一類數(shù)列求和實驗模型的構(gòu)建與思考

李世臣+張素勤

人教版八年級數(shù)學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設(shè)計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數(shù)學模型加以解決，從而凸顯依靠數(shù)學方法分析問題的優(yōu)越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數(shù)學問題晦澀難懂時，可以構(gòu)建貼近學生生活實際的實驗模型，將數(shù)學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經(jīng)驗很容易體會其中的代數(shù)式之間的等量關(guān)系，進而深化對數(shù)學問題本質(zhì)的認識.受該素材的啟發(fā)，筆者對等差數(shù)列、等比數(shù)列及其生成的數(shù)列前n項求和問題進行了探究，構(gòu)建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數(shù)學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結(jié)果進行正確的判斷.

1等比數(shù)列問題

正數(shù)等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數(shù)列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發(fā)現(xiàn)我們很容易得到等比數(shù)列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構(gòu)造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據(jù)生活經(jīng)驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關(guān)系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數(shù)學推導.和人教版高中數(shù)學（必修5）中“等比數(shù)列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數(shù)學思想.

2等差數(shù)列問題

正數(shù)等差數(shù)列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數(shù)列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構(gòu)造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數(shù)求和的實驗模型，運用了重算原理，體現(xiàn)了整體思想，使得冰冷的數(shù)學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現(xiàn)了在數(shù)學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數(shù)學驗證和探究活動.由實際問題構(gòu)建數(shù)學模型和由數(shù)學問題構(gòu)建實驗模型都能有效的幫助學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并將數(shù)學滲透到生活當中的數(shù)學意識.在數(shù)學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發(fā)學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數(shù)學問題，從而樹立正確的數(shù)學觀，逐步培養(yǎng)敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創(chuàng)造力.

人教版八年級數(shù)學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設(shè)計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數(shù)學模型加以解決，從而凸顯依靠數(shù)學方法分析問題的優(yōu)越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數(shù)學問題晦澀難懂時，可以構(gòu)建貼近學生生活實際的實驗模型，將數(shù)學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經(jīng)驗很容易體會其中的代數(shù)式之間的等量關(guān)系，進而深化對數(shù)學問題本質(zhì)的認識.受該素材的啟發(fā)，筆者對等差數(shù)列、等比數(shù)列及其生成的數(shù)列前n項求和問題進行了探究，構(gòu)建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數(shù)學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結(jié)果進行正確的判斷.

1等比數(shù)列問題

正數(shù)等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數(shù)列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發(fā)現(xiàn)我們很容易得到等比數(shù)列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構(gòu)造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據(jù)生活經(jīng)驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關(guān)系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數(shù)學推導.和人教版高中數(shù)學（必修5）中“等比數(shù)列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數(shù)學思想.

2等差數(shù)列問題

正數(shù)等差數(shù)列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數(shù)列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構(gòu)造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數(shù)求和的實驗模型，運用了重算原理，體現(xiàn)了整體思想，使得冰冷的數(shù)學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現(xiàn)了在數(shù)學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數(shù)學驗證和探究活動.由實際問題構(gòu)建數(shù)學模型和由數(shù)學問題構(gòu)建實驗模型都能有效的幫助學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并將數(shù)學滲透到生活當中的數(shù)學意識.在數(shù)學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發(fā)學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數(shù)學問題，從而樹立正確的數(shù)學觀，逐步培養(yǎng)敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創(chuàng)造力.

人教版八年級數(shù)學課本在分式加減單元之后的閱讀與思考欄目安排了《容器中的水能倒完嗎》的典型素材，教材這樣設(shè)計的目的在于滲透建模思想：即對于一些通過實驗難以探尋答案的問題，可以排除操作因素，不計干擾變量，將實際問題抽象為數(shù)學模型加以解決，從而凸顯依靠數(shù)學方法分析問題的優(yōu)越性.然而，該素材同時還給我們啟示：當遇到的數(shù)學問題晦澀難懂時，可以構(gòu)建貼近學生生活實際的實驗模型，將數(shù)學問題生活化、可視化、操作化、趣味化，讓學生借助已有的生活經(jīng)驗很容易體會其中的代數(shù)式之間的等量關(guān)系，進而深化對數(shù)學問題本質(zhì)的認識.受該素材的啟發(fā)，筆者對等差數(shù)列、等比數(shù)列及其生成的數(shù)列前n項求和問題進行了探究，構(gòu)建了兩個具有一般意義的實驗模型.即使對于不會進行數(shù)學推導的小學生，也能輕而易舉利用模型對結(jié)果進行正確的判斷.

1等比數(shù)列問題

正數(shù)等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q（q≠1），則數(shù)列{an}的前n項和為

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

實驗模型一個裝有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有總水量減去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上發(fā)現(xiàn)我們很容易得到等比數(shù)列前n項求和的一種化簡方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由實驗模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

構(gòu)造實驗：一個裝有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

顯然，根據(jù)生活經(jīng)驗，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1減去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

這樣，前n次倒出的水量總和等于總水量減去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的關(guān)系式，將等式左邊的每一項進行拆分，可以很快完成前n項和的數(shù)學推導.和人教版高中數(shù)學（必修5）中“等比數(shù)列的前n項和”使用印度國王棋盤放麥粒的傳說導入相比，顯得更清新、自然、有趣.既提供了化簡方法，又滲透了數(shù)學思想.

2等差數(shù)列問題

正數(shù)等差數(shù)列{an}，首項為a1，公差為d（d≠0），則數(shù)列1anan+1的前n項和為

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

實驗模型一個裝有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易發(fā)現(xiàn)，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量總和等于容器中總水量減去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

將等式左邊的每一項拆分化簡為：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由實驗模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

構(gòu)造實驗：一個裝有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

顯然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1減去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.這樣前n次倒出的水量總和等于容器中原有總水量減去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的兩類級數(shù)求和的實驗模型，運用了重算原理，體現(xiàn)了整體思想，使得冰冷的數(shù)學生活化.由于實際背景可以變成剪紙、截線等形式，因此實現(xiàn)了在數(shù)學思維活動的參與下，以人人參與實際操作為特征的數(shù)學驗證和探究活動.由實際問題構(gòu)建數(shù)學模型和由數(shù)學問題構(gòu)建實驗模型都能有效的幫助學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學生從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學，并將數(shù)學滲透到生活當中的數(shù)學意識.在數(shù)學教學中融入模型化思想，除了給學生一種直觀的感受外，更重要的是能夠激發(fā)學生的學習興趣，促使學生獨立思考、自覺運用建模的方法解決數(shù)學問題，從而樹立正確的數(shù)學觀，逐步培養(yǎng)敏銳的洞察力、豐富的想象力和非凡的創(chuàng)造力.