動畫美術(shù)與數(shù)學化歸方法

■ 曾定凡 曾 旭

(作者曾定凡系中國傳媒大學藝術(shù)學部動畫與數(shù)字藝術(shù)學院教授;曾旭系Texas A＆M University Texas碩士研究生)

動畫美術(shù)完全依賴漫畫、國畫、油畫、雕塑等來表現(xiàn)自己?！坝卸嗌俜N美術(shù)形式，就有多少種動畫形式”，實際上，是動畫沒有自己的特定形式。從這個意義上說，動畫美術(shù)是對全部美術(shù)形式的一種綜合研究。而化歸方法則是數(shù)學最廣泛的解題手段和數(shù)學家最顯著的思維特征。

長期以來，美術(shù)的發(fā)展很少與數(shù)學交融，普遍認為邏輯思維是形象思維的桎梏，數(shù)學盲是美術(shù)家沉重的歷史包袱。而我們堅持認為，動畫美術(shù)不僅是一門人文藝術(shù)，在很大的范圍內(nèi)還是一門嚴謹?shù)目茖W。眾所周知，只要是科學，就必然需要數(shù)學去提供認知手段。不同質(zhì)的矛盾要用不同質(zhì)的方法才能解決，一般地說，藝術(shù)問題要用藝術(shù)的規(guī)律去對待，科學問題要用科學的方法去詮釋。正是因為我們在動畫美術(shù)創(chuàng)作與教學中忽視了科學性，導致了許多問題長期得不到解決，動畫美術(shù)基礎(chǔ)訓練的效率低就是其中之一。

問題可能還不止如此。哥德爾不完備定理警示我們:對一個形式系統(tǒng)而言，一個公理系統(tǒng)內(nèi)部總存在它自己無法判明的問題。從這個特殊的角度來看，即使藝術(shù)問題也未必完全能夠用藝術(shù)規(guī)律來說明，它需要包括數(shù)學在內(nèi)的不同系統(tǒng)的支持。跳出系統(tǒng)看系統(tǒng)，是我們完善對于客觀世界認識的必由之路。

縱然動畫美術(shù)與數(shù)學方法都能解釋同一個問題，但數(shù)學所提供的案例有許多別的學科無法替代的內(nèi)容。恩格斯說過，從不同觀點觀察同一對象，已成為馬克思的習慣。用數(shù)學精神把傳統(tǒng)美術(shù)中的信息重新梳理，交叉理念的相互碰撞能促進新思想的產(chǎn)生;這里我們可以從解析幾何中獲得某種啟示:假如沒有代數(shù)與幾何之間的相得益彰，數(shù)學家就會被限制在狹窄和繁重的思維負擔之中。

只要美術(shù)家的知識結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，就會發(fā)現(xiàn)，動畫美術(shù)方法的許多原理原來存在于數(shù)學之中。有時美術(shù)家好不容易找到一點新的思想與方法，然而卻發(fā)現(xiàn)數(shù)學家早就已經(jīng)解決了，有的甚至是數(shù)學中的基本常識。

我們需要認知定式的歷史性重構(gòu)。

一

圓面積的計算如果從正面強攻是非常困難的，且看數(shù)學家的智慧:以圓內(nèi)接多邊形面積去近似圓的面積，兩者之差是一個小量，當取極限時這種小量趨于零，這樣，數(shù)學家通過直與曲的轉(zhuǎn)換，得到了圓面積計算的數(shù)學模型S=πR2。

找到這樣的方法是天才，但更為重要的是要超越這些個別零散的事實去找到其背后的科學規(guī)律。否定之否定規(guī)律告訴我們，舊的實踐與具有新質(zhì)的實踐之間是不能直接聯(lián)系的，必須經(jīng)過理論的否定，才能實現(xiàn)躍遷。數(shù)學家沒有停留在一個一個原始的事實層面，而是通過歸納升華，獲得了一種理論，這就是“化歸”。所謂“化歸”是指將問題A進行變形，轉(zhuǎn)化為若干簡單的問題B，既然問題B是簡單的，那么問題A就好解決了。它的基本原則是在保證本質(zhì)特征不變的前提下“變陌生為熟悉，變高維為低維，變復雜為簡單，變抽象為直觀，變困難為容易，變隱蔽為明朗”，這是一個從特殊到一般的過程。如同辯證法的誕生才使許多原始的辯證思維現(xiàn)象產(chǎn)生認識上的飛躍一樣，化歸思想的提出也能使不同領(lǐng)域的相關(guān)實踐由自發(fā)變?yōu)樽杂X。

