考慮斜拉索松弛的盤繞式伸展臂振動(dòng)模型

韓建斌 黃 海 馬海波

(北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100191)

盤繞式伸展臂是一種空間伸展臂，廣泛用于太陽電池陣、探測(cè)臂等空間伸展機(jī)構(gòu).伸展臂完全展開后形成三角形截面桁架結(jié)構(gòu)，依靠橫桿、縱桿、斜拉索的相互作用保持穩(wěn)定.但其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)又與普通桁架不同:

1) 橫桿處于彎曲狀態(tài)[1－2]，此時(shí)雖然承受一定壓力，但拉壓剛度很小[3];

2)斜拉索處于拉緊狀態(tài)，不能承受壓力，在變形較大時(shí)會(huì)發(fā)生松弛現(xiàn)象[4－6].

進(jìn)入應(yīng)用以來，針對(duì)伸展臂展開狀態(tài)下的變形及振動(dòng)特性研究[3，7－9]一直是盤繞式伸展臂研究工作的重要內(nèi)容.但由于斜拉索的松弛造成剛度的改變[10]，使得考慮斜拉索松弛的伸展臂振動(dòng)研究有一定難度.理論上針對(duì)剛度隨變形階躍變化的分段線性剛度系統(tǒng)，在單自由度或多自由度下已有較為合適的方法可以借鑒[11－14]，但應(yīng)用在連續(xù)系統(tǒng)下還需要一定的變換.

本文以北航微小衛(wèi)星用盤繞式伸展臂為對(duì)象，在Ansys環(huán)境下建立了有限元模型，分別計(jì)算了斜拉索松弛前后兩種結(jié)構(gòu)下的伸展臂基頻.為研究振幅較大而使結(jié)構(gòu)不斷變換時(shí)盤繞式伸展臂的基頻特性，建立滿足分段線性剛度特性的等效連續(xù)梁模型.使用等價(jià)線性化方法，并代入斜拉索松弛判據(jù)及松弛前后兩種結(jié)構(gòu)下的基頻，得到伸展臂等效振動(dòng)頻率隨端部振幅的變化關(guān)系.最后利用Ansys的瞬態(tài)分析對(duì)上述等效頻率結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.該模型探討了一種考慮斜拉索松弛時(shí)盤繞式伸展臂振動(dòng)的初步的研究方法，研究了斜拉索松弛對(duì)伸展臂振動(dòng)系統(tǒng)的影響，可以作為對(duì)盤繞式伸展臂進(jìn)行振動(dòng)控制的理論基礎(chǔ).

1 盤繞式伸展臂有限元建模介紹

本文以圖1所示盤繞式伸展臂為研究對(duì)象.

圖1 盤繞式伸展臂

盤繞式伸展臂包括縱桿、斜拉索、橫框等部件.橫框由鉸鏈、橫桿組成三角形框架，其中橫桿與鉸鏈之間為鉸接狀態(tài)，在研究橫桿變形時(shí)按照兩端簡(jiǎn)支處理.

模型結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，由橫桿、縱桿、斜拉索及鉸鏈等部分組成.3根縱桿在鉸鏈位置可以繞OA，OB，OC旋轉(zhuǎn)，橫桿與鉸鏈之間為鉸接狀態(tài).以鉸鏈B為例，AB，BC桿對(duì)應(yīng)的鉸接軸為BD，BE.

圖2 模型結(jié)構(gòu)示意圖

盤繞式伸展臂和普通桁架不同，其橫桿處于彎曲狀態(tài)，斜拉索受拉張緊但不承受壓力.針對(duì)這兩點(diǎn)的處理方法如下.

