一個(gè)不等式的加強(qiáng)與探究

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(臨澤縣第一中學(xué) 甘肅臨澤 734200)

一個(gè)不等式的加強(qiáng)與探究

●魏正清

(臨澤縣第一中學(xué) 甘肅臨澤 734200)

文獻(xiàn)[1]中給出了這樣一個(gè)推廣不等式：

已知變量a,b,c為正數(shù)，且p,q,r，λ,μ為正常數(shù)，求證：

事實(shí)上，當(dāng)p=1，q=2，r=8時(shí)，不等式(1)即為

正數(shù)大于負(fù)數(shù)，這是一個(gè)毫無意義的不等式.為此，可尋求不等式(1)的加強(qiáng)形式.

為敘述方便，將文獻(xiàn)[1]中的解答簡要摘錄如下：

(pa+qb+rc)2≥k(ab+bc+ca),

即

p2a2+[(2pq-k)b+(2pr-k)c]a+r2c2+(2qr-k)bc≥0

恒成立，因此

Δa=[(2pq-k)b+(2pr-k)c]2-4p2[q2b2+r2c2-(2qr-k)bc]≤0

恒成立，即

(2)

恒成立.

當(dāng)k=4pq時(shí)，式(2)即(q-p-r)b+(q-r)c≤0.而當(dāng)q-p-r>0時(shí)，此式不恒成立，因此k≠4pq，故式(2)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k-4pq<0且

(3)

即

k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

于是

k-4pq≤-(p+q-r)2≤0.

又k≠4pq，得k-4pq<0,從而式(2)恒成立的充要條件是

k≤(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

故

式(1)得證.

于是可將不等式(1)加強(qiáng)為：

定理1已知變量a,b,c為正數(shù)，且p,q,r,λ，μ為正常數(shù)，p≤q≤r.求證：

(5)

(6)

而式(6)成立，只需

不妨設(shè)p≤q≤r，則當(dāng)p+q≤r時(shí)，易得

2p(q+r-p)≥4pq≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

從而式(7)成立，即k<4pq,當(dāng)p+q≥r時(shí)，易得

4pq≥2p(q+r-p)≥(p+q+r)2-2(p2+q2+r2),

從而式(7)成立，即

k≤2p(q+r-p),

因此可將不等式(7)進(jìn)一步加強(qiáng)為：

定理2已知變量a,b,c為正數(shù)，且p,q,r,λ，μ為正常數(shù)，p≤q≤r.求證：

[1] 鄒生書.一個(gè)不等式的另證及推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2013(1)：33-35.