這是數(shù)學給美術(shù)家送來的一份大禮!它為動畫美術(shù)方法的開疆拓域提供了一個銳利的思想武器。動畫美術(shù)中造型與色彩難以控制，原因恐怕就在太復雜?；瘹w方法使我們獲得了這種事物運動發(fā)展的共同本質(zhì)，但它并不能代替各種具體問題中的特殊本質(zhì);這里還需要一個從一般到特殊的過程，而這個過程卻不是可以通過推理一蹴而就的，因為“一切運動形式的每一個實在的非臆造的發(fā)展過程內(nèi)，都是不同質(zhì)的?！雹僦挥小熬唧w問題具體分析”才能找到這種不同質(zhì)的特殊性。

美術(shù)家要想在自己的領(lǐng)域很好地運用化歸方法，對于化歸方法在數(shù)學中如何處理矛盾的普遍性與特殊性之間的關(guān)系進行深入研究是一件很有價值的工作。

同樣是化歸方法，球體積就不是圓面積計算方式的演繹，球體是旋轉(zhuǎn)體，可以通過微分法先求得體積元素，進而通過積分求得體積;而在實驗方法中，則是將底面半徑為R，高為2R的圓柱容器中放滿水，將半徑為R的球放入圓柱內(nèi)，水溢出，將球取出，圓柱中剩下的水正好倒?jié)M底面半徑為R，高為2R的圓錐容器，再將圓柱體減去圓錐體體積得公式V球體積=πR2×2R －1/3πR2×2R=4/3πR3;分數(shù)、復數(shù)、分式運算的復雜過程無非都是在化歸成低一級的整數(shù)、實數(shù)、整式的運算;求導數(shù)和不定積分要歸結(jié)為基本初等函數(shù)的求導公式與積分公式，常微分方程則通過將非線性變?yōu)榫€性，多變量換成單變量等方式使復雜方程變?yōu)楹喴追匠?由于方程有一套自己完善的求解辦法，而只要找出等量關(guān)系就能建立起方程，所以很多難題都會利用方程來解決。同時，數(shù)學不僅不同問題有不同的解，還追求同一問題中的最優(yōu)解，例如怎樣把一個十進制數(shù)寫成二進制數(shù)，我們可以按原始辦法順序改寫;但若采用“除2取余，逆序排列”法就非常輕松。這里體現(xiàn)了一種對完美境界的渴望。

需要提醒的是，在各種形式的轉(zhuǎn)換中，必須注意其深層的不變性;多年來，由于種種原因，我們把對于運動、過渡和聯(lián)系，比較對于什么東西在運動注意得更多，有時不知不覺演變成了對不變性的漠視，從一個極端跳到了另一個極端;而真實世界應是雙方都不能跨越各自的規(guī)定，無論運動與聯(lián)系的觀點怎樣正確，它們所遵循的普遍規(guī)律是不變的，深刻的哲學家永遠在尋找世界的統(tǒng)一性;數(shù)學為了適應自身發(fā)展的特點，它比任何學科都更加意識到了不變性的價值，運算中的交換率、分配律、結(jié)合律給了我們深刻的示例;歐幾里得三角形形狀雖然千差萬別，但內(nèi)角和180度是確定的，凸多邊形外角千姿百態(tài)，但其外角和360度不變;圓周率π與自然對數(shù)底e，都是無窮變化中的永恒?；瘹w原則是變與不變的統(tǒng)一。

上述種種特殊方法，互相之間真可謂風馬牛不相及，但它們又在“變復雜為簡單”這個化歸的一般意義上聯(lián)系起來。這些一般與特殊的表現(xiàn)啟迪美術(shù)家的創(chuàng)新之路。它告訴我們，從化歸思想到獲得不同科學問題的具體方法，其間對困難的征服不但不亞于“化歸”方法的發(fā)現(xiàn)，而且還要更偉大、更壯觀。同時化歸方法也依賴這些新的特殊發(fā)現(xiàn)以發(fā)展自己，使自身不致變成“純粹抽象的公式”。

化歸智慧在解決具體問題中所表現(xiàn)出來的摧枯拉朽般的震撼，足以讓美術(shù)家對數(shù)學時刻保持著敬畏，足以激發(fā)起數(shù)學與動畫美術(shù)關(guān)系的無限想象力。

二

造型藝術(shù)辭典中沒有化歸這個詞匯，但卻不是沒有化歸思想，繪畫的一套方法受到了歷史的檢驗，一大批名作表明其中必有鐵的邏輯;將其推置到包括化歸方法在內(nèi)的現(xiàn)代科學范式條件下，用新的視野與理論高度進行追問，是我們承繼這份傳統(tǒng)繞不開的課題。

