二次函數(shù)

何曉勤

二次函數(shù)是中學代數(shù)的重要內(nèi)容之一.作為一種最基本的初等函數(shù)，通過它可以研究函數(shù)的許多性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數(shù)可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學思想. 因此，二次函數(shù)一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應(yīng)用；②二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，如求最值和研究單調(diào)性等；③二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系.

難點：①含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題；②含參數(shù)二次函數(shù)的零點分布（即含參數(shù)一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數(shù)解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數(shù)的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數(shù)間的關(guān)系如下：①a與拋物線的開口方向有關(guān)；②c與拋物線在y軸上的截距有關(guān)；③-與拋物線的對稱軸有關(guān)；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數(shù)有關(guān).

2. 二次函數(shù)解題的基本策略

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式中都有三個獨立的參數(shù)，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優(yōu)化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數(shù)問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數(shù)的最值或?qū)ΨQ性時緊扣頂點式；若涉及二次函數(shù)的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質(zhì)：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關(guān)于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題?？既N類型：軸定區(qū)間定、軸變區(qū)間定、軸定區(qū)間變. 無論是哪種類型，解決的關(guān)鍵是確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系. 當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進行分類討論. 二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只可能在區(qū)間的端點或頂點取得. 若二次函數(shù)的二次項系數(shù)含參數(shù)a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區(qū)間根的分布問題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數(shù)值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數(shù)為中心，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來，要重視代數(shù)推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.endprint

二次函數(shù)是中學代數(shù)的重要內(nèi)容之一.作為一種最基本的初等函數(shù)，通過它可以研究函數(shù)的許多性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數(shù)可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學思想. 因此，二次函數(shù)一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應(yīng)用；②二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，如求最值和研究單調(diào)性等；③二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系.

難點：①含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題；②含參數(shù)二次函數(shù)的零點分布（即含參數(shù)一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數(shù)解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數(shù)的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數(shù)間的關(guān)系如下：①a與拋物線的開口方向有關(guān)；②c與拋物線在y軸上的截距有關(guān)；③-與拋物線的對稱軸有關(guān)；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數(shù)有關(guān).

2. 二次函數(shù)解題的基本策略

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式中都有三個獨立的參數(shù)，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優(yōu)化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數(shù)問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數(shù)的最值或?qū)ΨQ性時緊扣頂點式；若涉及二次函數(shù)的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質(zhì)：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關(guān)于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題常考三種類型：軸定區(qū)間定、軸變區(qū)間定、軸定區(qū)間變. 無論是哪種類型，解決的關(guān)鍵是確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系. 當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進行分類討論. 二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只可能在區(qū)間的端點或頂點取得. 若二次函數(shù)的二次項系數(shù)含參數(shù)a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區(qū)間根的分布問題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數(shù)值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數(shù)為中心，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來，要重視代數(shù)推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.endprint

二次函數(shù)是中學代數(shù)的重要內(nèi)容之一.作為一種最基本的初等函數(shù)，通過它可以研究函數(shù)的許多性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性、對稱性和最值等.二次函數(shù)可以與一元二次方程、一元二次不等式綜合，并涉及函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學思想. 因此，二次函數(shù)一直備受高考命題者的“青睞”，成為高考考查的熱點.

重點難點

重點：①二次函數(shù)的解析式（一般式、頂點式、零點式）的靈活應(yīng)用；②二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，如求最值和研究單調(diào)性等；③二次函數(shù)與一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系.

難點：①含參數(shù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題；②含參數(shù)二次函數(shù)的零點分布（即含參數(shù)一元二次方程根的分布）問題；③三個“二次”的綜合問題.

方法突破

1. 二次函數(shù)解題的基本方法

（1）認真審題，明確題目考查的方向；利用題目條件，合理選用二次函數(shù)的解析式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；頂點式：y=a（x+k）2+h（a≠0），其中（-k，h）為頂點；零點式：y= a（x-x1）（x-x2）（a≠0））；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想解決最值、取值范圍等問題.

（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，其與各系數(shù)間的關(guān)系如下：①a與拋物線的開口方向有關(guān)；②c與拋物線在y軸上的截距有關(guān)；③-與拋物線的對稱軸有關(guān)；④b2-4ac與拋物線和x軸交點的個數(shù)有關(guān).

2. 二次函數(shù)解題的基本策略

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式中都有三個獨立的參數(shù)，要通過三個獨立條件確定，靈活選用解析式可以優(yōu)化解題步驟，提高解題效率. 在求解二次函數(shù)問題時，一般式用得最多；若涉及二次函數(shù)的最值或?qū)ΨQ性時緊扣頂點式；若涉及二次函數(shù)的零點（或一元二次方程的根）問題時，首選零點式.

（2）研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱性時，常常用到如下性質(zhì)：若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），則點A（x1， f（x1））與點B（x2， f（x2））關(guān)于直線x=-對稱，即x1+x2=-.

（3）二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題?？既N類型：軸定區(qū)間定、軸變區(qū)間定、軸定區(qū)間變. 無論是哪種類型，解決的關(guān)鍵是確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系. 當含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進行分類討論. 二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值只可能在區(qū)間的端點或頂點取得. 若二次函數(shù)的二次項系數(shù)含參數(shù)a，則必須分a>0，a=0，a<0進行第一層的討論，以對稱軸的不同位置進行第二層次的分類討論.

（4）一元二次方程區(qū)間根的分布問題通常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題去處理. 解決此類問題需要考慮四個要素：開口方向、判別式、對稱軸的位置以及端點函數(shù)值的符號.

（5）三個“二次”問題以二次函數(shù)為中心，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)把一元二次方程、一元二次不等式聯(lián)系起來，要重視代數(shù)推理；三個“二次”問題也是研究包含二次曲線等內(nèi)容的基礎(chǔ)工具.endprint