數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的困難、對(duì)策與價(jià)值

詹欣豪+何小亞

1前言

數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的數(shù)學(xué)演繹證明方法.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出：“數(shù)學(xué)歸納法這個(gè)方法很重要，對(duì)學(xué)好高等數(shù)學(xué)有幫助，對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的性質(zhì)也有裨益，同時(shí)可以幫助我們深思.”[1]法國數(shù)學(xué)家H.Poincare同樣十分推崇數(shù)學(xué)歸納法，稱它是“數(shù)學(xué)中全部優(yōu)點(diǎn)的根源”，并認(rèn)為這個(gè)有限到無限的飛躍，既超越了經(jīng)驗(yàn)的歸納，也超越了純粹的演繹.

數(shù)學(xué)歸納法有許多形式，比如第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法、倒推數(shù)學(xué)歸納法，等等.在基礎(chǔ)教育階段，只要求學(xué)生學(xué)習(xí)第一數(shù)學(xué)歸納法.一直以來，世界各國的課程都將數(shù)學(xué)歸納法列為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容：

2003年，我國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生：“了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.”[2]

1989年，全美數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)（NCTM）要求學(xué)生更加關(guān)注數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)樗请x散數(shù)學(xué)中很重要的一種證明方法[3].2000年，NCTM在其修訂的標(biāo)準(zhǔn)中，要求學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法原理去證明一些特定類型的題目，因?yàn)榉磸?fù)演算和遞推方法的應(yīng)用很廣泛[4].

2009年，日本高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)要求學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法，用其來證明簡(jiǎn)單的命題，并活用于事物現(xiàn)象的考察[5].

Bourbaki指出，單是驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的逐步邏輯推導(dǎo)，卻沒有試圖洞察獲取這一連串推導(dǎo)的背后意念，并不算理解了那個(gè)數(shù)學(xué)證明.

數(shù)學(xué)歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來，共經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間.與數(shù)學(xué)歸納法漫長的發(fā)展過程相比，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用似乎顯得駕輕就熟.這背后，學(xué)生究竟是只知道“兩步一結(jié)論”的程式化操作，還是真正理解和掌握了原理呢？

2數(shù)學(xué)歸納法難在何處

數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)是一個(gè)世界難題，中外的研究[6—8]表明，學(xué)生在理解數(shù)學(xué)歸納法時(shí)面臨著許多心理困難，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）分不清數(shù)學(xué)歸納法與歸納法；

（2）難以認(rèn)同把無限步的三段論推理轉(zhuǎn)化為有限步的驗(yàn)證；

（3）不理解“假設(shè)結(jié)論成立，然后再去證明結(jié)論成立”；

（4）不理解兩個(gè)步驟的必要性；

（5）“奠基”的初值與歸納假設(shè)要求的初值脫節(jié)；

（6）遞推關(guān)系證明的數(shù)學(xué)困難.

其中，尤以（3）為甚，學(xué)生面臨的心理困難是：第二步的證明過程整個(gè)建立在一個(gè)命題p（k）上，而它本身未被預(yù)先證明，并且在推理過程中不加以證明.實(shí)際上，該心理困難與理解“蘊(yùn)含關(guān)系”存在密切的關(guān)系，其本質(zhì)在于：證明所關(guān)注的不是p（k）和p（k+1）是否分別成立，而是它們之間是否存有蘊(yùn)含關(guān)系，即該蘊(yùn)含關(guān)系的真值是否為真與p（k）和p（k+1）是否成立沒有關(guān)系.

3理解困難的原因

3.1演繹證明思維方式的負(fù)遷移

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法之前所進(jìn)行的論證，其證明思路和表達(dá)方式都類似于日常生活中的推理，即：①從某個(gè)事實(shí)出發(fā)，去證明另一個(gè)事實(shí)；②從某個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過與實(shí)際情況的比較去證明它.而數(shù)學(xué)歸納法是一種全新的、與以往完全不同的演繹證明方式，許多學(xué)生也許從來沒有想過可以這樣來說明一件事情的真實(shí)性，這也叫證明嗎？[9]

3.2數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)無“法”可依

圖1

無“法”可依體現(xiàn)在兩個(gè)方面：①數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上是基于自然數(shù)的歸納公理，然而中學(xué)教材中并沒有皮亞諾公理或最小數(shù)原理作前提；②數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知圖式涉及函數(shù)圖式與邏輯圖式（圖1），而學(xué)生的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于同化數(shù)學(xué)歸納法無論是數(shù)學(xué)知識(shí)還是邏輯知識(shí)都不夠充分.