1.1 彎曲橫桿及預(yù)緊力建模方法

盤繞式伸展臂在展開后及振動(dòng)過程中，由于預(yù)緊力的作用，橫桿始終保持彎曲狀態(tài)，如圖3a所示.此時(shí)橫桿處于材料力學(xué)中的壓桿屈服狀態(tài)，兩端連線方向等效拉壓剛度較小，因此相關(guān)文獻(xiàn)中按照恒力建立橫桿模型[8].圖3b所示為兩端簡(jiǎn)支壓桿受壓屈服前后的受力與變形關(guān)系.伸展臂展開后，橫桿處于圖3b的虛線框所示受力狀態(tài)[3].

圖3b的橫軸為橫桿兩端距離減小量與原長的比值.文獻(xiàn)[15]利用彈性細(xì)桿的Kirchhoff動(dòng)力學(xué)給出了兩端簡(jiǎn)支壓桿彎曲后壓力與變形的公式，可以準(zhǔn)確描述圖3b虛線框內(nèi)的曲線:

式中，EI為壓桿彎曲剛度;b0為直線狀態(tài)壓桿全長;k為隨壓桿彎曲程度增大而變大的量;K(k)，E(k)，F(xiàn)(k)為關(guān)于 k的橢圓積分[15].

根據(jù)式(1)，在保證橫桿長度、截面積不變的情況下，可以計(jì)算出一個(gè)滿足圖3b虛線框曲線內(nèi)受力與變形關(guān)系的等效彈性模量Eeq.將Eeq作為橫桿材料的彈性模量.

圖3 橫桿彎曲狀態(tài)及彎曲前后張力變化曲線

在多數(shù)有限元軟件中預(yù)緊力可以用設(shè)置初始應(yīng)變的方法很方便地加載[9]，因此本文通過為橫桿設(shè)置初始應(yīng)變加載預(yù)緊力.

彎曲橫桿的作用在于利用其承載能力對(duì)變形的不敏感，來保證預(yù)緊力大小的一致[1].考慮實(shí)際上預(yù)緊完成后橫桿彎曲程度并不是很大，因此橫桿此時(shí)所受壓力和橫桿作為壓桿的歐拉失穩(wěn)載荷Fcr相近，即在盤繞半徑、節(jié)距、橫桿剛度及橫桿的連接方式確定的情況下，預(yù)緊力是確定的.因此橫桿的初始應(yīng)變?cè)O(shè)置為

設(shè)置橫桿的預(yù)應(yīng)變?yōu)椋舏ni，相當(dāng)于橫桿發(fā)生－εini大小的應(yīng)變后長度為b.此時(shí)橫桿對(duì)兩端有Fcr大小的張力，如圖4a所示.因此設(shè)置－εini之后相當(dāng)于給伸展臂施加了圖4b所示的靜力載荷.

用靜力分析可以得到含預(yù)應(yīng)力的盤繞式伸展臂模型.

1.2 斜拉索松弛處理

在變形較大時(shí)，單側(cè)斜拉索會(huì)發(fā)生松弛現(xiàn)象.Ansys的Link10單元可以設(shè)置為單向受拉桿單元，但在模態(tài)分析中不考慮非線性特性，Link10仍然作為普通可拉壓桿件處理.針對(duì)斜拉索松弛后的盤繞式伸展臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行如下分析.

圖4 橫桿預(yù)應(yīng)力示意圖

通常斜拉索拉壓剛度較大，因此當(dāng)桁架橫向有很小變形時(shí)，斜拉索即開始松弛.此時(shí)分析其受力情況可忽略桁架整體的橫向變形影響.以帶斜拉索的二維桁架為對(duì)象進(jìn)行分析，當(dāng)頂端受橫向力F作用使得斜拉索松弛時(shí)，將松弛拉索去除，將拉緊索按桿件建模.如圖5所示(實(shí)線F).

圖5 二維桁架變形分析

圖5a中斜線為不受壓的繩索，圖5b斜線為單根可拉壓桿.設(shè)節(jié)距為t，斜桿長為l，CD長為b.圖5 中:

通常桁架兩端均連接剛性部件，因此忽略AB，CD兩根桿件的變形.由單位載荷法可以計(jì)算圖5a和圖5b的端部橫向位移，二者均為

同理可以證明，當(dāng)橫向力反向時(shí)(圖5虛線F)，圖5a和圖5b的端部橫向位移仍為式(4).