例如，素描中純粹的明暗在自然世界是不存在的，它是前輩大師從各種復雜的色彩屬性中剝離出來的一個劃時代的發(fā)現(xiàn)，它不但揭示出明暗、冷暖、濃灰等幾大色彩性質(zhì)中，明暗具有更加獨立、重要的地位，揭示出造型藝術(shù)的美丑得失永遠受控于明度，更為重要的是通過抓住明暗能使美術(shù)家研究造型更加容易。這是一種將高維變成低維的化歸方法。

國畫家對于線條的審美趣味已入微到了一種近乎神秘的境界，為了獲得這種形式美感，需要在書法、篆刻方面下功夫?！爸睆臅ㄑ莓嫹?，平生得力之處是能以作書之筆作畫” (吳昌碩)，它通過某種等價的形式轉(zhuǎn)移，最大限度地減少了人物造型對畫家的束縛，使精力集中到純粹的線條研究上去。是一種變元構(gòu)造的化歸方法。

面對太難表現(xiàn)的人物形象，美術(shù)學生會化簡成各種基本幾何形體，然后逐步推進到復雜的造型;曲線透視不好畫，美術(shù)家會借助直線透視去解決;是一種變復雜為簡單的化歸方法。

油畫家的調(diào)色板需要精心安排成與畫面一致的色彩關(guān)系，這樣就可以將畫面的色彩關(guān)系放到調(diào)色板上去處理，而上畫布時主要看造型。是一種分而治之化歸方法。

中國畫論中有“十八描”;素描有“三大面五大調(diào)”等，如果運用得法，這些程式化很強的形式可以和數(shù)學中的公式、方程一樣避免許多原始分析;是一種模型式化歸方法。

繪畫中線條的勾勒不能像自行車下坡，一沖而下，而應該像拉車上坡那樣一步一步踏石留印，綿里藏針，屋漏痕，錐劃沙。是一種化陌生為熟悉的化歸方法。

張璪主張的“外師造化，中得心源”，謝赫提出的“氣韻生動”，齊白石強調(diào)的“妙在似與不似之間”，徐悲鴻總結(jié)的“寧過勿及，寧方勿圓”等，則是對手段與結(jié)果的一種放大與鎖定，顯而易見化歸成大目標比小目標容易命中，清晰固定的目標比模糊游離的目標容易捕捉。

如果深入分析下去，我們會驚奇地發(fā)現(xiàn)，幾乎所有的美術(shù)方法都可以集合到化歸的旗下;華羅庚的“退到最原始而不失去重要性的地方，把相對簡單的問題搞清楚了，從而獲得全部問題解決”的思想成了這些方法的最好注解。這樣一來，這些沒有用到數(shù)學知識的傳統(tǒng)美術(shù)方法，思維方式卻變成了數(shù)學的。

對于化歸方法，不能說美術(shù)家沒有一定的意識，但數(shù)學家與我們的區(qū)別在于我們即使運用這個方法，也仍在不經(jīng)意間執(zhí)拗地拒絕理解它的本性，化歸方法的真正的力量不在我們的自覺認識之內(nèi)。而數(shù)學家則看清了問題轉(zhuǎn)化后所涌現(xiàn)的新的系統(tǒng)功能，使其完全服從自己的意志，并且作為一種十分重要的思維策略上升到了方法論的層面。

三

對美術(shù)家來說化歸的意義在于化解橫梗在動畫美術(shù)中的難題。

和傳統(tǒng)美術(shù)的認知語境不同，下面我們要將許多美術(shù)問題化歸到數(shù)學方法上去。我們試圖通過案例分析使人們相信，數(shù)學作為理解、把握世界最簡潔有力的工具，它在動畫美術(shù)中被需求的程度與它在其他科學領(lǐng)域中的應用是一致的;大體說來只要不越過科學的邊界，不陷入復雜性范疇，數(shù)學都能做出深刻的類比與刻畫，這里既有直覺的經(jīng)驗，又有邏輯的批判，既有指南又有坐標。當然這種新的路徑將注定是一個艱難的求索過程。但有理由相信，隨著對數(shù)學的了解越多，我們對新舊動畫美術(shù)方法的領(lǐng)悟?qū)⒃蕉?。與某些領(lǐng)域典型案例難以收集形成對比，數(shù)學中各種具有驚人創(chuàng)造力的化歸方法天天在進行，大浪淘沙留下的歷史經(jīng)典可謂汗牛充棟，這些為我們思維空間的拓展與思維品質(zhì)的優(yōu)化提供了得天獨厚的條件。

