抽象函數(shù)試題研究

劉光東

抽象函數(shù)，一般理解為沒有給出解析式，間接給出函數(shù)的性質(zhì)的一種函數(shù)的給出形式.下面以近年的高考試題為例，探討抽象函數(shù)的一些學習的方法.

1常見的抽象函數(shù)性質(zhì)

1.1對稱

形如f（x+a）=f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱軸為x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱中心為a+b2，0.

例1（2012年遼寧省高考11題）設函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3.又函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零點個數(shù)為

A.5B.6C.7D.8

簡解利用函數(shù)f（x）具有對稱性：關于y軸和直線x=1對稱解決.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期為T=a-b；另外還有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期為2a.

例2（2012年山東省高考8題）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x<-1時，f（x）=

-（x+2）2，當-1≤x<3時，f（x）=x.則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

簡解答案為B.

2常見抽象函數(shù)問題解法

研究抽象函數(shù)，可以考慮特殊函數(shù)能使問題簡單化.

例3（2014年新課標卷二Ⅱ15題）已知偶函數(shù)fx在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0.若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.

簡解可以構造特殊函數(shù)，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年遼寧省高考12題）已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：

①f（0）=f（1）=0；

②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

簡解

只要借助二次函數(shù)f（x）=x2-x，分別取x=0，y=12即可；此處②式能取等號，恰好要求的式子也正好取到等號，利用變化的觀點，只需略微調(diào)整一下函數(shù)的頂點即可.

例5已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：

①f（2）=0；②x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f（x）在[8，10]上單調(diào)遞增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=-8.

以上命題中所有正確命題的序號為.

簡解①取x=-2，原式化為f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，從而f（x+4）=f（x），f（x）的周期為4，由于函數(shù)f（x）又是偶函數(shù)，所以x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，正確.

③f（x）的周期為4，函數(shù)y=f（x）在[8，10]上的單調(diào)性與當x∈[0，2]時y=f（x）單調(diào)性相同，應該為減，錯誤.

④當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的兩根為之和0；由于周期為4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2則x1+x2=-8，正確.

抽象函數(shù)涉及題型非常多，對學生的能力要求也比較高，這里只是對簡單的問題進行了解析，只是問題一角.

抽象函數(shù)，一般理解為沒有給出解析式，間接給出函數(shù)的性質(zhì)的一種函數(shù)的給出形式.下面以近年的高考試題為例，探討抽象函數(shù)的一些學習的方法.

1常見的抽象函數(shù)性質(zhì)

1.1對稱

形如f（x+a）=f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱軸為x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱中心為a+b2，0.

例1（2012年遼寧省高考11題）設函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3.又函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零點個數(shù)為

A.5B.6C.7D.8

簡解利用函數(shù)f（x）具有對稱性：關于y軸和直線x=1對稱解決.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期為T=a-b；另外還有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期為2a.

例2（2012年山東省高考8題）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x<-1時，f（x）=

-（x+2）2，當-1≤x<3時，f（x）=x.則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

簡解答案為B.

2常見抽象函數(shù)問題解法

研究抽象函數(shù)，可以考慮特殊函數(shù)能使問題簡單化.

例3（2014年新課標卷二Ⅱ15題）已知偶函數(shù)fx在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0.若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.

簡解可以構造特殊函數(shù)，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年遼寧省高考12題）已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：

①f（0）=f（1）=0；

②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

簡解

只要借助二次函數(shù)f（x）=x2-x，分別取x=0，y=12即可；此處②式能取等號，恰好要求的式子也正好取到等號，利用變化的觀點，只需略微調(diào)整一下函數(shù)的頂點即可.

例5已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：

①f（2）=0；②x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f（x）在[8，10]上單調(diào)遞增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=-8.

以上命題中所有正確命題的序號為.

簡解①取x=-2，原式化為f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，從而f（x+4）=f（x），f（x）的周期為4，由于函數(shù)f（x）又是偶函數(shù)，所以x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，正確.

③f（x）的周期為4，函數(shù)y=f（x）在[8，10]上的單調(diào)性與當x∈[0，2]時y=f（x）單調(diào)性相同，應該為減，錯誤.

④當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的兩根為之和0；由于周期為4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2則x1+x2=-8，正確.

抽象函數(shù)涉及題型非常多，對學生的能力要求也比較高，這里只是對簡單的問題進行了解析，只是問題一角.

抽象函數(shù)，一般理解為沒有給出解析式，間接給出函數(shù)的性質(zhì)的一種函數(shù)的給出形式.下面以近年的高考試題為例，探討抽象函數(shù)的一些學習的方法.

1常見的抽象函數(shù)性質(zhì)

1.1對稱

形如f（x+a）=f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱軸為x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函數(shù)具有對稱性，對稱中心為a+b2，0.

例1（2012年遼寧省高考11題）設函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且當x∈[0，1]時，f（x）=x3.又函數(shù)g（x）=|xcos（πx）|，則函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零點個數(shù)為

A.5B.6C.7D.8

簡解利用函數(shù)f（x）具有對稱性：關于y軸和直線x=1對稱解決.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期為T=a-b；另外還有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期為2a.

例2（2012年山東省高考8題）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x<-1時，f（x）=

-（x+2）2，當-1≤x<3時，f（x）=x.則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

簡解答案為B.

2常見抽象函數(shù)問題解法

研究抽象函數(shù)，可以考慮特殊函數(shù)能使問題簡單化.

例3（2014年新課標卷二Ⅱ15題）已知偶函數(shù)fx在[0，+∞）單調(diào)遞減，f（2）=0.若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.

簡解可以構造特殊函數(shù)，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年遼寧省高考12題）已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：

①f（0）=f（1）=0；

②對所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若對所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

簡解

只要借助二次函數(shù)f（x）=x2-x，分別取x=0，y=12即可；此處②式能取等號，恰好要求的式子也正好取到等號，利用變化的觀點，只需略微調(diào)整一下函數(shù)的頂點即可.

例5已知定義在R上的偶函數(shù)滿足：f（x+4）=f（x）+f（2），且當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，給出以下四個命題：

①f（2）=0；②x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸；

③函數(shù)y=f（x）在[8，10]上單調(diào)遞增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2，則x1+x2=-8.

以上命題中所有正確命題的序號為.

簡解①取x=-2，原式化為f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，從而f（x+4）=f（x），f（x）的周期為4，由于函數(shù)f（x）又是偶函數(shù)，所以x=-4為函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，正確.

③f（x）的周期為4，函數(shù)y=f（x）在[8，10]上的單調(diào)性與當x∈[0，2]時y=f（x）單調(diào)性相同，應該為減，錯誤.

④當x∈[0，2]時，y=f（x）單調(diào)遞減，且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的兩根為之和0；由于周期為4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的兩根為x1，x2則x1+x2=-8，正確.

抽象函數(shù)涉及題型非常多，對學生的能力要求也比較高，這里只是對簡單的問題進行了解析，只是問題一角.