完全信息多目標(biāo)博弈均衡解的存在性

張 杰，李 晗，胡 鼎

（東北電力大學(xué) 理學(xué)院，吉林 吉林132012）

多目標(biāo)博弈也稱為具有向量支付的博弈［1］.現(xiàn)實(shí)生活中大部分多目標(biāo)決策問(wèn)題都存在相互取舍的關(guān)系，因此，多目標(biāo)博弈的研究已成為解決現(xiàn)實(shí)博弈問(wèn)題的主要方法，而均衡解［2］的存在性是多目標(biāo)博弈研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一［3－5］，目前已受到人們廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［6］討論了相互沖突的多目標(biāo)決策和非合作博弈問(wèn)題；文獻(xiàn)［7］應(yīng)用集值理論討論了以兩個(gè)局中人對(duì)抗為主體、多個(gè)局中人間接參與的一類特殊微分對(duì)策，給出了其極小極大控制的存在性定理；李金澤等［8］將求解單目標(biāo)博弈平衡點(diǎn)的Fan－Glicksberg不動(dòng)點(diǎn)定理應(yīng)用到對(duì)多目標(biāo)博弈平衡點(diǎn)存在性的研究中；文獻(xiàn)［9］對(duì)博弈實(shí)例進(jìn)行了均衡解的求解；文獻(xiàn)［10－11］分別討論了支付函數(shù)為向量形式的n人非合作多目標(biāo)博弈及不確定參數(shù)變化范圍假設(shè)下的弱Pareto－Nash平衡點(diǎn)的存在性問(wèn)題，其中后者減弱了多目標(biāo)博弈平衡點(diǎn)存在性定理中策略空間的緊性和支付函數(shù)的凸性等條件.本文通過(guò)建立多目標(biāo)博弈模型，給出相應(yīng)的博弈均衡解概念，并對(duì)完全信息下多目標(biāo)博弈均衡解的存在性及其性質(zhì)進(jìn)行了研究.

1 完全信息下的多目標(biāo)博弈模型及均衡解

1.1 完全信息下的多目標(biāo)博弈模型

本文基于字典序?qū)δＰ停∕P）進(jìn)行研究.為此，需要對(duì)每個(gè)支付目標(biāo)函數(shù)確定期望值.

下面不妨將K個(gè)支付目標(biāo)函數(shù)劃分為K個(gè)優(yōu)先等級(jí)，其中第k個(gè)支付函數(shù)fik（x）為第k個(gè)優(yōu)先級(jí).

1.1.3 基于字典序的整個(gè)博弈系統(tǒng)多目標(biāo)博弈模型 對(duì)于整個(gè)博弈系統(tǒng)，包含n個(gè)局中人以及n×K個(gè)支付函數(shù)，其字典序極小化的多目標(biāo)博弈模型（P0）如下：求x∈X，使得

1.1.4 每個(gè)局中人的多目標(biāo)博弈模型 對(duì)于局中人i，有K個(gè)支付函數(shù)，則描述其決策過(guò)程的字典序極小化多目標(biāo)博弈模型（Pi）（i＝1，2，…，n）為：求x∈X，使得

1.1.5 n個(gè)局中人合作的多目標(biāo)博弈模型 若n個(gè)局中人合作，則表明風(fēng)險(xiǎn)共擔(dān)，資源、利益共享.此時(shí)，相當(dāng)于整個(gè)博弈系統(tǒng)只有一個(gè)局中人，其字典序極小化的多目標(biāo)博弈模型（P）為：求x∈X，使得

1.2 完全信息下多目標(biāo)博弈均衡解的概念

定義1［12］設(shè)有K 維有序非負(fù)向量a（1），a（2）和a，其中：模型（Pi）和（P）可知，

定義3 模型（P0）的最優(yōu)解稱為完全信息下n個(gè)局中人多目標(biāo)博弈系統(tǒng)的偏好均衡解，偏好均衡集記為A（P0）.

定義4 模型（P）的最優(yōu)解稱為完全信息下n個(gè)局中人多目標(biāo)博弈系統(tǒng)的合作均衡解，合作均衡集記為A（P）.

2 完全信息下n人多目標(biāo)博弈系統(tǒng)字典序均衡解存在的充分條件

引理1 AL（Pi）＝A（Pi）.

由定義2易證引理1的結(jié)論，故略.

引理2表明，如果每個(gè)局中人的多目標(biāo)博弈最優(yōu)策略集的交集非空，則交集中的解即為n個(gè)局中人多目標(biāo)博弈模型的偏好均衡解.

定理1表明，如果每個(gè)局中人多目標(biāo)博弈最優(yōu)策略集的交集非空，則偏好均衡解即為完全信息下多目標(biāo)博弈系統(tǒng)的字典序均衡解.

3 完全信息下n個(gè)局中人多目標(biāo)博弈系統(tǒng)偏好均衡解的性質(zhì)

若ai（xi′）＝ai（x0），則有

因此xi′∈A（P0），所以A（Pi′）∩A（P0）≠?，與已知矛盾.若ai（xi′）＜Lai（x0），則有

定理2表明，如果模型（P0）中的偏好均衡解不是任意局中人i的字典序均衡解，則對(duì)每個(gè)局中人i，必存在局中人i0（i0≠i），i0更傾向于選擇系統(tǒng)的偏好均衡解，而不愿選擇局中人i的字典序均衡解.

4 偏好均衡解與合作均衡解的關(guān)系

引理3表明字典序具有傳遞性.

由模型（P）可知

由模型（P0）可知

從而由式（11）有

且

由式（10），（12），得

從而由式（13），（14），（16），有

又由式（13），（14），（18），得

定理3表明，若從n個(gè)局中人總體利益出發(fā)，選擇合作多目標(biāo)模型（P）所得到的合作均衡解將不劣于選擇n個(gè)局中人多目標(biāo)博弈模型（P0）所得到的偏好均衡解.

定理4表明，若偏好均衡解集與合作均衡解集不交，則存在局中人i0，他選擇模型（P0）得到的偏好均衡解將不劣于選擇模型（P）中的合作均衡解，即i0更傾向于選擇偏好均衡解.

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