案例法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的應(yīng)用與研究

周洪偉　崔鳳琴

摘 要 隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用滲入社會(huì)、生活的各個(gè)領(lǐng)域，因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程已成為全國各高等學(xué)校理科、工科和經(jīng)管專業(yè)學(xué)生的一門重要的必修課程。另外，該課程具有概念多、公式多及與社會(huì)生活實(shí)踐聯(lián)系緊密的特點(diǎn)，若僅使用傳統(tǒng)的講授法，效果較差。而案例法是以相關(guān)的案例為媒介，以分析案例為主，以與學(xué)生共同探究為主的一種教學(xué)手段。本文擬從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力的目標(biāo)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際探討案例法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的應(yīng)用與研究。

關(guān)鍵詞 案例法 概率統(tǒng)計(jì) 教學(xué)

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

由于隨機(jī)現(xiàn)象的普遍性，使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有極其廣泛的應(yīng)用，該課程不僅是理科、工科和經(jīng)管專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程，而且也是各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中進(jìn)行理論研究和實(shí)踐工作的必要基礎(chǔ)，并在學(xué)生未來的學(xué)習(xí)工作中對提高科研能力和創(chuàng)新能力都具有重要的作用。該課程傳統(tǒng)的教師講學(xué)生聽的教學(xué)方法過分地注重了知識(shí)的傳授，而忽略了對學(xué)生解決和處理問題的能力的培養(yǎng)，同時(shí)理論往往與實(shí)際脫節(jié)，往往造成該課程教師講得累、學(xué)生學(xué)得枯燥的現(xiàn)象。案例法，是以培養(yǎng)學(xué)生的能力為目標(biāo)，以相關(guān)案例為媒介，以分析案例為切入點(diǎn)，以與學(xué)生共同探究為主的一種教學(xué)手段和方法。該教學(xué)法不僅具有獨(dú)到的功能作用，而且有著廣泛的適用對象和適用范圍，是一種行之有效而被廣泛采用的教學(xué)法，尤其在西方一些享有國際聲譽(yù)的高校備受推崇。相對于以講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)法，案例教學(xué)法是一種創(chuàng)新的教學(xué)理念，有利于調(diào)動(dòng)教師與學(xué)生教和學(xué)的積極性，實(shí)現(xiàn)師生之間、學(xué)生與學(xué)生之間的多個(gè)方面的互動(dòng)，能夠促進(jìn)理論與實(shí)踐有效地結(jié)合，實(shí)現(xiàn)理論向?qū)嵺`的轉(zhuǎn)化，能夠激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和分析處理實(shí)際問題的能力。

本文擬從提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力的目標(biāo)出發(fā)，結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)內(nèi)容實(shí)際探討案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用。本文安排如下：首先，探討教學(xué)案例的目標(biāo)設(shè)計(jì)問題；其次，研究案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用問題；最后，對案例法在該課程教學(xué)中應(yīng)用的效果分析。

1 教學(xué)案例的目標(biāo)設(shè)計(jì)

開展案例教學(xué)，必須首先要有針對性和適用性較強(qiáng)的教學(xué)案例，教學(xué)案例的質(zhì)量直接影響到案例教學(xué)的實(shí)施效果。在具體教學(xué)過程中，案例教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)可以分為以下幾個(gè)方面：

（1）在內(nèi)容上，案例來源于實(shí)際生活又高于實(shí)際生活；每個(gè)案例都側(cè)重于分析和研究利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)來解決的實(shí)際問題；在案例之后均附有相關(guān)的思考與討論題，用以加深對相關(guān)內(nèi)容的理解和掌握。

（2）在方法上，考慮我校以師范為主的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)了案例選材的專業(yè)特點(diǎn)，把案例的目標(biāo)、要求、內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法等進(jìn)行整體設(shè)計(jì)；在案例的教學(xué)中，進(jìn)一步明確案例的具體背景、內(nèi)容和分析等，使學(xué)生通過對案例的具體分析與研究，從而提高了學(xué)生尋找問題，分析問題，解決問題的能力。（3）在體系上，注意與具體專業(yè)在內(nèi)容體系上的一致性，保持整體的協(xié)調(diào)性；注意概率統(tǒng)計(jì)課程中各個(gè)章之間、各個(gè)案例之間的有效過渡，保持該課程的整體性；注意案例的內(nèi)容與結(jié)構(gòu)上的合理性。

2 案例教學(xué)在課程教學(xué)中的應(yīng)用

（1）做好案例教學(xué)的理論準(zhǔn)備。通過研究教材及教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上加深對理論的了解。在明確了相關(guān)理論的基礎(chǔ)上來有效開展案例教學(xué)，從而能夠使學(xué)生更好地理解案例，達(dá)到客觀分析的效果。

