探究式拉格朗日中值定理的論證

秦玉琨 趙雪華

【摘要】拉格朗日中值定理也稱微分中值定理，在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位.本文主要是利用探究法借助繪圖軟件觀察總結(jié)得出拉格朗日中值定理的結(jié)論，進(jìn)而論證該定理.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;探究式;繪圖軟件

拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的重要定理，它與羅爾定理、柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理.內(nèi)容上，它是羅爾定理的推廣，也是聯(lián)系函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的橋梁.該定理的應(yīng)用不僅在高等數(shù)學(xué)方面，它還廣泛地應(yīng)用于多個學(xué)科領(lǐng)域中，如數(shù)論、群論、流體力學(xué)等.拉格朗日中值定理是理工科院校高等數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，也是一個重點、難點內(nèi)容.重點是因為它是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在進(jìn)行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用;難點在于定理結(jié)論的得出以及推導(dǎo)論證的方法，學(xué)生不容易理解掌握.基于這種情況，本文提出了與傳統(tǒng)教學(xué)法不同的探究式教學(xué)法講解學(xué)習(xí)拉格朗日中值定理.

一、拉格朗日中值定理的傳統(tǒng)式講解法

傳統(tǒng)式講解法是先給出定理內(nèi)容，再進(jìn)行定理條件分析，最后論證定理結(jié)論.

為了便于說明，我們先給出羅爾定理和拉格朗日定理.

羅爾定理 如果函數(shù) f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），那么在 （a，b） 內(nèi)至少存在一點a<ξ

拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b） 內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點a<ξ

許多高等數(shù)學(xué)教材都是在給出羅爾定理內(nèi)容、幾何含義及證明后，提出如果去掉羅爾定理中的第三個條件，即區(qū)間兩端點函數(shù)值相等，會得到一個新的定理即拉格朗日中值定理，然后是拉格朗日定理的幾何圖形表示，證法討論，構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行定理證明.這種先給出定理再根據(jù)定理條件畫幾何圖形進(jìn)行分析論證的過程，不符合從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的認(rèn)知過程，學(xué)生只能是被動地接受，限制了學(xué)生的思考探究，也不利于學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的調(diào)動，使學(xué)生很難參與到這樣一堂純數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)中來.直接給出結(jié)論是灌輸式的教法，不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng).下面介紹一種探究式的教學(xué)法，這種方法可以鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.

二、拉格朗日中值定理的探究式教學(xué)法

本文采用探究式教學(xué)法，其具體研究方法是先提出問題，再進(jìn)行探究實驗，接下來進(jìn)行歸納總結(jié)，最后論證結(jié)論.

1.提出問題

首先讓學(xué)生回憶羅爾定理的內(nèi)容及幾何含義.學(xué)生思考回答后，教師可以利用多媒體在屏幕上展示羅爾定理內(nèi)容及幾何含義的圖形.由羅爾定理的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)知道，若定理的三個條件全部滿足，則在函數(shù)曲線上至少存在一點C，過C點的切線與區(qū)間兩端點A，B連成的割線平行.這時可引導(dǎo)學(xué)生觀察羅爾定理的幾何圖像提出問題：如果去掉定理中的第三個條件，即區(qū)間兩端點函數(shù)值相等，是否還有切線與曲線兩端點連成的割線平行？這時學(xué)生很自然地會想到去掉兩端點相等的條件限制，那么端點A和B可能等高，也可能不等高.等高時是羅爾定理，不等高時結(jié)論會有什么變化？這個問題的提出可以引發(fā)學(xué)生的探究興趣，但準(zhǔn)確得出結(jié)論還有很大的困難，讓學(xué)生帶著疑問去觀察接下來的動態(tài)演示的數(shù)學(xué)實驗可以給學(xué)生形象直觀的認(rèn)識，進(jìn)而突破難點.

