例析幾何概型中的常見考點

黃遠(yuǎn)生

幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

考點1 與長度有關(guān)的幾何概型

例1 在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 .

解析 記事件[A]為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”， 如圖.

不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦. 當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長.

弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，

而OF=OC·sin30°=[12]，

由幾何概型公式得，[P（A）=12×22=12].

答案 [12]

點撥 （1）與線段長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可.（2）與曲線長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可.（3）與時間有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求時間段之比即可.（4）與不等式有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求兩實數(shù)間的距離之比即可.

考點2 與角度有關(guān)的幾何概型

例2 如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率.

解析 因為∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.

在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，

所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，

則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].

點撥 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，切不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.

考點3 與面積有關(guān)的幾何概型

例3 已知不等式組[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面區(qū)域[M]，若點[P（x，y）]在所給的平面區(qū)域[M]內(nèi)，則點[P]落在[M]的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為（ ）

A. [2-14π] B.[（3-22）π]

C.[（22-2）π] D. [2-12π]

解析 由題意知，平面區(qū)域[M]為一個三角形，且其面積為[S=a2].

設(shè)[M]的內(nèi)切圓的半徑為[r]，則[12（2a+2a）r=a2]，

解得[r=（2-1）a].

所以內(nèi)切圓的面積S內(nèi)切圓=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.

故所求概率[P=S內(nèi)切圓S=（3-22）π.]

答案 B

點撥 求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清該事件對應(yīng)的面積. 必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

考點4 與體積有關(guān)的幾何概型

例4 在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于[V3]的概率是 .

解析 如圖，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.

作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，

則PM，BN分別為△APC與△ABC的高.

所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].

又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]時，滿足條件.

設(shè)[ADAB=13]，則P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].

答案 [23]

點撥 與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式. 因此，我們可以總結(jié)如下：一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域.

考點5 生活中的幾何概型問題

例5 （1）假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，若某乘客隨機到達(dá)車站，則其等車時間不超過3分鐘的概率為 .

（2）甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.

解析 （1）要使得等車的時間不超過3分鐘，即到達(dá)的時刻應(yīng)該是圖中[A]包含的時間點.

[3分鐘][10分鐘]

故所求概率[P=A的長度S的長度=310=0.3.]

（2）設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，

則[0≤x≤24]， [0≤y≤24].

要滿足[A]，則[y-x≥1]或[x-y≥2].

[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].

[A]為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.

所求概率為[P（A）=A的面積Ω的面積]

[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]

點撥 生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：

（1）審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息.

（2）建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型.

（3）解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型.

（4）結(jié)論：將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論.endprint

幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

考點1 與長度有關(guān)的幾何概型

例1 在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 .

解析 記事件[A]為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”， 如圖.

不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦. 當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長.

弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，

而OF=OC·sin30°=[12]，

由幾何概型公式得，[P（A）=12×22=12].

答案 [12]

點撥 （1）與線段長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可.（2）與曲線長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可.（3）與時間有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求時間段之比即可.（4）與不等式有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求兩實數(shù)間的距離之比即可.

考點2 與角度有關(guān)的幾何概型

例2 如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率.

解析 因為∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.

在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，

所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，

則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].

點撥 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，切不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.

考點3 與面積有關(guān)的幾何概型

例3 已知不等式組[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面區(qū)域[M]，若點[P（x，y）]在所給的平面區(qū)域[M]內(nèi)，則點[P]落在[M]的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為（ ）

A. [2-14π] B.[（3-22）π]

C.[（22-2）π] D. [2-12π]

解析 由題意知，平面區(qū)域[M]為一個三角形，且其面積為[S=a2].

設(shè)[M]的內(nèi)切圓的半徑為[r]，則[12（2a+2a）r=a2]，

解得[r=（2-1）a].

所以內(nèi)切圓的面積S內(nèi)切圓=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.

故所求概率[P=S內(nèi)切圓S=（3-22）π.]

答案 B

點撥 求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清該事件對應(yīng)的面積. 必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

考點4 與體積有關(guān)的幾何概型

例4 在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于[V3]的概率是 .

解析 如圖，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.

作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，

則PM，BN分別為△APC與△ABC的高.

所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].

又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]時，滿足條件.

設(shè)[ADAB=13]，則P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].

答案 [23]

點撥 與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式. 因此，我們可以總結(jié)如下：一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域.

考點5 生活中的幾何概型問題

例5 （1）假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，若某乘客隨機到達(dá)車站，則其等車時間不超過3分鐘的概率為 .

（2）甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.

解析 （1）要使得等車的時間不超過3分鐘，即到達(dá)的時刻應(yīng)該是圖中[A]包含的時間點.

[3分鐘][10分鐘]

故所求概率[P=A的長度S的長度=310=0.3.]

