因式分解助解題

許志鋒

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常見方法：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、求根法、配湊法等. 無論采用哪種方法，關(guān)鍵均在于：整體觀察，局部變形，瞧著走！

因式分解的應(yīng)用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的關(guān)鍵在于求根.經(jīng)觀察，不等式左邊可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有兩根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 證明函數(shù)單調(diào)性

例2 求證： f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母為正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

點評： 用定義證明單調(diào)性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，總的變形方向就是要和差化積分解因式，這樣就能通過各個因式的正負來確定Δ的正負，如果出現(xiàn)分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化簡

例3 用三邊長表示三角形面積的著名公式“海倫公式”：s=其中p=（a+b+c）的推導(dǎo).

解析： 由面積公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的約簡

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)江西卷（文科）第20題中的計算問題] 已知+=1，x0y0≠0. 求證：2·-為定值.

解析： 先化簡繁分式m=.

第一步，整個分式的分子分母同乘以各分式的分母之積（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通過因式分解，進行約分化簡，由+=1變形得4-=4，而上式分母中恰好出現(xiàn)4-這個整體，用4代替4-，可得m===.

現(xiàn)在，問題最終轉(zhuǎn)化為求證2m-=-為定值.由于這兩個分式的分母不同， 故應(yīng)通分合并： -==（*）.

要證明*式為定值，可將分子進行因式分解，與分母約分.觀察發(fā)現(xiàn)，*式分子、分母中有三處出現(xiàn)了x0-2，所以我們應(yīng)當“少數(shù)服從多數(shù)”，對于唯一不含x0-2的項2，通過條件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）來代換.于是

=

==.

小結(jié)： 因式分解的本質(zhì)就是和差化積，凡使用積的形式更有利于解題的場合，均可考慮進行因式分解.

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常見方法：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、求根法、配湊法等. 無論采用哪種方法，關(guān)鍵均在于：整體觀察，局部變形，瞧著走！

因式分解的應(yīng)用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的關(guān)鍵在于求根.經(jīng)觀察，不等式左邊可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有兩根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 證明函數(shù)單調(diào)性

例2 求證： f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母為正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

點評： 用定義證明單調(diào)性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，總的變形方向就是要和差化積分解因式，這樣就能通過各個因式的正負來確定Δ的正負，如果出現(xiàn)分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化簡

例3 用三邊長表示三角形面積的著名公式“海倫公式”：s=其中p=（a+b+c）的推導(dǎo).

解析： 由面積公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的約簡

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)江西卷（文科）第20題中的計算問題] 已知+=1，x0y0≠0. 求證：2·-為定值.

解析： 先化簡繁分式m=.

第一步，整個分式的分子分母同乘以各分式的分母之積（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通過因式分解，進行約分化簡，由+=1變形得4-=4，而上式分母中恰好出現(xiàn)4-這個整體，用4代替4-，可得m===.

現(xiàn)在，問題最終轉(zhuǎn)化為求證2m-=-為定值.由于這兩個分式的分母不同， 故應(yīng)通分合并： -==（*）.

要證明*式為定值，可將分子進行因式分解，與分母約分.觀察發(fā)現(xiàn)，*式分子、分母中有三處出現(xiàn)了x0-2，所以我們應(yīng)當“少數(shù)服從多數(shù)”，對于唯一不含x0-2的項2，通過條件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）來代換.于是

=

==.

小結(jié)： 因式分解的本質(zhì)就是和差化積，凡使用積的形式更有利于解題的場合，均可考慮進行因式分解.

因式分解的公式和方法

常用公式：平方差公式、完全平方公式、立方和及立方差公式等，如a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2），（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.

常見方法：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、求根法、配湊法等. 無論采用哪種方法，關(guān)鍵均在于：整體觀察，局部變形，瞧著走！

因式分解的應(yīng)用

● 解方程或不等式

例1 已知a>0，b>0，解不等式2x2+（3a+b）x+（a2-b2）>0.

解析： 解二次不等式的關(guān)鍵在于求根.經(jīng)觀察，不等式左邊可分解因式：2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=2x2+（3a+b）x+（a+b）（a-b）=（2x+a-b）（x+a+b），故2x2+（3a+b）x+（a2-b2）=0有兩根：x1=-a-b，x2=.

由a>0，b>0可知x1-x2=（-a-b）-=-<0，所以x1

● 證明函數(shù)單調(diào)性

例2 求證： f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

解析：任取00，1-x1x2>0，并且分母為正，故f（x2）-f（x1）>0， f（x）=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增.

點評： 用定義證明單調(diào)性，在作差Δ=f（x2）-f（x1）之后，總的變形方向就是要和差化積分解因式，這樣就能通過各個因式的正負來確定Δ的正負，如果出現(xiàn)分式，要先通分合并再分解因式.

● 整式的化簡

例3 用三邊長表示三角形面積的著名公式“海倫公式”：s=其中p=（a+b+c）的推導(dǎo).

解析： 由面積公式和余弦定理可得：s=absinC=ab=ab·，即s=，其中（2ab）2-（a2+b2-c2）2=（2ab+a2+b2-c2）（2ab-a2-b2+c2）=[（a+b）2-c2]·[c2-（a-b）2]=（a+b+c）（a+b-c）·（c+a-b）（c+b-a）=2p（2p-2c）（2p-2b）（2p-2a），故s=.

● 分式的約簡

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)江西卷（文科）第20題中的計算問題] 已知+=1，x0y0≠0. 求證：2·-為定值.

解析： 先化簡繁分式m=.

第一步，整個分式的分子分母同乘以各分式的分母之積（2y0-x0+2）（y0-1），得：m==.

第二步，通過因式分解，進行約分化簡，由+=1變形得4-=4，而上式分母中恰好出現(xiàn)4-這個整體，用4代替4-，可得m===.

現(xiàn)在，問題最終轉(zhuǎn)化為求證2m-=-為定值.由于這兩個分式的分母不同， 故應(yīng)通分合并： -==（*）.

要證明*式為定值，可將分子進行因式分解，與分母約分.觀察發(fā)現(xiàn)，*式分子、分母中有三處出現(xiàn)了x0-2，所以我們應(yīng)當“少數(shù)服從多數(shù)”，對于唯一不含x0-2的項2，通過條件+=1，用2=（4-）=（2+x0）（2-x0）來代換.于是

=

==.

小結(jié)： 因式分解的本質(zhì)就是和差化積，凡使用積的形式更有利于解題的場合，均可考慮進行因式分解.