3.3“考教悖論”的影響

面對(duì)高考，一方面，一線教師的態(tài)度是“考什么就教什么”；另一方面，命題專家的態(tài)度是“教什么就考什么”.這兩種矛盾的現(xiàn)象就構(gòu)成了所謂的“考教悖論”.我國2003年的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)歸納法安排在數(shù)學(xué)選修22中，但這一模塊要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（24學(xué)時(shí)）、推理與證明（8學(xué)時(shí)）、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（4學(xué)時(shí)）.數(shù)學(xué)歸納法放在推理與證明中，由于只要求達(dá)到了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，加上高考主要以導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用為重頭戲，許多省份很少考數(shù)學(xué)歸納法（廣東省除外），導(dǎo)致許多學(xué)校只講數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟甚至不講數(shù)學(xué)歸納法的內(nèi)容.

3.4教材的編排不合理

Bell對(duì)證明進(jìn)行了以下分類：①個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)；②權(quán)威的認(rèn)可；③觀察到的實(shí)例；④舉不出反例；⑤結(jié)論的有效性；⑥數(shù)學(xué)的邏輯演繹推理[10].也就是說，數(shù)學(xué)證明只是眾多證明方式中的一種.證明學(xué)習(xí)，除了學(xué)習(xí)形式推理之外，更重要的是理解數(shù)學(xué)證明的必要性與合理性.然而，教材的呈現(xiàn)太過突然，學(xué)生不知道為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，而且他們也缺少遞推的過程性經(jīng)驗(yàn).

3.5教學(xué)法的顛倒

數(shù)學(xué)歸納法誕生的歷史發(fā)展過程是先水平數(shù)學(xué)化，然后再垂直數(shù)學(xué)化，但教師們的教學(xué)卻跳過了水平數(shù)學(xué)化，直奔垂直數(shù)學(xué)化，而且教師的教學(xué)采取了公理演繹式的教學(xué)方式，這恰恰是Freudenthal所反對(duì)的“教學(xué)法的顛倒”.

3.6教育文化的影響

受教育文化的影響，我國學(xué)生不喜歡質(zhì)疑與提出問題，寧愿懵懵懂懂一知半解，也不會(huì)把心中的問題搞得水落石出.

4教學(xué)對(duì)策

教學(xué)設(shè)計(jì)成果是設(shè)計(jì)者教育思想的結(jié)晶，反映著一定的教育價(jià)值取向.本設(shè)計(jì)體現(xiàn)了追求理解的數(shù)學(xué)教育價(jià)值取向，其設(shè)計(jì)理念為：“既要教操作步驟，更要教原理的理解；既要提供“公理”的背景，更要借助日常情境模型把重點(diǎn)放在對(duì)蘊(yùn)含關(guān)系p→q的理解上.”

4.1相識(shí)：創(chuàng)設(shè)情境，使其一見鐘情

回顧：在前面學(xué)習(xí)歸納推理的時(shí)候，我們遇到過這樣的一個(gè)問題：

例已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an1+an.試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

問題1大家還記得當(dāng)時(shí)我們是怎樣解決的嗎？

學(xué)生是在學(xué)習(xí)了合情推理與演繹推理基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的，該問題起到了先行組織者的作用.

問題2我們當(dāng)時(shí)的猜想真的正確嗎？能證明嗎？

引發(fā)矛盾：正整數(shù)無限，即使窮盡一生，也無法一一驗(yàn)證.

問題3怎樣才能進(jìn)行無限的驗(yàn)證呢？必須找到新的方法！

正所謂“不憤不啟，不悱不發(fā)”，為了解決有限與無限的矛盾，學(xué)生便會(huì)面向生活與實(shí)踐，為解決問題而學(xué)習(xí).

評(píng)注Freudenthal指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的正確途徑是，向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學(xué)歸納法才能解決的問題，迫使他們直觀地去用這個(gè)方法，從而發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法.該例存在明顯的遞推關(guān)系，符合數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)；同時(shí)制造認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生“饑餓”之感.

4.2勾魂：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，使其欲罷不能

問題4在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們有遇到過類似的問題嗎？

以立體幾何中證明“線面垂直”為例.