造型藝術(shù)表現(xiàn)的不是絕對的對象而是相互關(guān)系。例如高樓大廈并不需要等大的紙來表現(xiàn)，但要求在方寸內(nèi)仍能感覺其雄偉;任何一塊色彩都不能脫離具體的色彩關(guān)系，否則將此色彩關(guān)系中的土黃放進彼色彩關(guān)系中，它可能變成土綠;畫畫就是畫關(guān)系，它們每一個都能引起其他東西的改變而本身又被其他東西所改變。傳統(tǒng)美術(shù)常借用音樂中“定調(diào)可高可低，但七個音符的遞階關(guān)系要保持好”來進行類比，但光有這種解釋其實是單薄的。而數(shù)學正是一種能夠研究關(guān)系結(jié)構(gòu)模式的科學:上述具有確定性聯(lián)系的相互關(guān)系如果換成數(shù)學語言，就是一個量決定另一個量的相似變換，可以用一個簡單的一元線性函數(shù)y=ax表示 (其中a≠0，如果縮小，a是一個小于1的非負小數(shù)，如果放大，a是一個大于1的值)，科學性、簡潔性與可操作性兼?zhèn)?如果引入非線性函數(shù)，其應用力度將會在非對稱非協(xié)同等多種形態(tài)中獲得有效的擴張。它們與傳統(tǒng)方法構(gòu)成互補互動，使“畫關(guān)系”問題厚實起來。

對于繪畫中整體與局部關(guān)系的理解與處理，恐怕沒有美術(shù)家不為之苦惱過。忽視整體只鉆局部是初學者難以避免的通病，應該告誡，和對于運動中任意曲線的認識，只有在與切線的關(guān)系中通過微積分才能表現(xiàn)出來一樣，繪畫中每一個局部都必須放到恰當?shù)恼w中才能維系。造型系統(tǒng)相互關(guān)系中的線性函數(shù)現(xiàn)象在理論上是成立的，但由于觀察與表現(xiàn)上的誤差，在很多情況下，“自變量”難于將“因變量”限制在一個點上;局部單線聯(lián)系過多因果鏈條拉得太長，系統(tǒng)中信息的傳輸會伴隨偶然性出現(xiàn)隨機干擾，這種干擾形成漲落，可能隨著初始誤差倍數(shù)甚至指數(shù)式地放大。這里可以用“折紙登天”的數(shù)學題來演示這種效應:將一張厚度為0.1mm且足夠長的紙對折100次，其厚度將是0.1mm*2100=126，765，060，022，822，940，149，670公里，而太陽離地球的距離僅約149，597，870公里。由于與直覺相距太遠所帶來的刺激，它對于改變學生頑固性的過多的局部觀察，有著一種奇妙的力量。

為了把握好造型的整體關(guān)系，我們會借助許多水平線、垂直線。面對紛繁的色彩，怎么能迅速地找到它在整體中的位置，我們也會從大會堂找座的感受來領(lǐng)悟:先進行紅、黃、白票區(qū)劃分，然后再對號入座。這兩個辦法非常好，好就好在它已經(jīng)接近了數(shù)學的邊緣。如果我們催化一下，使它升華到數(shù)學中的坐標系，這就找到了一個更科學的工具。在平面坐標系中，通過X、Y兩個坐標值就能確定一個物體的準確位置，這也啟示我們，比較既不能只看到一根線而忽視另一根線，同時也無必要漫無邊際的亂比，比較要抓住要害。

這里的要害就是繪畫中強調(diào)的“大關(guān)系”，它是控制整體關(guān)系的核心環(huán)節(jié)，但繪畫中的“大關(guān)系”理論過于籠統(tǒng)，缺少具體分析。而“大關(guān)系”在數(shù)學方法中就是通過某一組參數(shù)來控制整個系統(tǒng)。例如，要畫一個球的體積，只需控制球的半徑R一個參數(shù)就夠了，若是加上球心的位置——在空間直角坐標系中，球心的位置由X、Y、Z三個坐標值來決定——那么四個參數(shù)就能確定一個空間中任意指定位置的球體。在數(shù)學物理方程中，對控制參數(shù)有“雙曲型方程、橢圓型方程和拋物型方程”②等歸納并有詳盡的分析，雖然未必可以直接應用于動畫美術(shù)，但對我們深化“大關(guān)系”的研究很有啟發(fā);而在哈肯的協(xié)同學中，這種參數(shù)叫做系統(tǒng)的序參量。由于序參量決定了系統(tǒng)的演化進程，這樣消去大量具有自由度的分子，建立與求解序參量方程，就能使系統(tǒng)控制變得科學簡易。這些通過“引參求控”的化歸方法深化了我們對繪畫中“大關(guān)系”的理解。

