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    壓桿穩(wěn)定臨界力歐拉公式統(tǒng)一推導(dǎo)

    2012-10-22 02:03:52董冠文李宗義趙彥軍王澤蔭張慶華杜建霞趙典凱
    關(guān)鍵詞:壓桿細(xì)長歐拉

    董冠文,李宗義,趙彥軍,王澤蔭,楊 龍,張慶華 ,杜建霞,趙典凱

    (甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,甘肅 天水 741001)

    0 引 言

    在工程力學(xué)或材料力學(xué)中對壓桿穩(wěn)定臨界力推導(dǎo)方法很多,如靜力法、能量法等[1].分幾種不同的約束條件,列出各自不同的撓曲線近似微分方程來求解,但該法過于復(fù)雜,教材也不可能全部推導(dǎo)證明[1].文獻(xiàn)[1-2]利用彎矩微分方程和相應(yīng)的力學(xué)邊界條件對不同約束條件下的壓桿穩(wěn)定臨界力Euler(歐拉)公式做了統(tǒng)一推導(dǎo).和一般教材相比,該方法過程雖然大大簡化了,但壓桿穩(wěn)定問題本質(zhì)上屬于桿的整體變形效應(yīng)問題,用邊界條件求解容易出現(xiàn)不確定和解的不一致,這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[3]已經(jīng)說明.

    與文獻(xiàn)[1-3]不同,以細(xì)長壓桿微小彎曲的平衡條件建立了推導(dǎo)壓桿穩(wěn)定臨界力Euler公式的統(tǒng)一的撓曲線方程,結(jié)合不同約束條件,得到了文獻(xiàn)[4]中的五種不同約束條件下的壓桿穩(wěn)定臨界力Euler(歐拉)公式.

    1 建立統(tǒng)一的撓曲線方程

    為便于分析,現(xiàn)取一端固定,另一端鉸支的細(xì)長壓桿進(jìn)行研究.

    如圖1所示,一端固定,另一端鉸支的細(xì)長壓桿失穩(wěn)后,為使桿件平衡,上端鉸支座應(yīng)有橫向反力FR.于是撓曲線微分方程為

    圖1 一端固定和另一端鉸支的細(xì)長壓桿失穩(wěn)情況Fig.1 Situation of pole fixed at one end to the other end of slender columns hinged instability

    以上微分方程的通解是

    由此求出w的一介導(dǎo)數(shù)為

    2 不同桿端約束形式下的細(xì)長壓桿的臨界力

    2.1 兩端鉸支的壓桿

    將邊界條件FR=0,x=0,w=0代入式(1)得B=0

    將邊界條件FR=0,x=l,B=0,w=0代入式(1)得

    因?yàn)锽=0,A與B不能同時(shí)為零,所以有A≠B即

    圖2 兩端鉸支的壓桿失穩(wěn)情況Fig.2 Situation of bending pole at both ends of the hinge support

    2.2 一端固定和一端自由的壓桿

    將邊界條件FR=0,x=0,=0代入式(2)得

    將邊界條件FR=0,x=l,w=0,A=0代入式(1)得

    因?yàn)锳=0,A與B不能同時(shí)為零,所以有B≠0即

    圖3 一端固定和一端自由的壓桿失穩(wěn)情況Fig.3 Situation of pole fixed at one end other one end of the free bending

    2.3 兩端固定的壓桿

    將邊界條件FR=0,x=0=0代入式(2)得

    將邊界條件FR=0,x=0,x=l,w(0)=w(l)代入式(1)得

    因?yàn)锳=0,A與B不能同時(shí)為零,所以有B≠0即

    2.4 一端固定和另一端鉸支的壓桿

    將邊界條件x=0,w=0代入式(1)得

    圖4 兩端固定的壓桿失穩(wěn)Fig.4 Situation of the bending pole fixed at both ends

    將邊界條件x=l,w=0代入式(1)得

    由式(3)、式(4)得

    圖5 一端固定和另一端鉸支的壓桿失穩(wěn)情況Fig.5 Situation of pole fixed at one end and the other end hinged bending

    因?yàn)锳與B不能同時(shí)為零,但式(6)式表明當(dāng)A=0時(shí),一定有B=0

    只有當(dāng)A≠0,B≠0時(shí),才能同時(shí)滿足式(6)和A與B不能同時(shí)為零的條件.

    所以可以將式(6)代入式(5)得

    圖6 正切曲線與過原點(diǎn)的直線相交Fig.6 Situation of pole tangent curve and the straight line of the origin intersect

    2.5 一端固定和一端定向可移動(dòng)夾緊的壓桿

    將邊界條件FR=0,x=0,w=0代入式(1)得

    因?yàn)锳與B不能同時(shí)為零,B=0,一定有A≠0即

    最小根為 kl=π

    圖7 一端固定和一端定向可移動(dòng)夾緊的壓桿失穩(wěn)情況Fig.7 One end fixed and other one end of the directional the movable clamping the strut instability

    綜上所述,以上計(jì)算的臨界力與文獻(xiàn)[4]一致,因此可以寫成統(tǒng)一形式

    式中:μ為長度因數(shù),壓桿兩端鉸支時(shí),μ=1;壓桿一端固定,一端自由時(shí),μ=2;壓桿兩端固定時(shí),;壓桿一端固定,一端鉸支時(shí),μ=0.7;壓桿一端固定,一端定向可移動(dòng)夾緊時(shí),μ=1.

    4 結(jié) 語

    本研究首次提出了以一端固定另一端鉸支的細(xì)長壓桿微小彎曲撓曲線方程作為統(tǒng)一的撓曲線方程,分別代入壓桿兩端鉸支失穩(wěn)、壓桿一端固定另一端自由失穩(wěn)、壓桿兩端固失穩(wěn)定、壓桿一端固定另一端定向可移動(dòng)夾緊失穩(wěn)的臨界力邊界條件的方法,得到了上述條件下的壓桿穩(wěn)定歐拉公式.若依據(jù)上述不同的約束條件,列出各自不同的撓曲線方程來求解,則加大了問題的求解難度,另外雖然也可用彎剪方程撓曲線方程對壓桿穩(wěn)定臨界力歐拉公式做統(tǒng)一推導(dǎo),但這樣既考慮剪力又考慮彎矩,沒有體現(xiàn)桿的整體變形效應(yīng).綜上所述,壓桿兩端鉸支失穩(wěn)、壓桿一端固定另一端自由失穩(wěn)、壓桿兩端固失穩(wěn)定、壓桿一端固定另一端定向可移動(dòng)夾緊失穩(wěn),這些情況都可以看做是壓桿一端固定另一端鉸支失穩(wěn)情況下,橫向反力FR=0的情形,壓桿穩(wěn)定屬于桿真正意義上的整體變形效應(yīng),與拉、壓、彎、扭本質(zhì)上存在區(qū)別.

    [1]傅寧,杜家熙.用彎剪方程求細(xì)長壓桿的臨界力[J].河南職技師院學(xué)報(bào),1999,27(1):39-40.

    [2]李有興,肖芳淳.用彎剪矩陣法確定壓桿臨界力的教學(xué)研究[J].力學(xué)與實(shí)踐,1995,17(1):69-71.

    [3]張曉春,關(guān)于彎剪矩陣法的思考[J].力學(xué)與實(shí)踐,1997,19(2):68-69.

    [4]李世榮.材料力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2010:200-203.

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