①按定義證：即證明直線與平面內(nèi)的“任意一條”直線都垂直——“無限”的驗(yàn)證！

②按判定定理證：證明直線與平面內(nèi)的“兩條”相交直線垂直——“有限”的驗(yàn)證！

問題5由這個(gè)例子，你們可以得到什么啟發(fā)？

思考的方向：能不能找到一種方法，只要通過對(duì)有限個(gè)步驟的驗(yàn)證，就能確保對(duì)無限個(gè)步驟也能成立？

評(píng)注數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之一是“把無限步的驗(yàn)證轉(zhuǎn)化為對(duì)有限步的驗(yàn)證”，通過類比立體幾何中線面垂直的定義中的無限性與判定定理的有限性之間的轉(zhuǎn)化，可以克服這一難點(diǎn).

4.3相知：解決問題，使其豁然開朗

教師指出：究竟該通過“怎樣的有限步”才能確保無限步成立呢？為解決這個(gè)問題，引入多米諾骨牌的三次實(shí)驗(yàn)！

實(shí)驗(yàn)一：如圖2，課件展示動(dòng)畫，老師用手推倒第1塊骨牌，然后第2塊骨牌、第3塊骨牌……緊跟著全部倒下，實(shí)驗(yàn)成功.

圖2

問題6思考為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果？

圖3

實(shí)驗(yàn)二：如圖3，課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距和實(shí)驗(yàn)1相同，老師用手推第1塊骨牌，沒有推倒，自然第2塊骨牌、第3塊骨牌……也就沒有倒下，實(shí)驗(yàn)失敗.

問題7對(duì)比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)二，討論實(shí)驗(yàn)失敗的原因？

結(jié)論：實(shí)驗(yàn)成功所需具備的第一個(gè)條件是：第1塊骨牌必須倒下.……①

圖4

實(shí)驗(yàn)三：如圖4，課件展示動(dòng)畫，在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距出現(xiàn)分化，將其中兩塊骨牌的間距拉開足夠大，而其它間距保持不變.老師用手推倒第1塊骨牌，還是沒有全部倒下，實(shí)驗(yàn)失敗.

問題8對(duì)比實(shí)驗(yàn)一和實(shí)驗(yàn)三，討論實(shí)驗(yàn)失敗的原因？

結(jié)論：實(shí)驗(yàn)成功所需具備的第二個(gè)條件是：任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

問題9如何用數(shù)學(xué)語言描述上述結(jié)論？

改寫結(jié)論：若第k塊倒下，則第k+1塊也倒下.……②

評(píng)注數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之二是“理解兩步驟的必要性”，通過多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)一、二、三的對(duì)比操作分析展示：有1沒2不行；有2沒1也不行；有1且有2才行，直觀地化解了這一難點(diǎn).數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)知難點(diǎn)之三是“對(duì)蘊(yùn)含關(guān)系p（k）→p（k+1）的不理解”，我們的作法是通過“擺好的”多米諾骨牌來搭建理解的腳手架，為此要做兩件事：一是通過一些沒擺好的骨牌作為反例來強(qiáng)化什么叫擺好；二是通過“擺好的”骨牌說明這一關(guān)系與第k塊倒沒倒下沒有關(guān)系.

4.4動(dòng)情：欣賞數(shù)學(xué)，使其念念不忘

教師指出：多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)使我們看到方法的影子，但畢竟不能用來證明數(shù)學(xué)問題，需要抽出蘊(yùn)含的原理，遷移到數(shù)學(xué)問題.

遷移一：將骨牌實(shí)驗(yàn)換成數(shù)學(xué)問題，回到最初的例子.

要證明猜想an=1n，即證明下面與正整數(shù)有關(guān)的無限多個(gè)等式成立：

a1=11，a2=12，a3=13，…，ak=1k，…

問題10類比多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)的思維過程，概括證明該猜想的步驟.

遷移二：讓學(xué)生就該數(shù)學(xué)問題進(jìn)行具體嘗試.

問題11能否做到這兩步？

證明：①我們已經(jīng)驗(yàn)證第一個(gè)等式成立.②若第k個(gè)等式成立，即ak=1k，則：ak+1=ak1+ak=1k1+1k=1k+1，可推出第k+1個(gè)等式成立.