動畫美術(shù)教師年復一年聲嘶力竭的“整體”、“比較”方法，實在需要滲透一些不同的思維，給學生帶來一種新的刺激，以避免落入“單純用重復方法是學不到什么的”這個現(xiàn)代心理學揭示的怪圈中去。下面的4次方程同樣能給我們帶來這種啟示:m(ax2+bx+c)2+n(ax2+bx+c)+p=0，如果用y去代替括號中的二次式，變成my2+ny+p=0，一個復雜的四次方程因此成了解兩回二次方程，這種整體代入使解題過程簡捷明快而富有創(chuàng)造性的威力。雖然這種“塊操作”甚至“集裝箱”式的控制辦法在傳統(tǒng)的美術(shù)方法中經(jīng)常被提到，但我們在經(jīng)歷數(shù)學刺激的緊張狀態(tài)之后思考這個問題卻是第一次。不同質(zhì)的例題將催生完全不同質(zhì)的感悟，這里有高低甚至文野之分。

孫子兵法上有“治眾如治寡”的原則，這對應于數(shù)學中的加和現(xiàn)象，如狄利克萊抽屜原理、微分法、集合概念等等。但由于系統(tǒng)不僅有加和現(xiàn)象更有非加和規(guī)律，因此，“治眾如治寡”是有條件的。整體與局部分屬不同層次，很多情況下二者必然在具有共同狀態(tài)的同時還將出現(xiàn)不同性質(zhì)，它需要各種不同的控制方法，這樣如何把“眾”化解成“寡”將拷打著美術(shù)家的智慧。我們常常有這種困惑，局部已經(jīng)畫得很到位了，但整體感受卻怎么也出不來，深層的原因其實就是適用局部的方法卻不能解決整體問題;一般來說綜合比分析更高級也更困難，這也是初學者容易掉入局部的原因之一。治理一個國家與治理一個村莊豈可同日而語。借助一些數(shù)學方法會使我們看得更清楚:例如根據(jù)“環(huán)面上任何點的鄰域能用一小塊平面去近似”的原理，可以用直角平面坐標制作局部地圖，但作為整個地球的地圖卻要用球坐標;歐氏幾何能描述人們?nèi)粘Ｉ钪械目臻g，但對于宇宙尺度的空間則需要承認空間彎曲的非歐幾何;處理有限集的方法難以搬用到無限集中。這些類比雖然未必盡善盡美，但它確實對如何處理動畫美術(shù)整體關(guān)系中的復雜性，構(gòu)成了思考的切入點。

一張畫的制作過程就是一個解題過程，數(shù)學化歸運算在已知與未知、目的與手段之間的巧妙轉(zhuǎn)換精心擇優(yōu)，它所需要的思維深度、廣度、批判性、獨創(chuàng)與靈活性，無一不是動畫美術(shù)創(chuàng)作的必備條件。

化歸思想把我們帶到了一個風光無限的境地，創(chuàng)新正未有窮期。

數(shù)學方法能夠作為動畫美術(shù)有力武器的原因，在于宇宙世界物質(zhì)運動規(guī)律的統(tǒng)一性和科學的統(tǒng)一性?？茖W與藝術(shù)的進步，說到底是思維方式的進步。而這種思維方式，相當多的內(nèi)容是用數(shù)學語言寫成的，這是一種從量的角度對世界進行研究、為人們提供方法論的哲學，是人類偉大精神的重要表征?！皼]有數(shù)學就沒有真正的智慧”是柏拉圖的名言。冷落甚至蔑視數(shù)學的后果，只能使自己陷入“思維方式存有缺陷”的觀照中去。這不僅是懲罰更是數(shù)學對世界無微不至的關(guān)懷。

美術(shù)家數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的深刻變化，必然引起其思維方式的根本性改變?？梢灶A言，數(shù)學化歸方法不僅能改變美術(shù)家許多現(xiàn)有的行為習慣，而且還將長久滋養(yǎng)其心智。

注釋:

① 《毛澤東選集》，人民出版社1991年版，第310頁。

② 谷超豪等:《數(shù)學物理方程 (第2版)》，上海科學技術(shù)出社1961年版，第97、145、207頁。