由此可以說明單根斜桿與2根交替張緊的斜拉索作用相同，兩種結(jié)構(gòu)的整體橫向剛度相同.因此對(duì)2根斜拉索交替松弛的結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，為了不在結(jié)構(gòu)中加入斜拉索這種非線性單元，用1根可拉壓桿代替2根斜拉索進(jìn)行建模.

1.3 盤繞式伸展臂有限元模型

針對(duì)北航微小衛(wèi)星用盤壓桿建立有限元模型.用上述方法處理彎曲橫桿、斜拉索等盤繞式伸展臂的特殊元素，在Ansys環(huán)境下建立有限元模型.橫桿選用Link8單元，斜拉索用Link10單元.其中Link8為Ansys中三維軸向拉伸-壓縮桿單元，具有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，不考慮彎曲及扭轉(zhuǎn).Link10和Link8相似，但可以設(shè)置為單向受壓或受拉(可用于靜力及瞬態(tài)分析)，因而很適合用于斜拉索建模.在下文模態(tài)分析部分，Link10單元按普通可拉壓桿件處理，在靜力及瞬態(tài)分析部分可以設(shè)置為單向受拉單元.

通過給Link8單元設(shè)置－εini大小的初始應(yīng)變來設(shè)置預(yù)緊力.縱桿選用普通梁?jiǎn)卧狟eam188，且每節(jié)縱桿分3段建立.鉸鏈按點(diǎn)質(zhì)量建模[8]，使用Mass21建立.

此外一般伸展臂端部會(huì)連接一定的剛性部件，因此將最終模型一端的3個(gè)鉸鏈固定，自由端3根橫桿按普通桿件建模，E=3.387×104MPa，且無初始應(yīng)變.

各單元詳細(xì)參數(shù)見表1.

表1 模型詳細(xì)參數(shù)

圖6 斜拉索松弛前伸展臂有限元模型

計(jì)算斜拉索松弛后盤繞式伸展臂的結(jié)構(gòu)頻率時(shí)，用Link10單元建立單根桿單元，代替2根交替松弛的斜拉索建模，見圖7.

圖7 斜拉索松弛后伸展臂有限元模型

1.4 模態(tài)計(jì)算

對(duì)上述盤繞式伸展臂模型進(jìn)行模態(tài)分析.計(jì)算預(yù)緊狀態(tài)下伸展臂的模態(tài)需要考慮預(yù)應(yīng)力.在Ansys中先后進(jìn)行靜力和模態(tài)分析，并在二者的設(shè)置中打開預(yù)應(yīng)力效應(yīng)選項(xiàng)(PSTRES ON)，即可得到預(yù)緊狀態(tài)下伸展臂的模態(tài)結(jié)果.用圖6、圖7所示模型分別進(jìn)行上述計(jì)算，得到模型第1階振動(dòng)模態(tài)如圖8所示.

圖8 盤繞式伸展臂模態(tài)分析結(jié)果

圖8a所示斜拉索松弛前伸展臂基頻為f1=49.15 Hz.圖8b所示單側(cè)斜拉索松弛狀態(tài)的伸展臂基頻為f2=0.452 Hz.二者相差很大，這是因?yàn)楸P繞式伸展臂的橫桿處于壓桿屈服狀態(tài)，使其等效拉壓剛度很小(見1.1節(jié)彎曲橫桿建模)，使得斜拉索松弛后的橫向剛度極小[9].以斜拉索松弛前后這兩種結(jié)構(gòu)的頻率為條件，計(jì)算振幅較大時(shí)盤繞式伸展臂結(jié)構(gòu)不斷變換的等效頻率.