事實(shí)告訴我們，這樣的方法是可行的！我們并沒有對(duì)所有情況進(jìn)行一一驗(yàn)證，而是利用遞推思想，完美實(shí)現(xiàn)了無限到有限的轉(zhuǎn)化.

概括提煉，得出數(shù)學(xué)歸納法的形式化模型（略）.

評(píng)注從多米諾骨牌實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)歸納法原理，清晰地反映了生活問題——數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)形式化的發(fā)展軌跡.學(xué)生經(jīng)歷了將生活中蘊(yùn)含的原理逐級(jí)抽象為數(shù)學(xué)原理的水平數(shù)學(xué)化全過程.

5數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)價(jià)值

5.1方法論的價(jià)值

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)中一種獨(dú)特的證明方法，它是解決求數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和、二項(xiàng)式定理、整除問題等問題的新方法.它充分體現(xiàn)了有限與無限的辯證關(guān)系與轉(zhuǎn)化思想，是溝通有限與無限的橋梁，為學(xué)生增添了一種有力的工具.

5.2思維品質(zhì)的訓(xùn)練

我們認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，最有價(jià)值、最精彩的就是要學(xué)習(xí)一種思維方式，也就是說，要先從個(gè)別樣例中的觀察、思考中去探索規(guī)律，再從一般性上來進(jìn)行邏輯證明，實(shí)現(xiàn)由簡(jiǎn)到繁，由有限到無限的突破.同時(shí)，讓學(xué)生借助具體問題與直觀模型，經(jīng)歷數(shù)學(xué)歸納法的的“再創(chuàng)造”過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)探究的意識(shí).但我國的高中課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)要求僅僅列為“了解”層次，造成了舍本求末的現(xiàn)狀，建議在修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中將其調(diào)整為“理解”層次.

5.3情感領(lǐng)域目標(biāo)的落實(shí)

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

參考文獻(xiàn)

[1]華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學(xué)?。?009）.高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關(guān)于理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難的實(shí)驗(yàn)報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

參考文獻(xiàn)

[1]華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學(xué)?。?009）.高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關(guān)于理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難的實(shí)驗(yàn)報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.

三維目標(biāo)包括知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀，然而情感領(lǐng)域的目標(biāo)最容易被廣大一線教師所忽視，原因有三：（1）情感目標(biāo)沒有數(shù)學(xué)特色；（2）情感目標(biāo)難以落實(shí)；（3）情感目標(biāo)是課程目標(biāo)，不必作為課堂教學(xué)目標(biāo).殊不知，在新浪網(wǎng)的一項(xiàng)調(diào)查中，70%以上的網(wǎng)友坦承求學(xué)期間被數(shù)學(xué)“傷害”過，希望數(shù)學(xué)“滾出高考”，而這恰恰是因?yàn)榍楦心繕?biāo)的缺失.數(shù)學(xué)歸納法具有豐富的生活模型，可以寓教于樂，改變數(shù)學(xué)枯燥的印象；教師以情施教，帶領(lǐng)學(xué)生由相識(shí)——勾魂——相知——?jiǎng)忧?，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法以有限駕馭無限，以靜制動(dòng)的威力.更重要的是通過“既教操作步驟，更教原理理解”，使學(xué)生相信數(shù)學(xué)結(jié)論，獲得數(shù)學(xué)自信.

參考文獻(xiàn)

[1]華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法[M].上海：上海教育出版社，1964：16.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[S].北京：人民教育出版社，2003：59.

[3]NCTM（1989）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，143.

[4]NCTM（2000）.Principles and Stan dards for School Mathematics[S].Reston：National Council of Teacher of Mathematics，345.

[5]日本文部科學(xué)?。?009）.高等學(xué)校學(xué)習(xí)指導(dǎo)要領(lǐng)改定案文本[EB/OL].http：//www.mext.

go.jp/amenu/shotou/new-cs/081233.htm.

[6]菲施拜因（E.Fischbein）等.理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難.（見張奠宙等.《數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引》.江蘇教育出版社，1994：399-404.）

[7]季建平.關(guān)于理解數(shù)學(xué)歸納法原理的心理困難的實(shí)驗(yàn)報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1998（3）：33-35.

[8]李丹艷.關(guān)于“數(shù)學(xué)歸納法”的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，1999（3）：14-15.

[9]邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009：345.

[10]李士锜.PME：數(shù)學(xué)教育心理[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2001：129.