例談解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的化歸策略

王全友

【摘 要】 化歸是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法。在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常將待解決的問(wèn)題歸結(jié)為其他相對(duì)較易解決的問(wèn)題，因此，選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化手段和進(jìn)行正確有效的化歸是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本文就簡(jiǎn)單介紹了幾種化歸策略。

【關(guān) 鍵 詞】 化歸問(wèn)題；數(shù)學(xué)；策略

化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本方法. 在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常采用轉(zhuǎn)化手段，將待解決的問(wèn)題歸結(jié)為相對(duì)容易解決或已有固定解決程式的另一問(wèn)題，通過(guò)對(duì)這一問(wèn)題的解決，得到原問(wèn)題的解答. 選擇恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化手段和進(jìn)行正確有效的化歸是解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 下面，本文介紹幾種常用的化歸策略.

一、尋找恰當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)化歸

數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的許多聯(lián)系，有許多是通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的，利用對(duì)應(yīng)關(guān)系，可將待解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一問(wèn)題.

（一）平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系

通過(guò)建立坐標(biāo)系，確立平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把幾何問(wèn)題化歸為代數(shù)問(wèn)題. 如判斷點(diǎn)P（4，13）是否在拋物線y=■x2-3x+17上，變成判斷x=4，y=13是否是方程y=■x2-3x+17的解；求直線y=-■x+3與y=■x的交點(diǎn)問(wèn)題，變成解聯(lián)立方程組問(wèn)題.

（二）變量轉(zhuǎn)換、換元、增量替換等代換都是特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1 已知a是方程x2-3x+1=0的根，則2a2-6a+■的值是多少？

解析 由已知可得a2-3a+1=0，若求出a的值再代入求值，顯然計(jì)算量很大. 由所求代數(shù)式的特點(diǎn)可考慮把a(bǔ)2-3a+1=0轉(zhuǎn)化為a2-3a=-1與■=1，把所求代數(shù)式變形，整體代換，即，2a2-6a+■=2（a2-3a）+3·■=2×（-1）+3=1.

例2 已知x，y，z為實(shí)數(shù)，且x+y=6，z2=xy-9. 求x+2y+3z的值.

解析 用均值換元法，可以設(shè)x=3+t，y=3-t，則

z2=（3+t）（3-t）-9=-t2，即z2+t2■=0.

∴z=t=0，∴x=y=3.

∴x+2y+3z=3+6+0=9.

利用換元法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，適當(dāng)選取能夠化繁為簡(jiǎn)、化難為易的變換，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換. 因此，要注意分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)已知條件適當(dāng)變形，同時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)題目中的特殊結(jié)構(gòu)，挖掘題目中隱含的特殊關(guān)系，利用這些特殊條件進(jìn)行代換.

二、通過(guò)語(yǔ)義轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)化歸

形式化是數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn). 代數(shù)學(xué)起始于以字母形式地表示數(shù)，隨后，代數(shù)運(yùn)算、運(yùn)算律、運(yùn)算法則等都被形式地表示. 因此從某種意義上說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)一種有特定涵義的形式化的語(yǔ)言，以及用這種形式化的語(yǔ)言去表述、解釋、解決各種問(wèn)題. 數(shù)學(xué)符號(hào)化、形式化后，每一種數(shù)學(xué)語(yǔ)義（概念、關(guān)系等），一般都有一種確立的數(shù)學(xué)符號(hào)（式）表示，但不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)義可能是由同一種數(shù)學(xué)符號(hào)（式）表示的，也就是說(shuō)，一種數(shù)學(xué)符號(hào)（式）可作不同的語(yǔ)義解釋. 如■表示a2+b2的算術(shù)平方根；在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，表示點(diǎn)（a，b）到原點(diǎn)（0，0）的距離. 同一種數(shù)學(xué)語(yǔ)義的內(nèi)容可以用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等不同的數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式表示. 因此通過(guò)語(yǔ)義轉(zhuǎn)換，能使一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一簡(jiǎn)單明了的問(wèn)題.

（一）等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化后的新對(duì)象與原對(duì)象的形式不同，實(shí)質(zhì)一樣. 如兩圓外切？圳d=R+r（d為圓心距，R，r分別為兩圓半徑），原命題等價(jià)于逆否命題.

（二）數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)和形反映了事物的兩個(gè)方面. 數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微. 因此，在解決問(wèn)題時(shí)，常要把同一數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行代數(shù)釋義與幾何釋義，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的數(shù)學(xué)語(yǔ)義轉(zhuǎn)換，將“形”解釋為“數(shù)”，利用“數(shù)”的知識(shí)解決“形”的問(wèn)題；將“數(shù)”解釋為“形”，利用“形”的知識(shí)解決“數(shù)”的問(wèn)題. 這種數(shù)形結(jié)合的思想方法是解決問(wèn)題的突破口.

例3 關(guān)于x的二次方程x2-（2m+1）x+m-8=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一根大于-1，另一根小于-1，求m取值范圍.

解析 本題既可用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解，也可巧用數(shù)形結(jié)合的思想. 借助二次函數(shù)圖像，可構(gòu)造函數(shù)y=x2-（2m+1）x+m-8，它的圖像是一條開口向上的拋物線，該拋物線與x軸的交點(diǎn)一個(gè)在-1的左側(cè)，另一個(gè)在 -1的右側(cè)，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像的草圖，如圖1所示，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，其函數(shù)值為負(fù)值，于是得（-1）2-（2m+1）×（-1）+m-8<0，即m<2.

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三、一般化與特殊化策略

從“特殊到一般”和從“一般到特殊”是認(rèn)識(shí)問(wèn)題的普遍規(guī)律.

（一）一般化

將待解、待證問(wèn)題看成特殊問(wèn)題，通過(guò)對(duì)它的一般形式問(wèn)題的解法而得到原問(wèn)題解的化歸策略就是一般化策略，借助一般化的結(jié)論或方法，使問(wèn)題順利解決.

例4 計(jì)算■.

解析 數(shù)字較大，運(yùn)算繁瑣，不易發(fā)現(xiàn)隱含的一般性質(zhì)，設(shè)12346=a，則原式=■=■=24690.

（二）特殊化

一般化與特殊化是相反的兩個(gè)過(guò)程. 對(duì)于待解或待證問(wèn)題，先解決它的特殊情況，然后把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用到一般情況，使原問(wèn)題獲解的策略就是特殊化策略. 特殊化策略不僅是解題、檢驗(yàn)問(wèn)題的重要方法，而且還是探索規(guī)律是進(jìn)行創(chuàng)造性思維的有效工具，歷來(lái)被數(shù)學(xué)家所推崇. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生就告訴我們，要學(xué)會(huì)使用先退后進(jìn)，以退為進(jìn)的策略，就是指的特殊化策略，華先生常說(shuō)，要善于退，足夠的退，退到最原始而又不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.

例5 如圖2，正方形ABCD與A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為a，O是AC與BD的交點(diǎn).

求證：S=■a2.

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解析 在解這道題時(shí)，學(xué)生感到不好入手證明，主要是確定不了M、N的位置，考慮利用動(dòng)態(tài)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為特殊情況，如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，總有∠MOB=∠NOC，故有S△OMB=S△ONC， 從而得知四邊形OMBN的面積等于△OBC的面積，即正方形ABCD面積的四分之一. ■

【參考文獻(xiàn)】

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[3] 蘇永春. 數(shù)學(xué)化歸思想和方法的應(yīng)用[J]. 課程教材教學(xué)研究（教育研究），2013（2）.