2 盤繞式伸展臂非線性振動(dòng)分析

由上述分析可知斜拉索松弛前后的兩種結(jié)構(gòu)的基頻不同.當(dāng)振幅較大時(shí)，盤繞式伸展臂必然在兩種結(jié)構(gòu)間不斷變換.下文首先研究斜拉索松弛時(shí)伸展臂的變形大小，在此基礎(chǔ)上建立考慮斜拉索松弛的盤繞式伸展臂振動(dòng)模型.此外當(dāng)振型為第2階以上時(shí)，各層斜拉索松弛情況較為復(fù)雜.且系統(tǒng)的振動(dòng)能量主要體現(xiàn)在第1階振型.因此如未特別說明，下文只考慮伸展臂第1階振型.

2.1 斜拉索松弛時(shí)的盤繞式伸展臂變形

利用上文建立的斜拉索松弛前的伸展臂模型(圖6)進(jìn)行仿真計(jì)算，得出斜拉索松弛判據(jù).

固定底端，在另一端鉸鏈A上加載橫向力F.在長度方向上均勻選擇3根發(fā)生松弛的斜拉索a，b，c，研究其受力變化，如圖9 所示.

圖9 盤繞式伸展臂橫向變形計(jì)算模型

以A點(diǎn)橫向位移為橫軸，斜拉索拉力為縱軸畫出曲線如圖10所示.

由于伸展臂是從預(yù)緊狀態(tài)發(fā)生變形的，圖10中3根斜拉索拉力初始值都不是0.3條曲線幾乎完全重合，在端部位移達(dá)到δ時(shí)同時(shí)變?yōu)?，表示3根斜拉索同時(shí)發(fā)生松弛.圖10曲線是根據(jù)表1數(shù)據(jù)建立模型得到的結(jié)果，δ≈0.64 mm.

在只考慮第1階振型的情況下，將δ作為斜拉索是否松弛的判斷標(biāo)準(zhǔn):端部位移大于δ時(shí)，斜拉索發(fā)生松弛.此外由于盤繞式伸展臂的橫向剛度與變形方向無關(guān)[5，16]，因此變形方向改變時(shí)斜拉索松弛判據(jù)不變.

2.2 振幅較大時(shí)盤繞式伸展臂的等效頻率

當(dāng)端部位移大于δ時(shí)，伸展臂剛度發(fā)生變化，這是一個(gè)典型的分段線性剛度系統(tǒng)[11，17].在長細(xì)比較大時(shí)，盤繞式伸展臂的整體振型同連續(xù)梁結(jié)構(gòu)相同.在保證整體振型及邊界條件一致的條件下，將伸展臂等效為一段懸臂梁結(jié)構(gòu).斜拉索松弛前后的兩種結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程如下所示:

式(5)、式(6)分別與圖6、圖7兩種結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)的第1階頻率分別為fa1，fb1;(EJ)1，(EJ)2分別為斜拉索松弛前后的等效剛度;為盤繞式伸展臂平均線密度.

伸展臂在發(fā)生一定變形后剛度變?yōu)?EJ)2.其慣性力變化示意圖如圖11所示.

圖11 分段慣性力

伸展臂在E，B間振動(dòng)，慣性力可以表示為

以D點(diǎn)為例計(jì)算BC段慣性力.在B點(diǎn)基礎(chǔ)上考慮(EJ)2的作用，即

設(shè)伸展臂在O→C振動(dòng)過程中在t02時(shí)刻斜拉索松弛.E→F→E過程慣性力可以表示為

E，B點(diǎn)伸展臂變形關(guān)于平衡位置對(duì)稱，有

因此式(9)可以轉(zhuǎn)化為

B→C→B過程有 y(L，t) ＞δ，E→F→E 過程有 y(L，t) ＜ － δ.可以用 y(L，t)代替 t01，t02表示斜拉索是否松弛.得斜拉索松弛后的振動(dòng)方程:

結(jié)合式(7)、式(11)、式(12)，在只考慮盤繞式伸展臂以式(5)的第1階振型振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)方程可以表示為