2.探究實驗

具體做法是：利用繪圖軟件，任選一個滿足羅爾定理條件（1）（2）的具體函數(shù)，繪制該函數(shù)圖像，在這條連續(xù)光滑的曲線上任意截取兩點A，B，取這兩點的橫坐標(biāo)構(gòu)造區(qū)間a，b，連接AB得到曲線的一條割線，在曲線弧AB上任取一點C，過C點作出曲線的切線和割線AB的平行線，如圖所示.接下來只需將點C從一個端點沿曲線AB移到另一個端點，觀察過C點的兩條線能否重合;若重合，次數(shù)是不是唯一的.可以改變不同端點值，重復(fù)實驗幾次.這一過程可以先由教師示范，學(xué)生觀察.然后邀請學(xué)生自己改變曲線端點值，親自動手實驗.有條件的話，最好將學(xué)生分成不同的組，每組取可以取不同的函數(shù)演示操作.這樣既增加了學(xué)生參與的人數(shù)，調(diào)動了學(xué)習(xí)積極性，同時也可以在有限的時間里讓學(xué)生看到更多的不同的實驗結(jié)果，增加學(xué)生合作交流的機會，培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識.

探究實驗操作示意圖

3.歸納總結(jié)

通過實驗的直觀觀察，學(xué)生不難總結(jié)得出這樣的結(jié)論：對于自己所取的函數(shù)曲線AB，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一點，過該點的切線與割線AB平行.這時教師可以進(jìn)一步提出問題：實驗不管取多少函數(shù)都是某個具體的函數(shù)，結(jié)論具有特殊性，但實驗結(jié)論給我們很好的啟示.能否將結(jié)論推廣到滿足條件的一般函數(shù)？引導(dǎo)學(xué)生深入思考.讓學(xué)生由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，掌握由特殊到一般的研究方法.進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生論證所有得用數(shù)學(xué)的推理證明，可以先設(shè)一個命題：如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間a，b上連續(xù);（2）在開區(qū)間（a，b） 內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點a<ξ

4.論證結(jié)論

下面對這一命題進(jìn)行證法分析.對這一命題的證明過程，實際上就是拉格朗日中值定理的證明過程，主要把握利用羅爾定理，構(gòu)造符合該定理的輔助函數(shù).輔助函數(shù)的構(gòu)造方法有很多，這里就不一一介紹了，在探究式的基礎(chǔ)上，介紹給學(xué)生一種較易想到的輔助函數(shù)構(gòu)造方法.由結(jié)論出發(fā)，要想f′ξ=f（b）-f（a）b-a→f′ξ-f（b）-f（a）b-a=0，令φ′（x）=f′ξ-f（b）-f（a）b-a，則需φ′（x）=0，這時可以提出問題：使φ′（x）=0得函數(shù)是常函數(shù)，即φ（x）=C，可取C=0，從而φ（x）=f（x）-f（b）-f（a）b-ax，不難驗證φ（a）=bf（a）-af（b）b-a=φ（b）滿足羅爾定理條件.

證：作輔助函數(shù)φ（x）=f（x）-f（b）-f（a）b-ax，由命題條件可推得φ（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b） 內(nèi)可導(dǎo)，且φ（a）=bf（a）-af（b）b-a=φ（b），即φ（x）滿足羅爾定理的三個條件，則在（a，b） 內(nèi)至少存在一點a<ξ

這樣學(xué)生經(jīng)過探究實驗，歸納推理，得出結(jié)論：該命題是真命題.教師這時可以告訴學(xué)生這個證明過的真命題就是拉格朗日中值定理.

利用探究式學(xué)習(xí)知識時，可以適當(dāng)引入數(shù)學(xué)常識的一些相關(guān)知識，既豐富了學(xué)生的知識面，也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)情感.比如在講解拉格朗日中值定理時，可以介紹數(shù)學(xué)家拉格朗日的生平貢獻(xiàn)，還可以引入和實際相關(guān)的問題，插入一些視頻文件，豐富課堂教學(xué).筆者曾在課堂教學(xué)中給學(xué)生介紹衛(wèi)星發(fā)射的最佳位置拉格朗日點，以及我國發(fā)射嫦娥系列衛(wèi)星的新聞視頻，效果很好.

三、結(jié) 語

授人以魚不如授人以漁.探究式的研究方法與傳統(tǒng)方法相比，能更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，是今后教學(xué)中更值得研究探討提倡的方法，但是整個設(shè)計過程要適合學(xué)生的實際能力，對教師素質(zhì)提出了更高的要求，要求教師要在教學(xué)過程中不斷探索、反思，努力提升自己的專業(yè)技能.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊）.高等教育出版社，2007年4月第6版：129-131.

[2] 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)（第一冊）.高等教育出版社，1995年3月第3版：148-151.

[3] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（上冊）.高等教育出版社，1992年6月第3版：203-207.