自然且合理：高中數(shù)學(xué)課堂追求

王慕華

數(shù)學(xué)課程《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！备咧袛?shù)學(xué)教科書(shū)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法證明，許多概念的形成過(guò)程均為水到渠成、合情合理。這就要求教師在課堂教學(xué)中必須順應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，追求課堂教學(xué)的“自然且合理”。

范題解讀

師：在初中我們學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，它是怎樣定義的？

生1：是在直角三角形中定義的，=，=，=。

師：為什么要這樣定義？（目的是要揭示概念的本質(zhì)。）當(dāng)銳角 是一個(gè)定角時(shí)，這三個(gè)比值如何？

生2：是定值吧?。ê芏鄬W(xué)生猶豫，不敢確定。）

師：當(dāng)銳角α是定值時(shí)，以角α的兩邊為邊，能構(gòu)造多少個(gè)直角三角形？

生3：無(wú)數(shù)個(gè)！

師：這無(wú)數(shù)個(gè)三角形有什么關(guān)系？

生4：都是相似三角形。

生5：這些直角三角形都相似，從而在每個(gè)直角三角形中的類似上面的對(duì)應(yīng)比值都是相等的。也就是說(shuō)這三個(gè)比值是定值，不隨邊長(zhǎng)的變化而變化。

師：對(duì)！（教師動(dòng)畫演示，驗(yàn)證生2所說(shuō)的數(shù)學(xué)事實(shí)。）由于有“比值不變”這樣的規(guī)律，我們才定義了“銳角三角函數(shù)”的概念。進(jìn)而再問(wèn)：已經(jīng)把角推廣到了任意角，能否定義任意角的三角函數(shù)？

生6：可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到直角三角形中去定義。無(wú)論角α的終邊落在哪兒，都能構(gòu)造一個(gè)直角三角形，可以仿照銳角三角函數(shù)的定義方法，定義任意角α的三角函數(shù)。（根據(jù)學(xué)生的描述，教師畫圖演示。）

師：如果角α的終邊與始邊垂直呢？

生6：這個(gè)無(wú)法定義tanα了。

師：我們是怎樣研究“任意角”的？

生7：在平面直角坐標(biāo)系中，可以借助平面直角坐標(biāo)系來(lái)定義吧。（學(xué)生思考討論）在平面直角坐標(biāo)系中借助點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義，只要在角的終邊OB上任取一點(diǎn)P（x，y），類似于銳角三角函數(shù)，可以定義=，=，=。

師：為什么要這樣定義？（學(xué)生討論。）

生8：因?yàn)闊o(wú)論點(diǎn)P在OB的什么位置，由相似三角形的性質(zhì)可知比值、、總為三個(gè)定值，因此可以用這三個(gè)比值定義任意角α的三個(gè)三角函數(shù)。

師：很不錯(cuò)?。▌?dòng)畫演示。）能否把問(wèn)題變得更為簡(jiǎn)單呢？

生8：在坐標(biāo)系上作單位圓，此時(shí)比值中的OP的長(zhǎng)度為1，三個(gè)比值變?yōu)閥，x，。

最后老師點(diǎn)題，指出引入單位圓使得這種對(duì)應(yīng)更加明顯，同時(shí)為學(xué)習(xí)三角函數(shù)線做出準(zhǔn)備。本堂課教學(xué)過(guò)程自然流暢，每一步提問(wèn)合符情理，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)目標(biāo)較為明確，達(dá)到了引導(dǎo)學(xué)生感悟和揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的。

提出問(wèn)題應(yīng)自然且合理

數(shù)學(xué)的核心是不斷地解決問(wèn)題，而提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的前提。由于提出問(wèn)題在思維的主動(dòng)性與深刻性、在對(duì)知識(shí)本質(zhì)和結(jié)構(gòu)的理解與把握等方面比解決問(wèn)題有著更高的要求，怎樣才能自然且合理地提出問(wèn)題？第一，搞清楚數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)自哪里；第二，要搞清楚數(shù)學(xué)問(wèn)題該由誰(shuí)提出，通常情況下，理想的做法是教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題產(chǎn)生的情境，由學(xué)生提出問(wèn)題；或教師提出一個(gè)初始問(wèn)題、元問(wèn)題，再由學(xué)生提出要解決的具體問(wèn)題；第三，搞清楚問(wèn)題產(chǎn)生與形成的思維合理性在哪里，如學(xué)了“橢圓的定義”后，教師上課時(shí)自然地提出這樣的問(wèn)題：能不能由定義建立橢圓方程？應(yīng)該如何建立？或者讓學(xué)生自己提出其他合理的問(wèn)題。

解決問(wèn)題應(yīng)自然且合理

問(wèn)題解決一貫是高中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)中最為重視、也是做得較好的一個(gè)環(huán)節(jié)。實(shí)施新課程后，教師課堂教學(xué)的過(guò)程意識(shí)、探究意識(shí)明顯加強(qiáng)。但從更高的要求看，有些教師平時(shí)的課堂教學(xué)還存在一些問(wèn)題：較重視傳授解決問(wèn)題的方法而輕分析為什么要用這種方法、怎樣想到用這種方法；在有效地圍繞著問(wèn)題的本質(zhì)展開(kāi)討論和探究上做得還有待改進(jìn)；解決問(wèn)題的方法有時(shí)不太自然且合理。新課程課堂教學(xué)則要求：一要抓住問(wèn)題本質(zhì)，搞清楚知識(shí)形成與發(fā)展的背景及其與其他知識(shí)的聯(lián)系；二要順應(yīng)知識(shí)形成與發(fā)展的軌跡，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，突出思維主線；三要揭示思維策略與方法的合理性與必然性。比如，任意角的三角函數(shù)的本質(zhì)是以角為自變量的函數(shù)，其概念建立的難點(diǎn)是轉(zhuǎn)換思考問(wèn)題的角度，突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限，把原來(lái)銳角三角函數(shù)定義中的三角形邊的長(zhǎng)度比，轉(zhuǎn)換為適用于任意角三角函數(shù)的坐標(biāo)比。又如，“函數(shù)”的概念比較抽象難理解，在課堂中可把函數(shù)類比為“豆?jié){機(jī)”，一端送入大豆（自變量），從另一端出來(lái)豆?jié){（函數(shù)值），只不過(guò)在一般情況下，函數(shù)輸入的是“數(shù)”，輸出的也是“數(shù)”。這樣學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解也就具體直觀了。

拓展問(wèn)題應(yīng)自然且合理

一個(gè)問(wèn)題解決之后，如何引導(dǎo)學(xué)生自然且合理地拓展問(wèn)題？問(wèn)題引領(lǐng)教學(xué)，不僅應(yīng)體現(xiàn)在課堂教學(xué)之初，也應(yīng)體現(xiàn)和貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)。只有在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題來(lái)不斷地引導(dǎo)課堂教學(xué)，才能增加數(shù)學(xué)教學(xué)的思維含量。除了自然地合理地提出問(wèn)題、解決問(wèn)題外，高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)還應(yīng)要讓數(shù)學(xué)思維在教學(xué)中自然且合理地流淌，正如人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》主編寄語(yǔ)中所說(shuō)的“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過(guò)程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味”，高中數(shù)學(xué)課堂必然要努力創(chuàng)造自然、合理、高效的教學(xué)。

（作者單位：福建省龍巖市第二中學(xué)）