（2）選擇典型的案例。一個(gè)好的案例應(yīng)同時(shí)具備目的性、啟發(fā)性、生動(dòng)性等特點(diǎn)。因此我們按照教學(xué)目標(biāo)和要求來選擇典型案例。

（3）利用多種教學(xué)方式來輔助案例教學(xué)。在借助現(xiàn)代化信息技術(shù)的過程中，把案例教學(xué)的相關(guān)內(nèi)容用文本、圖形、聲音、影像等多種形式進(jìn)行有機(jī)組合，按照課程大綱，做到先易后難，先感性后理性的過渡，體現(xiàn)學(xué)生的主體意識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。比如在概率論講授泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系時(shí)，借助動(dòng)畫可以讓學(xué)生非常直觀地看出他們之間的漸近逼近的關(guān)系。

（4）豐富考核方式。該課程的考核方式不再局限于期末一張?jiān)嚲恚黾恿撕芏嗟倪^程考核（包括課堂參與情況，學(xué)習(xí)態(tài)度，個(gè)人或小組案例分析報(bào)告等），在課程總評成績中，加大了后者所占的比例。在期末考核中，可以嘗試進(jìn)行開卷考試，重點(diǎn)考查學(xué)生在處理實(shí)際問題時(shí)，運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決問題的能力。

限于篇幅，筆者就以概率論中學(xué)習(xí)貝葉斯公式時(shí)，選用的案例為伊索寓言中“孩子與狼”的故事說明案例法在該課程教學(xué)中的應(yīng)用：

課前按照小組（4～6人為一組，可以自由組合）布置任務(wù)：（一）學(xué)生去圖書館或網(wǎng)上查閱“孩子與狼”這個(gè)故事的具體內(nèi)容，（二）提前預(yù)習(xí)貝葉斯公式的相關(guān)內(nèi)容，（三）思考，為什么那個(gè)小孩最后會(huì)被吃掉？村民對這個(gè)小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻畫該變化過程？

上課時(shí)，首先讓一至兩位同學(xué)復(fù)述該案例的內(nèi)容，即“孩子與狼”的故事，然后教師在PPT上打出具體內(nèi)容，講的是一個(gè)小孩每天在山上放羊，山里有狼出沒。有一天，他在山上喊：“狼來了！狼來了！”山下村民聞?dòng)嵄闳ゴ蚶?，可到了山上，發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天仍然如此；第三天狼真的來了，可無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他，因?yàn)榍皟商焖f了謊，人們不再相信他了。

附上相應(yīng)的思考題：分析故事中村民對這個(gè)小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻畫該變化過程？

先讓小組派代表發(fā)言，教師結(jié)合學(xué)生發(fā)言進(jìn)行總結(jié)與補(bǔ)充！

解答步驟如下：

首先利用數(shù)學(xué)模型定量研究實(shí)際問題問題，需要引入變量及數(shù)學(xué)記號(hào)，令A(yù)=“小孩撒謊”，B=“小孩可信”，分析故事中村民對這個(gè)小孩的可信程度是如何下降，也就是計(jì)算和比較事件B在新的信息下的概率的變化，即條件概率；另外A=“小孩撒謊”認(rèn)為是該試驗(yàn)中的結(jié)果，造成該結(jié)果的因素分別為B=“小孩可信”和“小孩不可信”，該問題屬于典型的“由果求因”問題。

其次，為了進(jìn)行定量分析，作必要的假設(shè)。為了計(jì)算，根據(jù)以往村民對這個(gè)小孩的印象作如下假設(shè)：P（B） = 0.8，另外假定“可信的孩子說謊”與“不可信的孩子說謊”的概率分別為第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即小孩說了謊，村民根據(jù)這個(gè)信息，對這個(gè)小孩的可信程度改變?yōu)?，由條件概率= 0.444，這表明村民上了一次當(dāng)后，對這個(gè)小孩的信任程度由原來的0.8調(diào)整為0.444，也就是村民對這個(gè)孩子的最初印象P（B）= 0.8，調(diào)整為P（B）= 0.444，在這個(gè)基礎(chǔ)上，我們再用公式計(jì)算，亦即計(jì)算這個(gè)小孩第二次說謊后，村民對他的可信程度，即概率，經(jīng)計(jì)算得以上結(jié)果表明村民經(jīng)過兩次上當(dāng)后，對這個(gè)小孩的可信程度由最初的0.8下降到0.138。

思考題：請學(xué)生自己利用以上公式計(jì)算一下，這個(gè)小孩第三次說謊后村民對他的可信程度？請同學(xué)搶答，經(jīng)計(jì)算得如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時(shí)怎么會(huì)再上山去打狼呢？