（2）設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，

則[0≤x≤24]， [0≤y≤24].

要滿足[A]，則[y-x≥1]或[x-y≥2].

[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].

[A]為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.

所求概率為[P（A）=A的面積Ω的面積]

[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]

點撥 生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：

（1）審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息.

（2）建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型.

（3）解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型.

（4）結(jié)論：將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論.endprint

幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān). 在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.

考點1 與長度有關(guān)的幾何概型

例1 在半徑為1的圓內(nèi)一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內(nèi)接的等邊三角形邊長的概率是 .

解析 記事件[A]為“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”， 如圖.

不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦. 當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長.

弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，

而OF=OC·sin30°=[12]，

由幾何概型公式得，[P（A）=12×22=12].

答案 [12]

點撥 （1）與線段長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式求解，直接利用兩線段的長度之比即可.（2）與曲線長度有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求曲線的長度之比即可.（3）與時間有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求時間段之比即可.（4）與不等式有關(guān)的幾何概型：利用幾何概型公式，求兩實數(shù)間的距離之比即可.

考點2 與角度有關(guān)的幾何概型

例2 如圖所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高[AD=3]，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率.

解析 因為∠B=60°，∠C=45°，所以∠BAC=75°.

在Rt△ABD中，[AD=3]，∠B=60°，

所以[BD=ABtan60°=1]，∠BAD=30°.

記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，

則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生.

由幾何概型的概率公式，得[P（N）=30°75°=25].

點撥 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，切不可用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段.

考點3 與面積有關(guān)的幾何概型

例3 已知不等式組[x-y≥0，x+y≥0，x≤a（a>0）]表示平面區(qū)域[M]，若點[P（x，y）]在所給的平面區(qū)域[M]內(nèi)，則點[P]落在[M]的內(nèi)切圓內(nèi)的概率為（ ）

A. [2-14π] B.[（3-22）π]

C.[（22-2）π] D. [2-12π]

解析 由題意知，平面區(qū)域[M]為一個三角形，且其面積為[S=a2].

設(shè)[M]的內(nèi)切圓的半徑為[r]，則[12（2a+2a）r=a2]，

解得[r=（2-1）a].

所以內(nèi)切圓的面積S內(nèi)切圓=πr2=π[（[2]-1）·a]2=（3-2）πa2.

故所求概率[P=S內(nèi)切圓S=（3-22）π.]

答案 B

點撥 求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清該事件對應(yīng)的面積. 必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.

考點4 與體積有關(guān)的幾何概型

例4 在體積為V的三棱錐S-ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S-APC的體積大于[V3]的概率是 .

解析 如圖，三棱錐S-ABC的高與三棱錐S-APC的高相同.

作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，

則PM，BN分別為△APC與△ABC的高.

所以[VS-APCVS-ABC=S△APCS△ABC=PMBN].

又[PMBN=APAB]，所以[APAB>13]時，滿足條件.

設(shè)[ADAB=13]，則P在BD上，所求的概率[P=BDBA=23].

答案 [23]

點撥 與體積有關(guān)的幾何概型是與面積有關(guān)的幾何概型類似的，只是將題中的幾何概型轉(zhuǎn)化為立體模式. 因此，我們可以總結(jié)如下：一個具體問題能否應(yīng)用幾何概型概率公式，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化；也可根據(jù)實際問題的具體情況，選取合適的參數(shù)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的一個點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域.

考點5 生活中的幾何概型問題

例5 （1）假設(shè)車站每隔10分鐘發(fā)一班車，若某乘客隨機到達(dá)車站，則其等車時間不超過3分鐘的概率為 .

（2）甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內(nèi)到達(dá)該碼頭的時刻是等可能的.如果甲船停泊時間為1h，乙船停泊時間為2h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.

解析 （1）要使得等車的時間不超過3分鐘，即到達(dá)的時刻應(yīng)該是圖中[A]包含的時間點.

[3分鐘][10分鐘]

故所求概率[P=A的長度S的長度=310=0.3.]

（2）設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，

則[0≤x≤24]， [0≤y≤24].

要滿足[A]，則[y-x≥1]或[x-y≥2].

[∴A={（x，y）|y-x≥1]或[x-y≥2]，[y∈[0，24]}].

[A]為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合Ω為邊長是24的正方形及其內(nèi)部.

所求概率為[P（A）=A的面積Ω的面積]

[=（24-1）2×12+（24-2）2×12242=506.5576≈0.88.]

點撥 生活中的幾何概型度量區(qū)域的構(gòu)造方法：

（1）審題：通過閱讀題目，提煉相關(guān)信息.

（2）建模：利用相關(guān)信息的特征，建立概率模型.

（3）解模：求解建立的數(shù)學(xué)模型.

（4）結(jié)論：將解出的數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為題目要求的結(jié)論.endprint