式中Y1(x)為式(5)的第1階振型函數(shù)，將式(14)代入式(13)可以得到

將式(15)兩端同乘以Y1(x)，沿x方向積分得到

式中

由于Y1(x)是式(5)的振型函數(shù)，因此式(5)表示的懸臂梁基頻:

同時(shí)對(duì)于懸臂梁來說，Y1(x)只與邊界條件有關(guān)，因此同樣是式(6)的振型函數(shù)[18].對(duì)應(yīng)懸臂梁基頻:

根據(jù)文獻(xiàn)[14]的等價(jià)線性化法，設(shè)非線性方程(16)的近似解為

P1(t)可改寫為以下形式:

式中φe為與斜拉索松弛瞬間等效梁端部振幅對(duì)應(yīng)的相位角.

端部位移為

事實(shí)上Y1(L)at就是端部振幅A.則相位角φe為

系統(tǒng)的等價(jià)剛度可以由下式求得[14]:

從而得到系統(tǒng)的等效頻率:

式(22)表明在如式(16)所示的分段剛度非線性系統(tǒng)內(nèi)，等效頻率和線性系統(tǒng)的頻率概念有所不同.不再是系統(tǒng)的固有特性和系統(tǒng)變形大小有關(guān).

3 Ansys瞬態(tài)分析

用上文建立的斜拉索松弛前的盤繞式伸展臂Ansys模型(見圖6)進(jìn)行時(shí)域分析，對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.斜拉索使用的Link10單元在瞬態(tài)分析中可以體現(xiàn)只受拉的特性.如圖9所示在A點(diǎn)加載橫向力F.作用0.02s后去除F，計(jì)算伸展臂之后的運(yùn)動(dòng).以A點(diǎn)位移表示伸展臂振動(dòng)，如圖12所示.

圖12 Ansys瞬態(tài)分析結(jié)果

圖12a中伸展臂端部振幅為0.34 mm，小于斜拉索松弛判據(jù)(δ≈0.64 mm).此時(shí)斜拉索沒有松弛，振動(dòng)頻率約為48.59 Hz.

圖12b伸展臂端部振幅大于δ，斜拉索已經(jīng)松弛，振動(dòng)頻率約為29.58 Hz.

從圖12可以看出，二者振動(dòng)頻率相差很大.改變F大小，可以得到與不同振幅對(duì)應(yīng)的振動(dòng)曲線，從而得到與振幅對(duì)應(yīng)的頻率.仿真頻率結(jié)果及按式(22)計(jì)算得到的頻率結(jié)果如表2所示.

表2 盤繞式伸展臂頻率變化

將表2數(shù)據(jù)畫成曲線如圖13所示.

圖13 盤繞式伸展臂振動(dòng)頻率隨端部振幅的變化

可見瞬態(tài)分析結(jié)果與上文推導(dǎo)的等效頻率基本吻合，頻率隨端部振幅增大而呈指數(shù)趨勢(shì)減小，并逐漸趨近于斜拉索松弛后的頻率fb1.

4 結(jié)論

盤繞式伸展臂完全展開后形成穩(wěn)定的三角形桁架結(jié)構(gòu)，但其特有的彎曲橫桿、可松弛斜拉索的特點(diǎn)使得振幅較大時(shí)伸展臂頻率發(fā)生改變.振幅越大頻率越小，并且趨向于一個(gè)斜拉索松弛后的頻率.本文建立的盤繞式伸展臂振動(dòng)模型指出了斜拉索松弛對(duì)伸展臂振動(dòng)性能的影響，并且驗(yàn)證了一種考慮斜拉索松弛時(shí)盤繞式伸展臂振動(dòng)特性的研究方法.該模型可用于評(píng)估外部干擾力對(duì)盤繞式伸展臂性能的影響，同時(shí)在確定工作環(huán)境的外部干擾力條件下，可應(yīng)用該模型給出盤繞式伸展臂的剛度設(shè)計(jì)要求.

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