分段函數的單調性

范紅星

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數，則實數a的取值范圍是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

錯解： 當x<1時， f（x）=（3a-1）x+4a遞減，得3a-1<0，即a<；當x≥1時， f（x）=logax遞減，得0

錯因分析：這一錯誤解法在同學中普遍存在， 選項B是不對的. 主要錯誤原因是同學們只從局部認識函數f（x）單調遞減的意義，沒有從全局上理解函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減的深刻含義.

事實上，當x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減，并不能保證f（x）在（-∞，+∞）上遞減. 如圖1所示，當x1

真正滿足題意的是圖2的情形，從圖上可以看出：除了要滿足x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減外，還必須滿足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判斷分段函數單調性時，要特別注意臨界情況的分析.

正解：由題意得3a-1<0，0

【練一練】

（1） 若函數f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函數，則實數a的取值范圍為

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函數f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增， 則實數a 的取值范圍是 .

（3） 已知函數f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，數列{an}滿足：an=f（n），n∈N*且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是 .

【參考答案】

（1）由題意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，選D.

（2） 由題意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 當x>7時，由于{an}是遞增數列，所以ax-6遞增，a>1.同理，x≤7時，（3-a）x-3遞增，所以3-a>0，a<3.在兩段“銜接”處要求a72或a<-9. 綜上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數，則實數a的取值范圍是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

錯解： 當x<1時， f（x）=（3a-1）x+4a遞減，得3a-1<0，即a<；當x≥1時， f（x）=logax遞減，得0

錯因分析：這一錯誤解法在同學中普遍存在， 選項B是不對的. 主要錯誤原因是同學們只從局部認識函數f（x）單調遞減的意義，沒有從全局上理解函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減的深刻含義.

事實上，當x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減，并不能保證f（x）在（-∞，+∞）上遞減. 如圖1所示，當x1

真正滿足題意的是圖2的情形，從圖上可以看出：除了要滿足x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減外，還必須滿足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判斷分段函數單調性時，要特別注意臨界情況的分析.

正解：由題意得3a-1<0，0

【練一練】

（1） 若函數f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函數，則實數a的取值范圍為

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函數f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增， 則實數a 的取值范圍是 .

（3） 已知函數f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，數列{an}滿足：an=f（n），n∈N*且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是 .

【參考答案】

（1）由題意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，選D.

（2） 由題意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 當x>7時，由于{an}是遞增數列，所以ax-6遞增，a>1.同理，x≤7時，（3-a）x-3遞增，所以3-a>0，a<3.在兩段“銜接”處要求a72或a<-9. 綜上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數，則實數a的取值范圍是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

錯解： 當x<1時， f（x）=（3a-1）x+4a遞減，得3a-1<0，即a<；當x≥1時， f（x）=logax遞減，得0

錯因分析：這一錯誤解法在同學中普遍存在， 選項B是不對的. 主要錯誤原因是同學們只從局部認識函數f（x）單調遞減的意義，沒有從全局上理解函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減的深刻含義.

事實上，當x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減，并不能保證f（x）在（-∞，+∞）上遞減. 如圖1所示，當x1

真正滿足題意的是圖2的情形，從圖上可以看出：除了要滿足x<1時f（x）=（3a-1）x+4a遞減、x≥1時f（x）=logax遞減外，還必須滿足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判斷分段函數單調性時，要特別注意臨界情況的分析.

正解：由題意得3a-1<0，0

【練一練】

（1） 若函數f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函數，則實數a的取值范圍為

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函數f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增， 則實數a 的取值范圍是 .

（3） 已知函數f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，數列{an}滿足：an=f（n），n∈N*且{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是 .

【參考答案】

（1）由題意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，選D.

（2） 由題意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 當x>7時，由于{an}是遞增數列，所以ax-6遞增，a>1.同理，x≤7時，（3-a）x-3遞增，所以3-a>0，a<3.在兩段“銜接”處要求a72或a<-9. 綜上可得，a∈（2，3）.