y∈Gα，則x＝x＊yx＊＝1αy1α＝y(tǒng)，從而若x∈Gα，y∈Bα（或相反），則由x＝x＊yx＊知x＝x＊yx＊＝x＊＝1α.即同樣由y＊xy＊＝y(tǒng) 證明另情形.綜合得即反 之，設(shè)則 有x，y ∈Bα或x＝y(tǒng).若后者成立，顯然設(shè)前者成立，由于Bα是矩形帶，故?e，f∈Bα，使得x＝eyf＝ef.由于x＝x＊＝（eyf）＊ ＝fy＊e＝fe＝ef，從而e＝f＝x＊，即故ρ?σ，從而ρ＝σ.證畢.

證明 a.設(shè)a，b∈S，aρN（S）b，由式（4）得a，b∈或a＝b.若是后者，顯然有aLb，若是前者，由于Bα＝Lα，故也知aLb.

c.由S 滿足的條件知，半格織積半群N（S）×sspT?W 是可以做成的.令映射

可證φ 是同構(gòu)映射：對(duì)?x∈S，?α∈ω，?x＝iα∈Bα，or，x＝aα∈Gα.若是前者，由性質(zhì)2，1αiα＝iα.于是若是后者，則有

故φ 是同構(gòu)映射.

3 有強(qiáng)帶C－根半群的結(jié)構(gòu)特征

定理1 設(shè)S 為正則半群，以下各條件等價(jià)：

a.S 為有強(qiáng)帶C－根的半群；

b.L＝J 是S 的半格同余，且由式（4）給出的關(guān)系是S 上的C－同余.

證明 （a）?（b）若S 為有強(qiáng)帶C－根的半群，由性質(zhì)3中結(jié)論d，e即得定理1中的結(jié)論b.

（b）?（a）若L＝J 是S 的半格同余，且式（4）給出的關(guān)系ρ是S 上的C－同余，只需要證ρ 是S上最小C－同余，則由引理2，性質(zhì)3即知，ρ＝ρcr是S 的C－根且ρcr是強(qiáng)的.假設(shè)σ 是S 上C－同余，則有或x＝y(tǒng).若后者成立，顯然設(shè)前者成立，因?yàn)棣沂荢 上C－同余，故有xσ＝1ασ＝y(tǒng)σ，從而也有綜合得

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