還可以讓學(xué)生進(jìn)一步討論通過這個(gè)故事我們可以得到什么啟示？經(jīng)過討論得出結(jié)論：如果一個(gè)人有兩次不守信用，到第三次還有人相信他嗎？該案例也對“事不過三”做了很好的闡述。另外通過該例題的分析與解答給出課程中的有關(guān)貝葉斯公式的內(nèi)容、能解決的問題和運(yùn)用過程中的注意點(diǎn)。課后作為練習(xí)，可以讓學(xué)生改變假設(shè)條件（先驗(yàn)概率）或通過抽樣獲得先驗(yàn)概率的估計(jì)值再次分析故事中村民對這個(gè)小孩的可信程度是如何下降的？

注：這個(gè)故事學(xué)生都比較熟悉，但貝葉斯公式初次接觸，把這兩者通過案例巧妙地結(jié)合在一起，既提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又通過適當(dāng)?shù)恼n堂討論，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)還間接滲透誠信教育，可謂一舉多得。通過課堂討論和課后分組調(diào)研，學(xué)生不僅認(rèn)真學(xué)習(xí)理論知識(shí)，還學(xué)會(huì)設(shè)計(jì)問卷建立模型，鍛煉了解決問題的能力。

3 對案例法應(yīng)用的效果分析

（1）提高了教學(xué)效率。通過案例教學(xué)，可以把理論與實(shí)踐結(jié)合起來，充分發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)，促使他們做出分析與決策，變被動(dòng)聽課為積極思考，啟發(fā)了學(xué)生的思維。

（2）激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。利用課堂討倫、小組學(xué)習(xí)等多種形式來開展案例教學(xué)，因此，學(xué)習(xí)內(nèi)容更加清晰、學(xué)習(xí)資源更加豐富，學(xué)習(xí)方法更加靈活，同時(shí)提高了學(xué)生學(xué)習(xí)該課程的積極性與主動(dòng)性，激發(fā)了學(xué)生深入探討的興趣，使得學(xué)習(xí)效果顯著。

（3）提高了教師的業(yè)務(wù)能力。通過對案例搜集及后期對例子進(jìn)行合理的加工、整理和課后對相關(guān)案例進(jìn)行的修正和更新，提高了教師在概率統(tǒng)計(jì)課程中的教學(xué)及科研水平。

同任何事物一樣，案例教學(xué)也具有兩面性。下面結(jié)合筆者在使用案例教學(xué)過程中出現(xiàn)的一些主要問題談一下該如何正確認(rèn)識(shí)和運(yùn)用案例教學(xué)。首先來看下問題，主要有以下幾個(gè)方面：

（1）教學(xué)案例的統(tǒng)籌策劃問題。比如，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中哪一部分以案例教學(xué)為主，哪些章節(jié)適宜用案例教學(xué)法，課堂教學(xué)中案例教學(xué)應(yīng)占多少比例合適等問題。

（2）案例缺乏質(zhì)與量的保證。在教學(xué)實(shí)踐中，往往會(huì)出現(xiàn)教學(xué)案例所涉及的行業(yè)過窄，或者借鑒國外的已有案例時(shí)效性和代表性都較差。

（3）案例教學(xué)實(shí)施過程中，對學(xué)生的全程參與及學(xué)生參與的積極性調(diào)動(dòng)方面做得不夠好。比如在課堂討論上，有時(shí)未能及時(shí)給予必要的引導(dǎo)，而使得學(xué)生只是泛泛地了解而沒有對案例進(jìn)行全面分析與研究。

針對以上問題提出以下改進(jìn)案例教學(xué)的一些建議：

（1）對教學(xué)案例的統(tǒng)籌設(shè)計(jì)。該教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)從整個(gè)課程體系層次進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，案例教學(xué)實(shí)施前，必須制定科學(xué)的目標(biāo)和計(jì)劃，合理地設(shè)計(jì)出該教學(xué)的實(shí)施方案，設(shè)計(jì)配套的多元考核方式。

（2）加大對教學(xué)案例庫的建設(shè)。要本著“以學(xué)生為主體，以培養(yǎng)解決問題為目標(biāo)”的理念，篩選出典型的案例。同時(shí)在設(shè)計(jì)案例時(shí)，要強(qiáng)調(diào)案例與所學(xué)知識(shí)的相關(guān)性、案例素材的典型性和案例的時(shí)效性。

（3）加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計(jì)。因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，學(xué)生的前期準(zhǔn)備、課堂中的積極思考和分析論證均有利于提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，而提高的程度則依賴于教師恰到好處的引導(dǎo)與總結(jié)，所以，加強(qiáng)對指導(dǎo)方法的設(shè)計(jì)顯得尤為重要。

俗話說：尺有所長，寸有所短。盡管該教學(xué)法在很多方面具有比較優(yōu)勢，但不能說案例法就可以一家獨(dú)大，能夠取代其他各種教學(xué)方法。因此，要求我們在進(jìn)行該課程教學(xué)過程中，要充分考慮到不同教學(xué)方法的多元性和合理性，處理好各種教學(xué)法的相互關(guān)系，使之相得益彰。

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